Autor Tema: Crecimiento logístico

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24 Julio, 2021, 11:22 am
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Marcos Castillo

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Hola

Tengo un texto y unas dudas. Primero cito el texto, y luego las dudas:

Citar
Crecimiento logístico

Pocas cantidades en la naturaleza pueden sostener un crecimiento exponencial durante períodos extensos de tiempo. El crecimiento generalmente estará limitado por restricciones externas. Por ejemplo, supongamos que un pequeño número de conejos (de ambos sexos) se introduce en una pequeña isla donde no había conejos previamente, y donde no existen depredadores que puedan comerse a los conejos. En virtud de su fertilidad natural, el número de conejos podría crecer exponencialmente, pero este crecimiento al final estará limitado por la cantidad de alimento disponible para los conejos. Supongamos que la isla puede proporcionar suficiente alimento para sostener indefinidamente una población de \( L \) conejos. Si hay \( y(t) \) en el instante \( t \), podemos esperar que \( y(t) \) crezca con una velocidad proporcional a \( y(t) \) siempre que  \( y(t) \) sea lo suficientemente pequeño (mucho menor que \( L \)). Un posible modelo para este comportamiento es la ecuación difrerencial

\( \dfrac{dy}{dt}=ky\left({1-\dfrac{y}{L}}\right) \)

que se denomina ecuación logística ya que modela un crecimiento limitado por el suministro de recursos necesarios. Obsérvese que \( dy/dt>0 \) si \( 0<y<L \) y que esta velocidad es pequeña si \( y \) es pequeña (hay pocos conejos para reproducirse) o si \( y \) tiene un valor cercano a \( L \) (hay casi tantos conejos como los recursos disponibles pueden alimentar). Obsérvese también que \( dy/dt<0 \) si \( y>L \). Si hay más animales de los que los recursos pueden alimentar, los conejos mueren con mayor velocidad que nacen. Por supuesto, las poblaciones en estado estacionario \( y=0 \) y \( y=L \) son soluciones de la ecuación logística: en ambos casos \( dy/dt=0 \). En la sección 7.9 examinaremos técnicas para resolver ecuaciones diferenciales como la ecuación logística. Por ahora, invitaremos al lector a verificar por diferenciación que la solución que cumple \( y(0)=y_0 \) es

\( y=\dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}} \)

Me sale un enredo algebraico irreductible:

\( \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{Ly_0^2e^{-kt}kt-L^2y_0kt}{y_0^2+e^{-2kt}L-y_0e^{-2kt}+2y_0L-2y_0^2e^{-kt}} \)

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

24 Julio, 2021, 12:11 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 No se muy bien si esto te ha salido al derivar o al calcular:

\(  ky\left(1-\dfrac{y}{L}\right) \)

 Con la expresión dada tienes:

\(  ky\left(1-\dfrac{y}{L}\right)=k\cdot \dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}\left(1-\dfrac{y_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}
\right)=k\cdot \dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}\cdot \dfrac{(L-y_0)e^{-kt}}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}}=\\\qquad =
 \dfrac{kLy_0(L-y_0)e^{-kt}}{(y_0+(L-y_0)e^{-kt})^2}
 \)

 Por otra parte si en:

\( y=\dfrac{Ly_0}{y_0+(L-y_0)e^{-kt}} \)

 derivas te queda:

\( \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{-Ly_0}{(y_0+(L-y_0)e^{-kt})^2}\cdot (L-y_0)(-k)e^{-kt} \)

Spoiler
Usamos que por la regla de la cadena:

\( \left(\dfrac{1}{f(t)}\right)'=\dfrac{-1}{f(t)^2}\cdot f'(t) \)
[cerrar]

Saludos.

24 Julio, 2021, 02:07 pm
Respuesta #2

Marcos Castillo

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¡Muchas gracias, Luis Fuentes!

Había derivado \( y \), y esperaba obtener \( \dfrac{dy}{dt}=ky_0\left({1-\dfrac{y_0}{L}}\right) \). Partía de dos premisas: \( L=y_0e^{kt} \), e \( y=y_0 \). Una chapuza.

¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)