[NoelAlmunia]

El planeta Mercurio viaja  en una órbita elíptica con exentricidad 0.206. Su distancia mínima al Sol es \( 4.6*10^7\,Km \)
Determine su distancia máxima al Sol.
Con estos datos determine analíticamente la distancia que recorre el planeta durante una órbita completa alrrededor del Sol.

[Fernando Revilla]

El planeta Mercurio viaja  en una órbita elíptica con exentricidad 0.206. Su distancia mínima al Sol es \( 4.6*10^7\,Km \) Determine su distancia máxima al Sol. Con estos datos determine analíticamente la distancia que recorre el planeta durante una órbita completa alrrededor del Sol.

El Sol esta en uno de los focos de una elipse de ecuación \( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1,\;(a^2>b^2) \), en donde \( \color{red}a-c=\color{black}4.6\cdot 10^7 \) y \( e=\displaystyle\frac{c}{a}= 0.206 \). Esto permitirá hallar el resto de elementos de la elipse.

[NoelAlmunia]

 
Estimado Fernando, en 1609 el matemático y astrónomo Johannes Kepler, basado en enormes cantidades de datos astronómicos, publicó las tres leyes del movimiento planetario y la primera ley resa así:
"Un planeta gira alrededor del Sol en órbita elíptica con el Sol en uno de sus FOCOS"
El Sol nunca se encuentra en el centro de la elipse.
Esto es aplicable igualmente al movimiento de lunas, cometas, satélites y otros cuerpos que giran sujetos a una sola fuerza gravitacional.
Por tanto, las posiciones de un planeta que sean más cercanas al Sol, y más lejanas a este, se denominan perihelio y afelio, respectivamente, y corresponden a los vértices de la elipse.
Respecto a la distancia que recorre Mercurio durante una órbita completa alrededor del Sol, no quisiera utilizar métodos numéricos para su evaluación como la regla de Simpson, trapecios, etc.

[Luis Fuentes]

Hola

 
Estimado Fernando, en 1609 el matemático y astrónomo Johannes Kepler, basado en enormes cantidades de datos astronómicos, publicó las tres leyes del movimiento planetario y la primera ley resa así:
"Un planeta gira alrededor del Sol en órbita elíptica con el Sol en uno de sus FOCOS"
El Sol nunca se encuentra en el centro de la elipse.
Esto es aplicable igualmente al movimiento de lunas, cometas, satélites y otros cuerpos que giran sujetos a una sola fuerza gravitacional.
Por tanto, las posiciones de un planeta que sean más cercanas al Sol, y más lejanas a este, se denominan perihelio y afelio, respectivamente, y corresponden a los vértices de la elipse.

En ese caso, con las mismas fórmulas que indicó Fernando tienes \( a-c=4.6\cdot 10^7 \) y \( c/a=0.206 \).

De ahí puedes hallar las dimensiones de la elipse.

Respecto a la distancia que recorre Mercurio durante una órbita completa alrededor del Sol, no quisiera utilizar métodos numéricos para su evaluación como la regla de Simpson, trapecios, etc.

Pero no hay una fórmula explícita para hallar de manera exacta el perímetro de una elipse.

Saludos.

[Fernando Revilla]

"Un planeta gira alrededor del Sol en órbita elíptica con el Sol en uno de sus FOCOS"

Por supuesto, fue un despiste sin ánimo de enfrentarme con Kepler.

[Abdulai]

...
Por supuesto, fue un despiste sin ánimo de enfrentarme con Kepler.

Mmm  Marche un sambenito XL   

[NoelAlmunia]

No te preocupes Fernando que Kepler no se va a enterar de esto, jajaaa.
Luis, por aquí si va la cosa. Si el Sol está en un foco de la elipse, entonces como dices \( a-c=4.6*10^7 \)
\( c=0.206a \)
\( a-0.206a=4.6*10^7 \)
\( a=5.7934*10^7 \)
\( c=0.206*5.7934*10^7=1.1934*10^7 \)
Por tanto, en la elipse se cumple: \( b^2=a^2-c^2 \)
\( b=\sqrt[]{a^2-c^2}=5.6691*10^7 \)
Ya tenemos los parámetros de la elipse de la órbita del planeta. Quedaría por calcular la distancia recorrida en una órbita completa.
Hagamos uso del cálculo integral, mediante integrales curvilineas podemos deducir la longitud de la elipse, manos a la obra.
Cuando se logre la integral de la longitud de la elipse, veremos que es muy dificil su solución por métodos convencionales y podrían emplearse métodos numéricos. Pero quiero experimentar mediante el uso de series binomiales.

[Fernando Revilla]

Hagamos uso del cálculo integral, mediante integrales curvilineas podemos deducir la longitud de la elipse, manos a la obra.

No te lo aconsejo . Mira por aquí:
 
        https://fernandorevilla.es/blog/2014/08/03/cotas-de-la-longitud-de-una-elipse/
        http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/numerico/integral/longitud_elipse/longitud_elipse.html

[NoelAlmunia]

UFFF!!. Fernando, hasta la expresión de la integral para el cálculo de la longitud, está todo bien. En lo adelante, muy engorroso.
Naturalmente esta integral es muy dificil por métodos convencionales pero puede enfrentarse por métodos numéricos como regla de Simpson, trapecios, etc. Pero quiero experimentar usando las series binomiales de Newton. Pueden deducirse también usando las series de Maclaurin.
Naturalmente, el teorema binomial puede deducirse a partir del desarrollo en serie de Maclaurin.
Hagamos el intento!!!

[feriva]

Pero quiero experimentar usando las series binomiales de Newton. Pueden deducirse también usando las series de Maclaurin.
Naturalmente, el teorema binomial puede deducirse a partir del desarrollo en serie de Maclaurin.
Hagamos el intento!!!

Si es por motivación personal o porque te exigen, pues tendrás que hacerlo, pero tengo la impresión (quizá me equivoco) de que en la práctica no merece mucho la pena. Pienso que aquí, esta distancia que te dan, por ejemplo, \( 4.6*10^{7}
  \), seguramente no tiene mucha precisión, porque en la práctica es difícil o imposible medir eso con demasiada exactitud; o sea, ahí no van seis ceros detrás de 4.6, mucha casualidad sería.

Entonces, para dar un resultado con tres o cuatro cifras, casi vale usar este “perímetro” \( 2\pi\sqrt{ab}
  \).

Es decir, podemos pensar así: supongamos que existiera un planeta que recorriese un perímetro igual y en el mismo periodo T pero a velocidad constante; con lo que su órbita sería una circunferencia.

Serían cuerpos distintos, pero puesto que la excentricidad de las órbitas consideradas no son muy distintas, ambos barrerían áreas más o menos iguales en tiempos iguales (apoyándonos también un poco en la segunda ley de Kepler). El área de dicha circunferencia sería “casi” igual a la de la elipse de la órbita de Mercurio. Y puesto que a cada área de una circunferencia le corresponde un radio único, éste tendría que ser más o menos \( A\pi\approx r^{2}\Rightarrow r\approx\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}
  \), donde A es el área de la elipse. De ahí el perímetro, aproximadamente, vendría a parecerse a esto \( 2\pi\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}=2\sqrt{\pi A}=2\pi\sqrt{ab}
  \).

Si se hace la cuenta con tal fórmula te sale (si no me equivoco)

\( 3.600*10^{8}
  \)

Si se hace con la fórmula de Ramanujan (que viene en el segundo enlace que ha puesto Fernando) ésta, \( P=\pi[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}]
  \), sale

\( 3.601*10^{8}
  \).

Y porque Mercurio es el que más excentricidad tiene o uno de los que más, con otros no se nota usando tres o cuatro cifras, porque recuerdo que yo lo hice alguna vez con alguno.

Así que lo que encuentro es eso, primero tendríamos que estar seguros de cuál es la exactitud de los datos que nos dan para ver con cuánta precisión se debe trabajar; y a partir de ahí puede merecer la pena o no (desde un punto de vista práctico, quiero decir).

Saludos.