Hola
Por favor, alguien puede darme alguna sugerencia para resolver este ejercicio.
Calcular M
\( \left |{x-1}\right | \)\( <1/4 \)\( \Longrightarrow{} \)\( \displaystyle\frac{\left |{x+3}\right |}{\left |{x-1/4}\right |}<M \)
Gracias
Dos observaciones:
1) Dado que \( |x-1|<1/4 \) significa que:
\( 1-\dfrac{1}{4}<x<1+\dfrac{1}{4}\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{3}{4}<x<\dfrac{5}{4} \)
Entonces:
\( x+3>\dfrac{3}{4}+3>0 \) y por tanto \( |x+3|=x+3 \)
\( x-1/4>\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}>0 \) y por tanto \( |x-1/4|=x-1/4 \)
Por tanto:
\( \dfrac{|x+3|}{|x-1/4|}=\dfrac{x+3}{x-1/4}=1+\dfrac{13/4}{x-1/4} \)
lo cual facilita los cálculos.
2) El enunciado del problema no es especialmente afortunado. Uno
supone que se refiere a calcular
el menor valor de \( M \) que haces cierta esta implicación:
\( \displaystyle\frac{\left |{x+3}\right |}{\left |{x-1/4}\right |}<M \)
Pero si uno no supone nada y toma el enunciado al pie de la letra, cualquier valor de \( M \) mayor que \( 15/2 \) haría se podría considerar una respuesta válida. \( M=100,1000,2131241241\pi,\ldots \).
Saludos.
