[noah]

Hola estoy haciendo un trabajo y en la explicación del mismo viene un sistema de ecuaciones diferenciales resuelto. He intentado hacerlo yo pero no me sale, ya que solo me dan el sistema y su solución sin los pasos intermedios.
Agradeceria que alguien me explicara como resolverlo. Dejo adjunta una imagen con el problema.

Editado por la moderación:(Sistema de ecuaciones)

\( \begin{cases}{\displaystyle\frac{dN_p}{dt}=-\lambda_pN_p\\ \displaystyle\frac{dN_H}{dt}=\lambda_pN_p-\lambda_HN_H} \end{cases} \)

Con las condiciones iniciales: \( N_p(0)=N_{po} \)  y  \( N_H(0)=N_{Ho} \)


He intentado resolver la primera ecuación y sustituir en la 2a para aplicar luego el factor integrante (ya que es una EDO lineal) pero no me da lo mismo.

Gracias de antemano.

[robinlambada]

Hola. Bienvenido al foro.

Hola estoy haciendo un trabajo y en la explicación del mismo viene un sistema de ecuaciones diferenciales resuelto. He intentado hacerlo yo pero no me sale, ya que solo me dan el sistema y su solución sin los pasos intermedios.
Agradeceria que alguien me explicara como resolverlo. Dejo adjunta una imagen con el problema.

He intentado resolver la primera ecuación y sustituir en la 2a para aplicar luego el factor integrante (ya que es una EDO lineal) pero no me da lo mismo.

Gracias de antemano.

No se debe sustituir un enunciado o parte de el por un archivo adjunto.

Si no sabes como escribir las matemáticas, se hace usando \( LaTex \), te enlazo a un tutorial del foro.

Respecto a tu duda.

Creo que es fácil ver que la solución de la primera edo es \( N_p=N_{po}e^{-\lambda_p t} \)

La segunda ecuación es una ecuación lineal no homogénea, por ello su solución general es la solución general de la homogénea ( \( N_{homogénea}=Ae^{-\lambda_H t} \) ) más la particular que puede proponerse que sea de la forma \( N_{particular}=Be^{-\lambda_p t} \)

Es decir \( N_H=Ae^{-\lambda_H t}+Be^{-\lambda_p t}  \) (*)


Tienes que imponer a (*) que \( N_H(0)=N_{H0} \)   y que   \( \dfrac{dN_H(0)}{dt}=\lambda_p N_{po}-\lambda_H N_{H0} \)

Obtienes un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ( A y B).

Saludos.

[noah]

De acuerdo, tendré en cuenta lo de latex, es la primera vez que uso este foro.

La cuestión es que yo he sacado el valor de \( Np=Np_oe^{-λ_pt} \), luego lo he sustituido en la 2a ecuacion que me queda así:

\( \displaystyle\frac{dN_H}{dt}+λ_HN_H=λ_pNp_oe^{-λ_pt} \).

Y esto es una EDO lineal ya que tiene la forma:

\( \displaystyle\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) \) con \( P(x)=λ_H \) y \( Q(x)=λ_pNp_oe^{-λ_pt} \).

Como vemos el \( \displaystyle\frac{dy}{dx} \) está multiplicado por 1 asi que no hay que dividir por nada.
Luego obtenemos el factor integrante \( \mu(x)=e^{\displaystyle\int_{}^{}P(x)} \). Que en este caso es \( \mu(t)=e^{\lambda_Ht} \).

Y finalmente para obtener la solución aplicamos la formula:

\( y=\displaystyle\frac{1}{\mu(x)}\displaystyle\int_{}^{}\mu(x)Q(x)dx \)

Que en este caso me da:

\( N_H(t)=Np_o\displaystyle\frac{\lambda_p}{\lambda_H-\lambda_p}e^{-\lambda_pt}+N_{Ho}e^{-\lambda_Ht} \)

Y en la solución pone

\[ N_H (t)=Np_o\displaystyle\frac{\lambda_p}{\lambda_H-\lambda_p}(e^{-\lambda_pt}-e^{-\lambda_Ht})+N_{Ho}e^{-\lambda_Ht} \]

Por lo que me falta un exponente en la solución y no entiendo de donde sale.

Gracias.

[Abdulai]

....
Que en este caso me da:
\( N_H(t)=Np_o\displaystyle\frac{\lambda_p}{\lambda_H-\lambda_p}e^{-\lambda_pt}+N_{Ho}e^{-\lambda_Ht} \)
....

Es que tu constante \( N_{Ho} \) no es la misma que la de la solución ni verifica que \( N_H(0)=N_{Ho} \)

[noah]

Valee vale ya entiendo, lo he hecho y me ha salido, gracias!