Autor Tema: Calcular una incognita al resolver un Area entre Funciones

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28 Julio, 2021, 07:26 pm
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hernanlopezpardo

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Como les va, les comento el siguiente ejercicio y lo que pude desarrollar, el mayor problema me parece lo tengo al resolver el módulo, con que parte de la función me quedo:

    \( f(x)=-ax \),     \( g(x)=x|a-x| \)

Tambien me dice que \( 0\leq{x}\leq{5a} \). También \( a>0 \)

Bueno por un lado como x es siempre positivo pienso en utilizar la parte de la funcion g(x) que es mayor a 0. Es decir: \( g(x)=-x^2 +ax  \). Ahora que tengo ambas funciones evaluo los puntos de intersección de las funciones.

\( f(x)=g(x) \)
\( -ax=-x^2+ax \)
\( x^2-2ax=0 \)
\( x(x-2a)=0 \)
\( x=0 \wedge x=2a \)

Ahora podria evaluar un valor en ese intervalo para observar que funcion esta por "arriba" y cual por "abajo":

Por ejemplo \( x=a \) entonces
\( f(a)=-a^2 \)
\( g(a)=-a^2+a^2=0 \)
\( g(x)\geq{f(x)} \) en el intervalo \(  (0,2a) \)

Calculo la integral:
\( \displaystyle\int_{0}^{2a}{g(x)-f(x)}dx=-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\displaystyle\frac{1}{2}ax^2+\displaystyle\frac{1}{2}ax^2=\displaystyle\frac{-8}{3}a^3+4a^3=5670 \)
\( a=\sqrt[3]{\displaystyle\frac{3*5670}{4}} \)


Espero su ayuda,muchas gracias como siempre.



28 Julio, 2021, 08:22 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola hernanlopezpardo.

No revisé tus cuentas, pero nota lo siguiente:

    - Como \( x\geq 0 \)  y  \( a>0 \), entonces \( f(x)=-ax\leq 0 \).

    - Como \( x\geq 0 \), entonces \( g(x)=x|a-x|\geq 0 \) (ya que \( x \) es mayor o igual que cero, y obviamente un valor absoluto de cualquier cosa también.

En resumen, \( f(x)\leq 0 \) y \( g(x)\geq 0 \), por lo que \( f(x)\leq g(x) \).

¿Puedes continuar a partir de esto?

28 Julio, 2021, 08:31 pm
Respuesta #2

mathtruco

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Ahora revisé tus cuentas y has cometido un error importante.

Como les va, les comento el siguiente ejercicio y lo que pude desarrollar, el mayor problema me parece lo tengo al resolver el módulo, con que parte de la función me quedo:

\( f(x)=-ax \) \( g(x)=x|a-x| \) tambien me dice que \( 0\leq{x}\leq{5a} \). También \( a>0 \)

Bueno por un lado como x es siempre positivo pienso en utilizar la parte de la funcion g(x) que es mayor a 0. Es decir: \( g(x)=-x^2 +ax  \). Ahora que tengo ambas funciones evaluo los puntos de intersección de las funciones.

\( f(x)=g(x) \)
\( -ax=-x^2+ax \)
\( x^2-2ax=0 \)
\( x(x-2a)=0 \)
\( x=0 \wedge x=2a \)


Primero escribo el valor absoluto como más me acomoda (es maña mía, no es importante):

    \( g(x)=x|a-x| \)

         \( =x|x-a| \)

Ahora nota que para sacar el valor absoluto no es sólo añadir un signo menos (como hiciste). Debes darte dos casos:

Caso 1: si \( x\geq a \), entonces \( x-a\geq 0 \) y por tanto \( g(x)=x|x-a|=x(x-a) \).

Caso 2 (el que tú te diste):  si \( x< a \), entonces \( x-a< 0 \) y por tanto \( g(x)=x|x-a|=-x(x-a) \). Lo que quiero que adviertas es que lo que puse en azul es muy importante, porque en tus cálculos llegas a lo siguiente:


\( f(x)=g(x) \)
\( -ax=-x^2+ax \)
\( x^2-2ax=0 \)
\( x(x-2a)=0 \)
\( x=0 \wedge \textcolor{brown}{x=2a} \)


pero estabas en el caso \( x< a \), por lo que la solución  \( \textcolor{brown}{x=2a} \) NO es un punto de intersección. Entonces, para \( 0\leq x< a \) ambas curvas sólo se intersectan en \( x=0 \).

28 Julio, 2021, 08:42 pm
Respuesta #3

martiniano

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Hola.

Como creo que ha adivinado mathtruco (sí, en efecto lo adivinó. Así lo expresa en su segundo mensaje  ;D) hay un error en pensar que de estas frases la primera implica la segunda.

\( f(x)=g(x) \)
\( -ax=-x^2+ax \)
\( x^2-2ax=0 \)
\( x(x-2a)=0 \)
\( x=0 \wedge x=2a \)

Te has cargado de forma un tanto gratuita el valor absoluto. Eso sólo lo puedes hacer si asumes que \[ a-x\geq{0} \]. Y fíjate que en la solución \[ x=2a \] eso no se cumple.

Por otro lado, me parece adivinar que en el enunciado te dan el área que encierran las dos curvas entre 0 y \[ 5a \] y te piden el valor de \[ a \]. Si es así, por lo que dice mathtruco, puedes dejar el área en función de \[ a \] integrando directamente la diferencia entre las dos
funciones pero entre \[ 0 \] y \[ 5a \]. Y para ello tal vez te convenga redefinir la función \[ g(x)  \] a trozos. Es decir, tener en cuenta que:

\[ g(x)= \begin{cases}{x(a-x) }&\text{si}& x\in{[0,a]}\\x(x-a) & \text{si}& x\in{(a, 5a]}\end{cases} \].

Para así poder dividir la integral en dos sumandos, uno para cada trozo.

\[ \displaystyle\int_{0}^{5a}(g(x)-f(x)) dx=\displaystyle\int_{0}^{a}(x(a-x)+ax^2)dx+\displaystyle\int_{a}^{5a}(x(x-a)+ax^2)dx \]

Espero que te sirva. Cualquier duda insiste por aquí. Un saludo.

28 Julio, 2021, 08:45 pm
Respuesta #4

hernanlopezpardo

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Ahora revisé tus cuentas y has cometido un error importante.

Como les va, les comento el siguiente ejercicio y lo que pude desarrollar, el mayor problema me parece lo tengo al resolver el módulo, con que parte de la función me quedo:

\( f(x)=-ax \) \( g(x)=x|a-x| \) tambien me dice que \( 0\leq{x}\leq{5a} \). También \( a>0 \)

Bueno por un lado como x es siempre positivo pienso en utilizar la parte de la funcion g(x) que es mayor a 0. Es decir: \( g(x)=-x^2 +ax  \). Ahora que tengo ambas funciones evaluo los puntos de intersección de las funciones.

\( f(x)=g(x) \)
\( -ax=-x^2+ax \)
\( x^2-2ax=0 \)
\( x(x-2a)=0 \)
\( x=0 \wedge x=2a \)


Primero escribo el valor absoluto como más me acomoda (es maña mía, no es importante):

    \( g(x)=x|a-x| \)

         \( =x|x-a| \)

Ahora nota que para sacar el valor absoluto no es sólo añadir un signo menos (como hiciste). Debes darte dos casos:

Caso 1: si \( x\geq a \), entonces \( x-a\geq 0 \) y por tanto \( g(x)=x|x-a|=x(x-a) \).

Caso 2 (el que tú te diste):  si \( x< a \), entonces \( x-a< 0 \) y por tanto \( g(x)=x|x-a|=-x(x-a) \). Lo que quiero que adviertas es que lo que puse en azul es muy importante, porque en tus cálculos llegas a lo siguiente:


\( f(x)=g(x) \)
\( -ax=-x^2+ax \)
\( x^2-2ax=0 \)
\( x(x-2a)=0 \)
\( x=0 \wedge \textcolor{brown}{x=2a} \)


pero estabas en el caso \( x< a \), por lo que la solución  \( \textcolor{brown}{x=2a} \) NO es un punto de intersección. Entonces, para \( 0\leq x< a \) ambas curvas sólo se intersectan en \( x=0 \).
 

Ahi lo hice despacio el módulo, tenes razón. Consulta teórica, con una sóla intersección como calculo el área?. \( 0\leq{x}\leq{5a} \) asi dice la consigna.

Abrazo

28 Julio, 2021, 08:47 pm
Respuesta #5

martiniano

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Hola.

Consulta teórica, con una sóla intersección como calculo el área?. \( 0\leq{x}\leq{5a} \) asi dice la consigna.

Te lo intenté explicar en mi anterior mensaje. ¿Podrías concretar un poco más tus dudas?

Un saludo.

28 Julio, 2021, 08:52 pm
Respuesta #6

hernanlopezpardo

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Hola.

Consulta teórica, con una sóla intersección como calculo el área?. \( 0\leq{x}\leq{5a} \) asi dice la consigna.

Te lo intenté explicar en mi anterior mensaje. ¿Podrías concretar un poco más tus dudas?

Un saludo.

Estabamos escribiendo los dos a la vez y no te lei. Ahi lo hago haciendo partida g(x).

Abrazo.

28 Julio, 2021, 09:54 pm
Respuesta #7

hernanlopezpardo

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Muchas gracias a todos, en el apuro del examen abri mal el módulo. La proxima lo construyo desde el principio.

Saludos, en septiembre rindo nuevamente asi que estare consultando.

29 Julio, 2021, 01:02 am
Respuesta #8

mathtruco

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(...)
Consulta teórica, con una sóla intersección como calculo el área?. \( 0\leq{x}\leq{5a} \) asi dice la consigna.


Seguro tienes en mente el caso donde las curvas se cruzan en un punto \( x=b \), y por tanto si la gráfica de una está arriba de la otra a la izquierda de \( x=b \), entonces será al revés a la derecha de \( x=b \). Pero también está el caso cuando las curvas se intersectan pero no se cruzan, como por ejemplo en la siguiente imagen:



En el caso de la figura anterior, si quisieras calcular el área entre las gráficas de las curvas en \( 1\leq x\leq 2 \), el que se intersecten en un punto no influye en nada.

Como moraleja: siempre has un esbozo de la gráfica, con eso las cuentas son más claras.

Muchas gracias a todos, en el apuro del examen abri mal el módulo. La proxima lo construyo desde el principio.

Saludos, en septiembre rindo nuevamente asi que estare consultando.

Espero que no hayas hecho esta pregunta para responderla en el examen  >:(

29 Julio, 2021, 02:27 am
Respuesta #9

hernanlopezpardo

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Gracias por la grafica, este ejercicio lo hice mal como contaba por desarrollar mal el modulo de la función g(x).

En septiembre tengo revancha asi que a seguir repasando.

Abrazo