Hola FORO!! Espero todos estén muy bien!
Necesito de su ayuda por favor con el siguiente ejercicio lo he hecho dos veces, y las dos llego a lo mismo, pero no logro ver la tesis inductiva.
Probar que para todo \( n \in{\mathbb{N}} \) vale \( \displaystyle\sum_{j=1}^n{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}=\displaystyle\binom{2n}{n}(2n+1)-1 \)
Se verifica para \( P(1) \)
Supongo que \( P(k):\displaystyle\sum_{j=1}^k{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}=\color{red}\displaystyle\binom{2k}{k}(2k+1)-1 \) es verdadero
DPQ: \( P(k+1):\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}=\displaystyle\binom{2(k+1)}{k+1}(2(k+1)+1)-1=\color{blue}\displaystyle\binom{2k+2}{k+1}(2k+3)-1 \) es verdadero
Demostración\( P(k+1):\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}= \) desarrollo el último término
\( \displaystyle\sum_{j=1}^{k}{(3j+2)}\displaystyle\binom{2j-1}{j}+\left[3(k+1)+2\right]\displaystyle\binom{2(k+1)-1}{k+1}= \) uso hipótesis inductiva y opero un poco el número combinatorio
\( \color{red}\displaystyle\binom{2k}{k}(2k+1)-1\color{black}+\left[3(k+1)+2\right]\displaystyle\binom{2k+1}{k+1}= \)
Aplico la definición de número combinatorio
\( \displaystyle\frac{(2k+1)(2k)!}{k!(2k-k)!}+\displaystyle\frac{(3k+5)(2k+1)!}{(k+1)!(2k+1-k-1)!}-1= \)
\( \displaystyle\frac{(2k+1)(2k)!}{k!k!}+\displaystyle\frac{(3k+5)(2k+1)!}{(k+1)!k!}-1= \)
Como \( (2k+1)(2k)!=(2k+1)! \)
\( \displaystyle\frac{(2k+1)!}{k!k!}+\displaystyle\frac{(3k+5)(2k+1)!}{(k+1)!k!}-1= \)
Saco denominador común
\( \displaystyle\frac{(2k+1)!(k+1)!+k!(2k+1)!(3k+5)}{k!k!(k+1)!}-1= \)
Escribo a \( (k+1)!=(k+1)k! \)
\( \displaystyle\frac{(2k+1)!(k+1) k!+k!(2k+1)!(3k+5)}{k!k!(k+1)!}-1= \)
saco factor común\( k!(2k+1)! \)
\( \displaystyle\frac{k!(2k+1)!\left[k+1+3k+5 \right]}{k!k!(k+1)!}-1= \)
\( \displaystyle\frac{(2k+1)!2(2k+3)}{k!(k+1)!}-1 \) no se que más podría hacer para llegar a la tesis inductiva\( \color{blue}\displaystyle\binom{2k+2}{k+1}(2k+3)-1 \) o dónde puede estar el error.
Muchas Gracias
Saludos
