[SandyFresh]

Hola a todos, necesito una ayuda con este tema para resolver este ejercicio \( \displaystyle\int_1^4\sqrt{x} (2+x)dx= \) usando la segundo fórmula del teorema del c´slculo alguien podría compartirme un ejemplo, ya realicé un ejercicio sobre esto pero sinceramente no se si está bien desarrollado que es este:



CORREGIDO

[Juan Pablo Sancho]

Lo que te piden es que calcules esa integral, usa \( t = \sqrt{x} \):
\( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \cdot (2+x) \ dx = \int_1^2 t \cdot (2+t^2) \cdot (2t \ dt)  \)

[ancape]

Si la raíz cuadrada sólo afecta a \( x \) y no a \( (x+2) \), lo que te ha dicho Juan Pablo es perfecto. Si afecta, la cosa se complica pues hallar una primitiva de \( \sqrt[ ]{x*(2+x)} \) no es fácil. Yo la he hallado con la ayuda de Maple y sale \( \dfrac{1}{4}(2+2x)\sqrt{x^2+2x}-\dfrac{1}{2}ln(1+x+\sqrt{x^2+2x}) \)

[manooooh]

Hola SandyFresh, bienvenido al foro!!

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Hola a todos,necesito una ayuda con este tema para resolver este ejercicio \( ∫_1^4√x (2+x)dx= \) usando la segundo formula del teorema del calculo alguien podria compartirme un ejemplo, ya realize un ejercicio sobre esto pero sinceramente no se si esta bien desarrollado que es este:

¿Cómo debe interpretarse la integral? ¿\[ \int_1^4\sqrt{x}(2+x)\,dx \] o \[ \int_1^4\sqrt{x(2+x)}\,dx \]?

Lo que te piden es que calcules esa integral, usa \( t = \sqrt{x} \):
\( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \cdot (2+x) \ dx = \int_1^2 t \cdot (2+t^2) \cdot (2t \ dt)  \)

Según he entendido por el ejemplo que pone en la imagen y por el título del hilo, lo que le piden es hallar la derivada de la función, empleando el 2º teorema fundamental del Cálculo, y no integrar.

Si no es así SandyFresh, por favor acláralo. Y si es así, el ejemplo que pones es muy ilustrador, salvo por el hecho de que faltó agregar una potencia décima tanto en \( g(x^3) \) como \( g(3x) \). ¿En dónde te estancaste?

Saludos

[Juan Pablo Sancho]

Pero la derivada de una constante es cero y no hay nada más que hacer \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \cdot (2+x) \ dx = C \in \mathbb{R}  \) constante.
Si lo que te piden es \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x \cdot (2+x)} \ dx  \) entonces:
\( \sqrt{x \cdot (2+x) } = \sqrt{2x +x^2} = \sqrt{(x+1)^2-1}  \)
Ahora usa \( x+1 = ch(t) \)

[manooooh]

Pero la derivada de una constante es cero y no hay nada más que hacer \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \cdot (2+x) \ dx = C \in \mathbb{R}  \) constante.

Es cierto lo que dices, pero no impide usar el segundo teorema fundamental del cálculo.

[SandyFresh]

Si, no debo usar los métodos de integración debo realizarlo usarlo el teorema fundamental del calculo,entonces el que realize esta bien?,tengo dudas acerca de los exponentes en la funcion generica agradeceria que me aclaren para poder realizar el otro el cual es el que debo sustentar

[Juan Pablo Sancho]

Pero el segundo teorema fundamental del cálculo es calcular la integral:
Primer y segundo teorema fundamental del cáculo.

[feriva]

Si, no debo usar los métodos de integración debo realizarlo usarlo el teorema fundamental del calculo,entonces el que realize esta bien?,tengo dudas acerca de los exponentes en la funcion generica agradeceria que me aclaren para poder realizar el otro el cual es el que debo sustentar

Pero entonces, lo que quieres decir en el enunciado, es que en realidad hay que hallar la derivada de esto \( \displaystyle\int 1^4\sqrt{}x(2+x)dx \), no la integral, ¿no?

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

El problema feriva es que sea \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \cdot (2+x) \ dx  \) o \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x \cdot (2+x)} \ dx  \) la derivada es cero.