Autor Tema: Equivalencia de resultados

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01 Junio, 2021, 10:16 pm
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NoelAlmunia

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Dos topógrafos miden diferencias en la altitud cuando hacen planos para una misma carretera que cruzará un desierto, por lo que deben hacer correcciones tomando en cuenta la curvatura de la Tierra.
a) Si \( R \) es el radio de la Tierra y \( L \) es la longitud de la carretera, uno de los topógrafos calcula la corrección por la relación: \( C=R\,\sec\left(\displaystyle\frac{L}{R}\right)-R \)
-Demuestre que es válida esta relación.

b) El segundo topógrafo estima la corrección mediante la relación: \( C\approx{\displaystyle\frac{L^2}{2R}+\displaystyle\frac{5L^4}{24R^3}} \)
-Demuestre que las relaciones de ambos topógrafos son equivalentes.



Se adjunta el diagrama del problema

02 Junio, 2021, 09:08 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Dos topógrafos miden diferencias en la altitud cuando hacen planos para una misma carretera que cruzará un desierto, por lo que deben hacer correcciones tomando en cuenta la curvatura de la Tierra.
a) Si \( R \) es el radio de la Tierra y \( L \) es la longitud de la carretera, uno de los topógrafos calcula la corrección por la relación: \( C=R\,\sec\left(\displaystyle\frac{L}{R}\right)-R \)
-Demuestre que es válida esta relación.

En el triángulo rectángulo que has dibujado si llamas \( H \) a la hipotenusa:

\( R=H\cdot cos(L/R)\quad \Rightarrow{}\quad H=\dfrac{R}{cos(L/R)}=R\cdot sec(L/R) \)

\( C=H-R=R\cdot sex(L/R)-R \)

Citar
b) El segundo topógrafo estima la corrección mediante la relación: \( C\approx{\displaystyle\frac{L^2}{2R}+\displaystyle\frac{5L^4}{24R^3}} \)
-Demuestre que las relaciones de ambos topógrafos son equivalentes.

Basta tener en cuenta la serie de Taylor de la secante en \( x_0=0 \):

\( sec(x)=1+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{5x^4}{24}+o(x^6) \)

Saludos.

02 Junio, 2021, 03:06 pm
Respuesta #2

NoelAlmunia

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Sí, muy sencillo si utilizamos las series de potencias como en este caso.
Saludos Luis