Autor Tema: Valor de una integral conocida otra

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

27 Julio, 2021, 06:14 am
Respuesta #10

hernanlopezpardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 179
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Utilizando el teorema de susitución \( \displaystyle\int_{0}^{3}f(\displaystyle\frac{4x}{3}) \ g'(x) \ dx \)

Denominando :

\( h(x)=\displaystyle\frac{x}{3}\Rightarrow{h'(x)=\displaystyle\frac{1}{3}} \)

\( w(u)=f(4u) \ g'(3u) \) esto implica :

\( \displaystyle\int_{0}^{3}f(\displaystyle\frac{4x}{3}) \ g'(x) \ dx=3 \ \displaystyle\int_{0}^{3}f(4(\displaystyle\frac{x}{3})) \ g'(3(\displaystyle\frac{x}{3})) \ (\displaystyle\frac{1}{3}) \ dx=3 \ \displaystyle\int_{0}^{3}w(h(x)) \  h'(x) \ dx \)

En ese punto se aplica el teorema de sustitución :

\( \displaystyle\int_{0}^{3}w(h(x)) \  h'(x) \ dx=\displaystyle\int_{h(0)}^{h(3)}w(u) \ du=\displaystyle\int_{0}^{1}f(4u) \ g'(3u) \ du \)

Por lo tanto : \( \displaystyle\int_{0}^{3}f(\displaystyle\frac{4x}{3}) \ g'(x) \ dx=3 \ \displaystyle\int_{0}^{1}f(4u) \ g'(3u) \ du=-36 \)

Saludos

Muchas gracias. A mi lo que me desconcertó es que para la segunda integral entre 0 y 1, volvió a utilizar la variable x y no otra. Sino podria haberme dado cuenta que era una sustitución.

27 Julio, 2021, 05:53 pm
Respuesta #11

hernanlopezpardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 179
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Integrás por partes  \( \displaystyle\int_{0}^{3}f\left(\displaystyle\frac{4x}{3}\right)g´(x)dx=\left.f\left(\frac{4}{3}x\right)g(x)\right|_0^3 - \frac{4}{3}\displaystyle\int_{0}^{3}f'\left(\frac{4}{3}x\right)g(x)dx \)

debería ser \( f(4)=g(0)=0 \)  porque si no, no tiene solución.

Luego sustituís \( x=\dfrac{u}{3} \)  y ya se termina...

(o primero sustituís y luego por partes como hizo franma)

Abdulai, hice la sustitución que me recomendaron y la integral me quedo 9.

27 Julio, 2021, 06:21 pm
Respuesta #12

franma

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 728
  • País: uy
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas hernanlopezpardo,

Puedes publicar tu desarrollo y entre todos lo revisamos para ver si esta correcto.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

27 Julio, 2021, 07:08 pm
Respuesta #13

Abdulai

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,562
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
....
Abdulai, hice la sustitución que me recomendaron y la integral me quedo 9.

Joya!

\( \underbrace{\displaystyle\int_{0}^{3}f\left(\displaystyle\frac{4x}{3}\right)g´(x)dx}_{=-36}=\underbrace{\left.f\left(\frac{4}{3}x\right)g(x)\right|_0^3}_{=0} - \frac{4}{3}\displaystyle\int_{0}^{3}f'\left(\frac{4}{3}x\right)g(x)dx = - \underbrace{4\displaystyle\int_{0}^{1}f'\left(4t\right)g(3t)dt}_{3t = x} \quad\therefore\; \displaystyle\int_{0}^{1}f'\left(4x\right)g(3x)dx = 9  \)

27 Julio, 2021, 08:00 pm
Respuesta #14

hernanlopezpardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 179
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muchas gracias, igual apenas llegue a casa subo mi desarrollo.

27 Julio, 2021, 11:48 pm
Respuesta #15

hernanlopezpardo

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 179
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sea \( u(x)=\displaystyle\frac{x}{3} \) y \( u´(x)=\displaystyle\frac{dx}{3} \)

Realizo la sustitución en la integral \( -\displaystyle\int_{3}^{0}f(\displaystyle\frac{4}{3}x)g´(x)dx \)

\( {f(4u(1))g(3u(1))-f(4u(0))g(3u(0))}-\displaystyle\int_{u(0)}^{u(3)}4f´(4u(x))g(3u(x))u´(x) \)
\( {f(4u(1))g(3u(1))-f(4u(0))g(3u(0))}-\displaystyle\int_{0}^{1}4f´(4u(x))g(3u(x))u´(x)=-36 \)
\( 0-4\displaystyle\int_{0}^{1}f´(4u(x))g(3u(x))u´(x)=-36 \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1}f´(4u(x))g(3u(x))u´(x)=9 \)