[Dark]

$$\left<{\cdot,\cdot}\right>:X\times X\longrightarrow{\mathbb{R}}$$

Sean $$x,y,z,w \in X$$, por la desigualdad de Cauchy-Shwarz tenemos $$\left |{\left<{x,y}\right>-\left<{z,w}\right>}\right |=\left |{\left<{x-z,y}\right>-\left<{z,y-w}\right>}\right |\leq{}\left\|{x-z}\right\|\left\|{y}\right\|+\left\|{z}\right\|\left\|{y-w}\right\|$$

He hecho lo siguiente pero no sé como concluir que $$\left<{\cdot,\cdot}\right>$$ es continuo.

Lo que intento hacer es mostrar que la distancia de dos imágenes bajo el producto interno es menor que un épsilon, aunque sé que me hizo falta especificar que la norma de los elementos de $$X$$ debe ser menor que un delta, solo que en esta parte no sé cómo escribirlo con notación matemática.

[mathtruco]

Hola Dark. ¿Conoces un resultado que relaciones los operadores lineales con sucesiones y continuidad? Por ahí va la cosa.

Por otro lado, nota que el operador va de \( X\textcolor{blue}{\times X}\rightarrow\mathbb{R} \), así que los elementos del dominio tienen la forma de par ordenado.

[delmar]

Hola

Toma nota de la aclaración que hace mathtruco respecto al dominio del producto interno. Una forma (hay varias) la continuidad equivale a demostrar :

\( \displaystyle\lim_{(h,v) \to{}(O,O)}{<x+h,y+v>-<x,y>}=0 \)

Ahora por producto interno real se tiene :

\( <x+h,y+v>-<x,y>=<x,v>+<y,h>+<h,v> \)

Se puede demostrar con Cauchy Scharwz :

\( \displaystyle\lim_{(h,v) \to{}(O,O)}{<x,v>}=\displaystyle\lim_{(h,v) \to{}(O,O)}{<y,h>}=\displaystyle\lim_{(h,v) \to{}(O,O)}{<h,v>}=0 \) verifica

Como consecuencia el producto interno es continuo

Saludos

[Dark]

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es $$\left\|{\left<{x,y}\right>}\right\|^2\leq{}\left<{x,x}\right>\left<{y,y}\right>$$ entonces

$$\displaystyle\lim_{(h,v) \to{}(O,O)}{\left<{x,v}\right>}\leq{}\displaystyle\lim_{h \to{}O}{}\sqrt[ ]{\left<{x,x}\right>}\displaystyle\lim_{v \to{}O}{}\sqrt[ ]{\left<{v,v}\right>}=0$$  Es correcto?

[delmar]

Esencialmente si; pero en rigor en el lado derecho de la inecuación se pone \( \displaystyle\lim_{(h,v) \to{}(O,O)}{\sqrt[ ]{<x,x>}} \ \displaystyle\lim_{(h,v) \to{}(O,O)}{\sqrt[ ]{<v,v>}}=0 \)

Saludos