Autor Tema: Probar que la siguiente función es constante

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20 Julio, 2021, 09:02 am
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JaimeTex

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Sea F una función con \( x\geq{0} \), tal que:

\( F(x) = \left(\displaystyle\int_{0}^{x}  \! e^{-t^2} \, dt \right )^2+\displaystyle\int_{0}^{1}  \! \dfrac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt  \)

Demostrar que F es una función constante.

20 Julio, 2021, 10:25 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenido al foro.

 Has escrito muy bien la fórmula en LaTeX. Pero no la pongas a trocitos entre [tex]...[/tex] ó \[ ...\]. Ponla toda entera entre esos delimitadores.  Te lo he corregido.

Sea F una función con \( x\geq{0} \), tal que:

\( F(x) = \left(\displaystyle\int_{0}^{x}  \! e^{-t^2} \, dt \right )^2+\displaystyle\int_{0}^{1}  \! \dfrac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} \, dt  \)

Demostrar que F es una función constante.

 Prueba que la derivada es nula. Si derivas queda:

\( F'(x)=2\left(\displaystyle\int_{0}^{x}  \! e^{-t^2} \, dt \right)\cdot e^{-x^2}+\displaystyle\int_{0}^{1}  \!-2xe^{-x^2(1+t^2)} \, dt  \)

 Pero:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}  \!-2xe^{-x^2(1+t^2)} \, dt=-2xe^{-x^2}\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2t^2}dt \)

 Si haces el cambio \( xt=u \) queda:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2t^2}dt=\dfrac{1}{x}\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-u^2}du \)

 Termina...

Saludos.