Autor Tema: Interpretación geométrica del teorema del valor medio de Cauchy y generalización

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01 Octubre, 2017, 08:14 pm
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robinlambada

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Comentarios al hilo-Interpretación geométrica del Tma. de Cauchy. Generalización




   La primera vez que vi la interpretación geométrica del teorema de Rolle y del valor medio de Lagrange, me sorprendió sobre manera la sencillez y claridad de dicha interpretación. Así como que la interpretación del teorema de Lagrange se obtuviese de la de Rolle sin más que girar la gráfica de la función de este un ángulo cualquiera respecto del punto \( (a,f(a)) \)



   Para el Teorema generalizado de Cauchy no me dieron ninguna interpretación, excepto la yo vi, bastante clara de que existe un punto \( c \in{}[a,b] \), tal que  el cociente de las pendientes medias de las funciones \( g(x) \) y \( f(x) \) en \( [a,b] \) coincide con el cociente de las derivadas en c. Es decir:

\( \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}{\displaystyle\frac{g(b)-g(a)}{b-a}}=\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\displaystyle\frac{f'(c)}{g'(c)} \) , si \( g'(c)\neq{0}\wedge g(a)\neq{}g(b) \)

   Volviendo a la idea inicial de la interpretación de Lagrange en la cual existe un punto \( c \), en el intervalo \( (a,b) \) en el que la pendiente coincide con la pendiente media. Se puede enfocar desde un punto de vista algo distinto, de modo más general.

   Viendo que si tratamos la curva \( f(x) \) como una curva plana en paramétricas , el vector que va desde \( (a,f(a)) \) hasta \( (b,f(b)) \) debe ser paralelo al vector \( (f'(c),g'(c)) \) en algún punto del intervalo abierto, Más formalmente.

Interpretación geométrica del teorema del valor medio de Cauchy


   Sea una parametrización \( (I,\alpha) \) de una curva plana tal que \( \alpha(t):I=[a,b]\longrightarrow{}\mathbb{R^2} \) es de clase  \( C^1 \) en \( (a,b) \) , con \( \alpha(t)=(f(t),g(t))=(x,y) \)

Entonces existe un punto \( c\in{(a,b)} \), tal que el vector tangente a la curva en ese punto es paralelo al vector que une los puntos \( A=(f(a),g(a)) \)  y  \( B=(f(b),g(b)) \), es decir:

   El vector \( \alpha '(c)=(f'(c),g'(c)) \) es colineal a \( (f(b)-f(a),g(b)-g(a)) \), por tanto linealmente dependientes.

   El determinante siguiente es cero:
\( \left |{\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}\\{f(b)-f(a)}&{g(b)-g(a)}\end{array}}\right |=f'(c)[g(b)-g(a)]-g'(c)[f(b)-f(a)]=0 \) , que es el teorema de Cauchy.
 


   La pregunta inmediata es si esta interpretación se puede generalizar a 3 dimensiones, osea a curvas alabeadas. La pregunta sería: ¿existe también un punto en una curva alabeada en la que el vector tangente sea colineal con el vector que une los puntos extremos del intervalo?

   La respuesta a poco que se analice, es negativa.

   Si tenemos la curva en \( \mathbb{R^3} \) como \( \alpha(t)=(f(t),g(t),h(t))=(x,y,z) \)

   Sabemos por El teorema de Cauchy que por separado  para \( f(t) \) y \( g(t) \) , \( \exists{}\,c\,:\,\left |{\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}\\{f(b)-f(a)}&{g(b)-g(a)}\end{array}}\right |=0  \)


                                                                          y para \( g(t) \) y \( h(t) \) , \( \exists{}\,c'\,:\,\left |{\begin{array}{ccc}{g'(c')}&{h'(c')}\\{g(b)-g(a)}&{h(b)-h(a)}\end{array}}\right |=0  \)

   Pero no podemos concluir que \( c=c' \), que se cumpla el teorema para el mismo punto, si así fuera entonces si podríamos asegurar que el vector tangente será colineal el vector que une los extremos de la curva.

   Pues si \( c=c' \) , entonces:
\( ran \left ({\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}&{h'(c)}\\{f(b)-f(a)}&{g(b)-g(a)}&{h(b)-h(a)}\end{array}}\right )=1  \)

   Debemos ser menos ambiciosos. La carretera que sube de Zahara de la Sierra al puerto de las Palomas ( Grazalema) me dió la solución.

   Subiendo desde cerca del pueblo al puerto, en un momento concreto vi que la dirección que llevaba el coche se "alejaba" mucho de la dirección del puerto de montaña, pero pensé que evidentemente si la carretera llega al puerto tarde o temprano se acercara.

   Si tomo como referencia el plano formado por los puntos O=Castillo de Zahara (origen del S.R.) , A=comienzo de ruta (centro del pueblo) y B=fin de la ruta (puerto de las palomas). Estos 3 puntos describen un plano.

   Si consideramos la carretera como la curva alabeada, si en su trayectoria, la dirección del coche ( dirección del vector velocidad , colineal a \( \alpha '(t) \)) hace que este se aleje del plano antes definido ( OAB ) , tarde o temprano el coche se tendrá que acercar al plano para llegar al punto B. En el instante que deja de alejarse para volver a acercarse al plano por fuerza la dirección del vehículo es paralela dicho plano ( ya que la componente de la velocidad normal al plano debe ser cero).

   Formalmente lo podemos enunciar:

    TEOREMA

   Sea una parametrización \( (I,\alpha) \) de una curva alabeada tal que \( \alpha(t):I=[a,b]\longrightarrow{}\mathbb{R^3} \) es de clase  \( C^1 \) en \( (a,b) \), con \( \alpha(t)=(f(t),g(t),h(t))=(x,y,z) \)  y un punto \( O \) (Origen de referencia ) no colineal con \( \alpha(a) \) y \( \alpha(b) \)

   Entonces existe un punto \( c\in{(a,b)} \), tal que el vector tangente a la curva en ese punto \( \alpha'(c) \) es paralelo al plano formado por los puntos \( O(0,0,0) \) , \( A=(f(a),g(a),h(a)) \)  y  \( B=(f(b),g(b),h(b)) \), es decir:

\( \left |{\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}&{h'(c)}\\{f(a)}&{g(a)}&{h(a)}\\{f(b)}&{g(b)}&{h(b)}\end{array}}\right |=0 \)

  Demostración:

   Sea
\( F(t)=\left |{\begin{array}{ccc}{f(t)}&{g(t)}&{h(t)}\\{f(a)}&{g(a)}&{h(a)}\\{f(b)}&{g(b)}&{h(b)}\end{array}}\right |=f(t)\left |{\begin{array}{ccc}{g(a)}&{h(a)}\\{g(b)}&{h(b)}\end{array}}\right |-g(t)\left |{\begin{array}{ccc}{f(a)}&{h(a)}\\{f(b)}&{h(b)}\end{array}}\right |+h(t)\left |{\begin{array}{ccc}{f(a)}&{g(a)}\\{f(b)}&{g(b)}\end{array}}\right | \)

\( F(t) \) es una función continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \) por ser suma de funciones continuas y derivables. Además \( F(a)=F(b)=0 \) por tener en ambos casos dos filas iguales el determinante es nulo.

   Por el teorema de Rolle , existe un \( c\in{}(a,b) \)  tal que \( F'(c)=0 \)

\( F'(c)=f'(c)\left |{\begin{array}{ccc}{g(a)}&{h(a)}\\{g(b)}&{h(b)}\end{array}}\right |-g'(c)\left |{\begin{array}{ccc}{f(a)}&{h(a)}\\{f(b)}&{h(b)}\end{array}}\right |+h'(c)\left |{\begin{array}{ccc}{f(a)}&{g(a)}\\{f(b)}&{g(b)}\end{array}}\right |=0 \)

\( \left |{\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}&{h'(c)}\\{f(a)}&{g(a)}&{h(a)}\\{f(a)}&{g(b)}&{h(b)}\end{array}}\right |=0 \)

Saludos.

P.D.: Disculpad si he sido pesado con la introducción y como lo vi. Por cierto os recomiendo que visitéis tanto Grazalema como Zahara de la Sierra, sitios con mucho encanto.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

01 Octubre, 2017, 08:23 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Por cierto se me olvido mostrar que de este teorema se deducen los de Cauchy y Lagrange.

Para el primero basta limitarnos a una curva plana ( restringida por ejemplo al plano \( z=z_o\neq{0} \). Podemos hacer \( h(t)=z_o=cte\neq{}0. \)  Queda:


\( \left |{\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}&{0}\\{f(a)}&{g(a)}&{z_o}\\{f(b)}&{g(b)}&{z_o}\end{array}}\right |=0 \)

      Sustituyendo la fila (2) por (3)-(2) tenemos:   
\( \left |{\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}&{0}\\{f(b)-f(a)}&{g(b)-g(a)}&{0}\\{f(b)}&{g(b)}&{z_o}\end{array}}\right |=0 \)

      Desarrollando por la 3ª columna:   
\( z_o\cdot{}\left |{\begin{array}{ccc}{f'(c)}&{g'(c)}\\{f(b)-f(a)}&{g(b)-g(a)}\end{array}}\right |=0 \)

      Para el de Lagrange además debemos hacer \( g(t)=t \)
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20 Mayo, 2018, 11:23 am
Respuesta #2

robinlambada

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De donde se obtiene la expresión de \( F(t) \)

   Es decir si tomo como referencia el plano formado por los puntos O=Castillo de Zahara (origen del S.R.) , A=comienzo de ruta (centro del pueblo) y B=fin de la ruta (puerto de las palomas). Estos 3 puntos describen un plano.

   Si consideramos la carretera como la curva alabeada, si en su trayectoria, la dirección del coche ( dirección del vector velocidad , colineal a \( \alpha '(t) \)) hace que este se aleje del plano antes definido ( OAB ) , tarde o temprano el coche se tendrá que acercar al plano para llegar al punto B. En el instante que deja de alejarse para volver a acercarse al plano por fuerza la dirección del vehículo es paralela dicho plano ( ya que la componente de la velocidad normal al plano debe ser cero).

   Formalizando esta idea , se explica de donde viene \( F(t) \)

   La ecuación general o implícita de un plano \( \pi :\, Ax`+By'+Cz'+D=0 \).  Viene del concepto en el que 3 vectores pertenecientes al propio plano deben ser linealmente dependientes por ser coplanarios.

\( \overrightarrow{PX'}=\lambda \vec{u}+\mu\vec{v}  \) con \( \begin{cases}{ X'=(x',y',z') }&\text{coordenadas de un punto genérico del plano.}\\P=(x_p,y_p,z_p) & \text{coordenadas de un punto concreto del plano.}\\  \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) &\text{vector director del plano}\\  \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) &\text{vector director del plano}\end{cases}
 \)

   Llegamos a
\( \overrightarrow{PX'}-\lambda \vec{u}-\mu\vec{v} =0\Leftrightarrow{} \) \( \left|\begin{array}{ccc}{
\overrightarrow{PX'} }\\{\vec{u}}\\{\vec{v} }\end{array}\right|=\left |{\begin{matrix}{x'-x_p}&{y'-y_p}&{z'-z_p}\\{u_1}&{u_2}&{u_3}\\{v_1}&{v_2}&{v_3}\end{matrix}}\right |=0 \)

   Y la distancia de un punto \( Q=(x_q,y_q,z_q) \) a al plano será: \( d(Q, \pi )=\displaystyle\frac{|Ax_q+By_q+Cz_q+D|}{\sqrt[ ]{A^2+B^2+C^2}} \)


\( d(Q, \pi )=\displaystyle\frac{ \left |{det\begin{pmatrix}{x_q-x_p}&{y_q-y_p}&{z_q-z_p}\\{u_1}&{u_2}&{u_3}\\{v_1}&{v_2}&{v_3}\end{pmatrix}}\right |}{\sqrt[ ]{A^2+B^2+C^2}} \)

   Si tomamos la función distancia de un punto de la curva alabeada a nuestro plano formado por:

\( Q=(x,y,z)=(f(t),g(t),h(t))  \) , \( P=O=(0,0,0) \) , \( \vec{u}=(f(a),g(a),h(a)) \) y \( \vec{v}=(f(b),g(b),h(b)) \)

   Entonces:
\( d(Q, \pi )=\displaystyle\frac{ \left |{det\begin{pmatrix}{f(t)}&{g(t)}&{h(t)}\\{f(a)}&{g(a)}&{h(a)}\\{f(b)}&{g(b)}&{h(b)}\end{pmatrix}}\right |}{\sqrt[ ]{A^2+B^2+C^2}}=\displaystyle\frac{\left |{F(t)}\right |}{\sqrt[ ]{A^2+B^2+C^2}} \)

   Es evidente que la distancia de un punto del plano al propio plano es cero por ello \( F(a)=F(b)=0 \) y se puede aplicar el teorema de Rolle a la función distancia al plano , el cual nos dice que existe un punto de la curva \( (x(c),y(c),z(c)) \) en el que variación de la distancia al plano es cero y como esta distancia (mínima) se mide perpendicularmente al plano, en un entorno al extremo local \( (x(c),y(c),z(c)) \) , pues \( F'(c)=0 \) la trayectoria de \( \alpha (t)  \) es coplanaria al plano \( \pi \)
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