Hola.
(1) implica (2). Nota que \( \alpha \Vert x\Vert \le \Vert T(x) \Vert \) para todo \( x\in X \) es lo mismo que \( \alpha \le \Vert T(z) \Vert \) para todo \( z\in X \) de norma 1. O sea que queremos ver que \( \inf \{ \Vert T(z) \Vert : \Vert z\Vert =1 \} \) es positivo. Si fuera \( 0 \), entonces podríamos encontrar una sucesión \( (T(z_n) ) \) que converge a 0. Luego...
(2) implica (1). Espero que no tengas problemas mostrando que el kernel es trivial. Para mostrar que \( T(X) \) es cerrado, tomemos una sucesión \( T(x_n)\to y \) para algún \( y\in Y \). Queremos ver que \( y=T(x) \) para algún \( x\in X \). Si supiéramos que \( (x_n) \) converge, ya lo tendríamos por continuidad. Como \( X \) es de Banach, es suficiente ver que \( (x_n) \) es de Cauchy. Para eso usa que
\( \Vert x_n-x_m \Vert \le \dfrac{1}{\alpha} \Vert T(x_n-x_m) \Vert = \dfrac{1}{\alpha} \Vert (T(x_n)-y)+(y-T(x_m) ) \Vert \).
Disculpe podría ser algo más explícito en los pasos, tengo dificultades con el Análisis Funcional y necesito resolverlo con urgencia.
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Respecto a lo que le preguntas a Gustavo, por ser algo más explícito: de la parte (1) implica (2), siguiendo la idea de Gustavo, con las condiciones descritas si tenemos una sucesión nula \( \{x_k\}_{k\in \mathbb N} \) tal que \( \|Tx_k\|=1 \) para todo \( k \) entonces \( T \) no sería continuo. Contradicción.
Ahora viene (2) implica (1): claramente si \( \alpha \|x\|\leqslant \|Tx\| \) para todo \( x \) para algún \( \alpha >0 \), entonces \( Tx=0 \) si y solo si \( x=0 \), por tanto el núcleo de \( T \) es trivial, y el resto ya lo ha resuelto Gustavo.
