Hay que probar que se satisfacen los dos axiomas de una topología:
(*) La unión de una familia arbitraria de conjuntos de la forma \(N_i\) da otro conjunto de la misma familia.
(**) La intersección de dos conjuntos de la forma \(N_i\) da otro conjunto de la misma forma.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que el elemento \(\infty\) que se ha agregado en este ejercicio, se supone implícitamente que satisface la relación \(\infty > i\), para todo número natural \(i\).
A lo mejor lo que puede complicar en este tipo de ejercicios es encontrar una notación adecuada.
Una manera más formal de escribir (*) es así:
(*) Sea \(\mathcal N\) una familia de conjuntos de la forma \(N_i\), donde \(i\in\mathbb N\).
Esto significa que existe una familia \(\{{i_a};a\in A \}\) de índices,
donde \(A\) es un conjunto cualquiera (que puede ser finito o infinito, y constar de cualquier tipo imaginable de elementos),
y \(i_a\in \mathbb N\) para cada \(a\in A\).
Se obtiene que la familia de conjuntos es \(\mathcal N = \{N_{i_a};a\in A\}\).
Sea \(U\) la unión de todos esos conjuntos, o sea:
\[
U = \bigcup_{a\in A} N_{i_a}.
\]
Se pide demostrar que \(U\) es de la forma \(N_i\).
O sea, hay que demostrar que existe un número natural \(x\), tal que \(U=N_x\).
Algo similar se debe hacer con (**), pero es más fácil, porque ahí sólo se deben intersectar 2 conjuntos, y no una familia arbitraria.
