Autor Tema: Area bajo la curva

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03 Junio, 2021, 06:06 pm
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NoelAlmunia

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Determinar y comprobar, por dos métodos diferentes, el área bajo la curva \( f_\left(x\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{1+x^3}} \) por encima del eje de las abscisas y limitada por las rectas \( x=0 \) e \( x=1 \) como muestra el gráfico adjunto.


03 Junio, 2021, 06:25 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola NoelAlmunia, es sólo calcular la integral definida. Cuéntanos qué has intentado y lo revisamos. ¿Puedes usar métodos numéricos para calcular un valor aproximado de la integral? Eso abre varias opciones.

Sobre la imagen: para hacerla visible revisa este post. Esta vez modifiqué tu mensaje para que la imagen esté visible.

03 Junio, 2021, 10:16 pm
Respuesta #2

DaniM

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Una manera de calcularla sería por el método estándar: calculando la integral de \( f \), que la va a calcular Panete, usando \( 1 \) y \( 0 \) como límites de integración.

Una segunda manera que se me ocurre es usando la idea de que, si capturamos la figura en un cuadrado \( C \) cuyos vértices son los puntos \( (0, 0) \), \( (0, 1) \), \( (1, 0) \) y \( (1, 1) \), llamamos \( S \) a la región bajo la curva de \( f \), que en tu dibujo está coloreada de gris, \( a(S) \) al área de \( S \), \( T \) a la región que resulta de \( C - S \) y \( a(T) \) a su área.

Entonces \( a(S) = a(C) - a(T) = 1 - a(T) = \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{1+x^3}}dx \). Si ahora giramos la figura \( 90º \) en sentido horario, vemos que podemos calcular \( a(T) \) a partir del área bajo la curva de \( f^{-1}(y) = \sqrt[ 3]{\left(\frac{1}{y^3} - 1\right)} \) usando como límites de integración \( 0 \) y \( f(1) \). Una vez calculado \( a(T) \), basta con hacer \( a(C) - a(T) \) para obtener \( a(S) \). No sé si me habré equivocado en algo, o en todo, pero la idea ahí queda.  :laugh:

Edito: acabo de darme cuenta de que probablemente he dicho los vértices del cuadrado demasiado rápido, al basarme solo en lo que veo a ojo en la gráfica. En realidad tendría que ser un rectángulo cuya altura fuera igual al máximo de \( f \) en \( [0, 1] \) para asegurarnos de que no nos dejamos fuera de \( C \) ningún trozo de \( S \).

04 Junio, 2021, 02:40 pm
Respuesta #3

NoelAlmunia

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Hola NoelAlmunia, es sólo calcular la integral definida. Cuéntanos qué has intentado y lo revisamos. ¿Puedes usar métodos numéricos para calcular un valor aproximado de la integral? Eso abre varias opciones.

Sobre la imagen: para hacerla visible revisa este post. Esta vez modifiqué tu mensaje para que la imagen esté visible.

Saludos, no aclaré que los métodos numéricos quedan descartados. El problema es que el procedimiento es sencillo, la cuestión está en el cálculo de la integral definida. Pues sí, yo he optado por el método algebraico y también por el uso de las series de potencia, por aquí podemos atacar el problema.

04 Junio, 2021, 04:56 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Saludos, no aclaré que los métodos numéricos quedan descartados. El problema es que el procedimiento es sencillo, la cuestión está en el cálculo de la integral definida. Pues sí, yo he optado por el método algebraico y también por el uso de las series de potencia, por aquí podemos atacar el problema.

Está bien que quieres usar series de potencias; pero a no ser que la serie tenga una suma conocida, eso no te aleja de finalmente tener que aplicar métodos numéricos para sumarla si es que realmente se quiere llegar a un resultado numérico.

Saludos.

04 Junio, 2021, 06:14 pm
Respuesta #5

ingmarov

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Determinar y comprobar, por dos métodos diferentes, el área bajo la curva \( f_\left(x\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{1+x^3}} \) por encima del eje de las abscisas y limitada por las rectas \( y=0 \) e \( y=1 \) como muestra el gráfico adjunto.



Debe ser limitada por las rectas x=0, x=1.

No sabía cómo hacer esa integral, así que hice trampa  :-\ :-\ y la introduje en la página siguiente:

https://www.integral-calculator.com/

Dejo en el spoiler la sustitución utilizada,

Spoiler
\[ u=\dfrac{\sqrt[3]{1+x^3}}{x} \]
[cerrar]


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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07 Junio, 2021, 09:52 pm
Respuesta #6

NoelAlmunia

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Determinar y comprobar, por dos métodos diferentes, el área bajo la curva \( f_\left(x\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[3]{1+x^3}} \) por encima del eje de las abscisas y limitada por las rectas \( y=0 \) e \( y=1 \) como muestra el gráfico adjunto.



Debe ser limitada por las rectas x=0, x=1.

No sabía cómo hacer esa integral, así que hice trampa  :-\ :-\ y la introduje en la página siguiente:

https://www.integral-calculator.com/

Dejo en el spoiler la sustitución utilizada,

Spoiler
\[ u=\dfrac{\sqrt[3]{1+x^3}}{x} \]
[cerrar]


Saludos

Así es, el resultado del área tiene un valor muy aproximado a 0.9377 \( u^2 \). Pero como bien dices hiciste trampa y no es aceptado el resultado por esta vía. Recuerda que cuando Newton investigaba las áreas bajo las curvas \( f_\left(x\right)=\left(1-x^2\right)^{n/2} \), con \( n \) impar, no buscó una computadora.
Haz un segundo esfuerzo.

07 Junio, 2021, 09:55 pm
Respuesta #7

NoelAlmunia

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Hola

Saludos, no aclaré que los métodos numéricos quedan descartados. El problema es que el procedimiento es sencillo, la cuestión está en el cálculo de la integral definida. Pues sí, yo he optado por el método algebraico y también por el uso de las series de potencia, por aquí podemos atacar el problema.

Está bien que quieres usar series de potencias; pero a no ser que la serie tenga una suma conocida, eso no te aleja de finalmente tener que aplicar métodos numéricos para sumarla si es que realmente se quiere llegar a un resultado numérico.

Saludos.

Me refiero a métodos como Trapecios o Simpson, por poner unos ejemplos.

07 Junio, 2021, 10:05 pm
Respuesta #8

ingmarov

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Hola

...
Así es, el resultado del área tiene un valor muy aproximado a 0.9377 \( u^2 \). Pero como bien dices hiciste trampa y no es aceptado el resultado por esta vía. Recuerda que cuando Newton investigaba las áreas bajo las curvas \( f_\left(x\right)=\left(1-x^2\right)^{n/2} \), con \( n \) impar, no buscó una computadora.
Haz un segundo esfuerzo.

Lo intentaré

Añado

Si aproximamos la función a una parábola mediante el método de los mínimos cuadrados (Con 11 puntos) podemos llegar a que

\[ f(x)\approx P(x)=0.9989810777974961+(0.05005750767832495)x+(-0.2580518174131541)x^2 \]

La integral definida resulta    \[ I\approx 0.99898108+\dfrac{0.05005751}{2}-\dfrac{0.25805182}{3}=\bf 0.9379925591656072 \]

Dejo las gráficas superpuestas de la función original (en rojo) y de la aproximación (en azul)



Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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08 Junio, 2021, 12:55 am
Respuesta #9

ingmarov

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Hola

Y ¿la aproximación por mínimos cuadrados están permitidos? De todos modos lo dejé en le mensaje anterior.




Añado los resultados de utilizar más puntos en el intervalo de 0 a 1

101 Puntos

\[ P(x)=0.9976817401024292+(0.05745957965535098)x+(-0.2660069725254388)x^2 \]

\[ I\approx 0.9377425390882917 \]



1001 Puntos

\[ P(x)=0.9975194948959611+(0.05836510675490558)x+(-0.2669742328262714)x^2 \]

\[ I\approx 0.9377106373313234 \]




Saludos
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