[gtilef]

Sea \( \left\{y(n)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de escalares tal que la serie  \( \sum_{n\in\mathbb{N}}x(n)y(n) \) es convergente para toda sucesión  \( \left\{x(n)\right\}_{n\in\mathbb{N}}\in c_0 \). Compruebe que la serie \( \sum_{n\in\mathbb{N}}\left|y(n)\right| \) converge.

[ancape]

Sea \( \left\{y(n)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de escalares tal que la serie  \( \sum_{n\in\mathbb{N}}x(n)y(n) \) es convergente para toda sucesión  \( \left\{x(n)\right\}_{n\in\mathbb{N}}\in c_0 \). Compruebe que la serie \( \sum_{n\in\mathbb{N}}\left|y(n)\right| \) converge.

¿ Qué significa la condición \( \in{c_0} \) ?

[gtilef]

El espacio \( c_0 \) es un subespacio de \( l_{\infty} \) formado por sucesiones convergentes a cero.

[ancape]

Si \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty y_n \) fuese convergente entonces \( y_n\longrightarrow{0} \) y por tanto, si definimos la sucesión \( x_n \) como \( x_n=y_n \) si \( y_n\geq{0},x_n=-y_n  \) si \( y_n<0 \), la sucesión \( x_n·y_n \) daría la serie convergente \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty x_n·y_n \)  y cómo\(  \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(x_n·y_n)/\left |{y_n}\right |}=0 \) la serie  \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty |y_n| \) sería convergente.

Falta pues demostrar que la serie, con la hipótesis del enunciado,  \( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty y_n \)  es convergente salvo que el enunciado esté mal transcrito y diga que dicha serie es convergente.

Saludos

[gtilef]

Creo que se resuelve usando el teorema de acotación uniforme pero no se muy bien como.

[Masacroso]

Sea \( \left\{y(n)\right\}_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de escalares tal que la serie  \( \sum_{n\in\mathbb{N}}x(n)y(n) \) es convergente para toda sucesión  \( \left\{x(n)\right\}_{n\in\mathbb{N}}\in c_0 \). Compruebe que la serie \( \sum_{n\in\mathbb{N}}\left|y(n)\right| \) converge.

Si la serie \( \sum_{k\geqslant 0}|y_k| \) diverge a infinito entonces para cada \( M>0 \) existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( \sum_{k=0}^n|y_k|>M \) para todo \( n\geqslant N \). Entonces si definimos \( s_{n,m}:=\sum_{k=n}^{m-1}|y_k| \) podemos definir una sucesión estrictamente creciente de naturales \( \{n_j\}_{j\in \mathbb N} \) tal que \( s_{n_j,n_{j+1}}>j \) para cada \( j\in \mathbb{N} \).

Ahora definimos la sucesión \( x_k:=\operatorname{signo}(y_k)/j \) cuando \( k\in\{n_j,\ldots ,n_{j+1}-1\} \). Entonces la sucesión \( \{x_k\}_{k\in \mathbb N} \) converge a cero pero \( \sum_{k\geqslant 0}y_kx_k=\infty  \), lo cual es una contradicción. Por tanto \( \sum_{k\geqslant 0}|y_k|<\infty  \).∎


Quizá haya una forma más sencilla de demostrarlo utilizando teoremas de análisis funcional, pero no se me ocurre ahora mismo nada en esa vía (tampoco es que sea muy ducho en análisis funcional  ).

[gtilef]

¿Porque define \( x_k=signo(y_k)/j \) cuando \( k\in\left\{n_j,...,n_{j+1}-1\right\} \)? ¿Qué significa?

[Masacroso]

¿Porque define \( x_k=signo(y_k)/j \) cuando \( k\in\left\{n_j,...,n_{j+1}-1\right\} \)? ¿Qué significa?

Lo defino así porque de esa manera la sucesión \( \{x_k\}_{k\in \mathbb N} \) es de tipo \( c_0 \), lo que demuestra que la serie es necesariamente convergente. El signo de \( y_k \) es la función signo, eso hace que \( x_ky_k=|y_k|/j \) cuando \( k\in\{n_j,\ldots ,n_{j+1}-1\} \). ¿Lo ves ya claro? Si no es así, ¿qué parte, exactamente, es la que no entiendes?