[SandyFresh]

De antemano gracias por todos sus aportes.

Para ser mas precisos esto es lo que me están pidiendo.
Desarrollar  el  ejercicio  por  medio  del  segundo  teorema  fundamental  del cálculo,  utilizando  el  álgebra,  la  trigonometría  y  propiedades  matemáticas para reducir las funciones a integrales inmediatas, recuerde que no debe hacer uso de los métodos de integración (sustitución, integración por partes, etc.)

En concreto el ejercicio es asi disculpen.

\( \displaystyle\int _1^4\sqrt[ ]{x} (2+x)dx= \)

[sugata]

Multiplica y trabaja con los exponentes.
\( \displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt[ ]{x} (2+x)dx=\displaystyle\int_{1}^{4}2x^{1/2}+x^{1/2}xdx...  \)

Ahora solo es una suma de monómios, que se integra directamente.

[SandyFresh]

Ok gracias!

[Juan Pablo Sancho]

Multiplica y trabaja con los exponentes.
\( \displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt[ ]{x} (2+x)dx=\displaystyle\int_{1}^{4}2x^{1/2}+x^{1/2}xdx...  \)

Ahora solo es una suma de monómios, que se integra directamente.

Más fácil imposible.

[feriva]

El problema feriva es que sea \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \cdot (2+x) \ dx  \) o \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x \cdot (2+x)} \ dx  \) la derivada es cero.

Sí, era raro lo de los límites de integración definidos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 SandyFresh:  Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Además tienes que intentar ser coherente en la exposición de tu pregunta y separar problemas distintos en diferentes hilos. Me explico:

 Has planteado una pregunta sobre esta integral \( \displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \cdot (2+x) \ dx \) y al mismo tiempo preguntas por otro ejercicio cuya solución expones pero que nada tiene que ver con el primero.

 Deberías de haber planteado cada pregunta en hilos diferentes.

 

 Esta mal.

- En primer lugar tu función \( g(x) \) sería \( g(x)=(x^3+1)^{10} \) pero tu cuando sustituyes olvidas ese exponente \( 10 \).

- Además después no sé porque, aunque ya tienes una expresión para la derivada \( G'(x)=\ldots \) (con ese error en el exponente)... ¡vuelves a derivar!. En ese caso lo que hallarías sería la segunda derivada \( G''(x) \).

 Entonces en realidad si,

\(  G(x)=\displaystyle\int_{3x}^{x^3}(t^3+1)^{10}dt \)

 se tiene que:

\(  G'(x)=((x^3)^3+1)^{10}\cdot (3x^2)-((3x)^3+1)^{10}\cdot 3 \)

Saludos.

[sugata]

Multiplica y trabaja con los exponentes.
\( \displaystyle\int_{1}^{4}\sqrt[ ]{x} (2+x)dx=\displaystyle\int_{1}^{4}2x^{1/2}+x^{1/2}xdx...  \)

Ahora solo es una suma de monómios, que se integra directamente.

Más fácil imposible.

La verdad es que me extrañaron las complicaciones usadas al principio, pero pensé que era por algo del segundo teorema (como casi todo, lo tengo oxidado)
Ahora al preguntar directamente la resolución, lo vi sencillo.