Autor Tema: Área entre curvas 7

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10 Julio, 2021, 01:08 am
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Julio_fmat

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Calcular el área entre \( y=x^2-3 \) y \( y=\dfrac{x(x^2-9)}{4} \).

Hola, como están. Estoy ayudando a un amigo, quisiera saber si voy bien encaminado. Calculamos los limites de integración:

\( x^2-3=\dfrac{x(x^2-9)}{4}\implies x^3-4x^2-9x+12=0. \)

Usando Wolfram, vemos que las raíces son \( x=1, x=\dfrac{3+\sqrt{57}}{2}, x=\dfrac{3-\sqrt{57}}{2}. \)

Entonces,

\( \begin{eqnarray*}
A=\displaystyle\int_{1}^{(3+\sqrt{57})/2}\left |{f(x)-g(x)}\right |dx & = & \displaystyle\int_1^{(3+\sqrt{57})/2}\left |{(x^2-3)-\dfrac{x(x^2-9)}{4}}\right |dx\\
&=& \dfrac{1}{4}\displaystyle\int_1^{(3+\sqrt{57})/2}(4x^2-12-x^3+9x)dx\\
\end{eqnarray*}
 \)
"Haz de las Matemáticas tu pasión".

10 Julio, 2021, 01:35 am
Respuesta #1

franma

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Buenas Julio_fmat,

Te estas dejando una parte del area, la integral a calcular seria:

\( \displaystyle\int_{\frac{3-\sqrt{57}}{2}}^{1} |f(x)-g(x)|dx + \int_{1}^{\frac{3+\sqrt{57}}{2}} |f(x)-g(x)|dx \)

Luego te puedes deshacer del valor absoluto probando con un valor en cada intervalo (entre raíces) para ver que función es más grande.

\( f(x)=x^2-3 \)
\( g(x)=\dfrac{x(x^2-9)}{4} \)

Probemos en el primer intervalo por ejemplo con el 0:
\( f(0)=-3 \)
\( g(0)=0 \)
Entonces en el primer intervalo g(x)>f(x)

Ahora en el segundo:
\( f(2)=1 \)
\( g(2)=-5/2 \)
Entonces en el segundo intervalo f(x)>g(x)

Concluyendo la integral a calcular es entonces:
\( \displaystyle\int_{\frac{3-\sqrt{57}}{2}}^{1} g(x)-f(x) dx + \int_{1}^{\frac{3+\sqrt{57}}{2}} f(x)-g(x)dx \)

Espero que te haya sido de ayuda :).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.