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Mensajes - Tanius

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Análisis Funcional - Operadores / Re: Esfera Unitaria
« en: 07 Enero, 2018, 11:36 pm »
Saludos

Agradecería su ayuda para entender esto.

Tengo \( (X, \left\|{\cdot}\right\|) \) un espacio vectorial normado. Tengo que el dual de \( X \), es decir, \( X' \), es separable. Me dicen que la esfera unitaria \( U'=\{f; \left\|{f}\right\|=1\}\subset X' \) también contiene un subconjunto denso numerable.

Pero, ¿Por qué?.

Todo subespacio métrico de un espacio métrico separable es también separable. En este caso \( X' \) tiene una norma usual (entonces es espacio métrico y la esfera un subespacio). Sin embargo, hay que verificar qué topología estás considerando en \( X' \), porque también tiene otras conocidas topologías.

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Topología (general) / Re: Homeomorfismo y espacio T_1.
« en: 29 Noviembre, 2017, 02:53 am »
Sea \( f: (X, \tau_1)\longrightarrow{}(Y, \tau_2) \) un homeomorfismo. Mostrar que \( (X, \tau_1)\ es\ T_1\ si\ y\ solo\ si\ (Y, \tau_2)\ es\ T_1 \).

¿Has demostrado que \( A\subseteq{X} \) es cerrado en \( X \) y sólo si \( f(A) \) es cerrado en \( Y \)?

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Cálculo 1 variable / Re: Problema con Integral Impropia
« en: 27 Noviembre, 2017, 04:06 am »
No necesitas comparar la integral. Con el cambio \( u=\ln (x) \), tienes \( du=dx/x \) y la integral toma la forma \( \displaystyle\int \dfrac{du}{u^2} \)

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Gracias por su respuesta, sin embargo, no es fácil visualizar la página que envió. Aparece lo siguiente:

http://i.prntscr.com/_e5QKGFgSxWnlgW-5QFoEA.png

¿Estás usando Chrome? Yo puedo ver la página sin problemas ahora mismo.

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Análisis Funcional - Operadores / Re: operador lineal continuo
« en: 27 Noviembre, 2017, 12:24 am »
Si, \( f:E\longrightarrow{\mathbb{C}} \) es lineal.

Pero como podría probar la implicación de que si \( f:E\longrightarrow{\mathbb{C}} \) es continua, entonces \( f_1:E\longrightarrow{\mathbb{R}} \) es continua ?

Si es lineal entonces necesariamente \( f_1 \) también es lineal con la definición dada para \( f \), lo cual se puede establecer por las propiedades de linealidad de \( f \), es decir

\( \displaystyle f(\lambda x+y)=\lambda f(x)+f(y)\implies f_1(\lambda x+ y)-i f_1(i\lambda x+ iy)=\lambda f_1(x)-\lambda if_1(ix)+f_1(y)-if(iy) \)

para todo \( \lambda\in\Bbb C \) y para todo \( x,y\in E \), lo cual demuestra, por la definición de linealidad, que \( f_1 \) también es lineal. Entonces \( \require{enclose}\enclose{horizontalstrike}{f_1(ix)=if_1(x)\implies f(x)=2 f_1(x)} \), por lo cual \( f_1 \) es continua si y sólo si \( f \) también lo es.

EDITADO: no parece que se pueda decir a ciencia cierta que \( f_1 \) es lineal, ahora no lo tengo tan claro. Podría darse el caso de que \( -if_1(ix)=f_1(x) \) sin que \( f_1 \) fuese lineal, por lo cual \( f \) sería cero y trivialmente lineal.

\( f_1 \) no es lineal. Su contradominio son los números reales (pues se trata de la parte real de \( f \)), y su dominio es un espacio vectorial complejo. Entonces no tiene sentido preguntarnos por su linealidad porque los escalares no están en el mismo campo. Lo que sí es verdad es que es lineal si consideramos a \( E \) como espacio vectorial real.

Pero \( f_1 \) es una función aditiva, es decir \( f_1(v+w)=f_1(v)+f_1(w) \) para todos los \( v,w\in E \) y por lo tanto su continuidad es equivalente a su continuidad en el punto \( 0 \), lo cual facilita la demostración. Luego, basta notar que el módulo complejo de \( f \) está en términos de \( f_1 \) y usar la definición de continuidad en el punto \( 0 \).

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Análisis Funcional - Operadores / Re: Traslaciones
« en: 26 Noviembre, 2017, 10:12 pm »
Gracias , pero aún no me queda tan claro.

Lo que estaría diciendo es que \( 0\in A-a \). Realmente estaría trabajando con el conjunto \( A-a \) y no directamente con \( A \) .Es gracias a la funcion traslación \( T_a:A\longrightarrow{A-a} \) tal que para cada \( x\in A, T_a (x)=x-a \),  que es un homeomorfismo entre \( A \)  y \( A-a \), que puedo concluir que si se cumple algo en \( A-a \) también se cumple en \( A \) .

Es correcto?

Sí, exactamente. En otras palabras basta demostrar que uno de los dos conjuntos tiene alguna propiedad para concluir que el otro también la tiene. Un homeomorfismo preserva todas las propiedades topológicas (abiertos, conexos, etc.)

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Análisis Funcional - Operadores / Re: Traslaciones
« en: 26 Noviembre, 2017, 05:10 am »
Saludos,

Necesito una pequeña ayuda con el siguiente problema

Tengo \( (E, \left\|{.}\right\|) \)  un espacio vectorial normado, tengo \( A\subset{E} \) un conjunto abierto y conexo. Me dicen que puedo suponer que \( 0\in A \) gracias a la traslación de abiertos y conexos. Pero, es correcto? Por qué?

Si \( A \) es no vacío, digamos \( a\in A \), entonces el conjunto

\( A-a:=\left\{{a'-a:a'\in A}\right\} \)

tiene las "mismas" propiedades que \( A \) y claramente contiene al \( 0 \). Esto es porque la función \( x\mapsto x-a \) (que es una traslación) es un homeomorfismo por ser \( E \) normado. La imagen de \( A \) bajo dicha función es \( A-a \), y entonces uno es abierto (o conexo) si y sólo si el otro lo es. Adicionalmente, dicha función es una isometría por lo que ambos conjuntos tienen el mismo diámetro. Más aún, esa función es afín, por lo que la convexidad también se preserva de esta forma.

Entre otras cosas.

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Problema de suma directa
« en: 25 Noviembre, 2017, 10:20 pm »
Gracias por la ayuda

En el contra ejemplo de Lindeloff \( S_1 \) y \( S_2 \) serian la partición de la base \( B \)?

Saludos

No. Los elementos de la partición tienen que ser subconjuntos disjuntos no vacíos de \( B \). En este caso la única partición no trivial de \( B \) es \( C=\left\{{B_1,B_2}\right\} \), donde \( B_1=\left\{{(1,0)}\right\} \) y \( B_2=\left\{{(0,1)}\right\} \).

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Es medio confusa la definición de parte entera pero creo que la entendí, gracias!

Por nada. Si tienes dudas continúa preguntando.

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Topología (general) / Re: Topología generada
« en: 30 Septiembre, 2017, 10:30 pm »
Lo dos tipos de abiertos de esa subbase son abiertos en la topología usual. Recíprocamente, cualquier abierto de la base de la topología usual \( (a,b) \) se puede escribir como la intersección de un par de ésos. Luego, se trata de la topología usual.

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Se concluye que:

\( a = \lfloor x \rfloor \)

No. Según la definición que has puesto, eso sólo es cierto cuando \( a\le x < a+1 \) (asumiendo \( a \) entero).

Si quieres probar que el límite por la izquierda es \( a-1 \), basta ver que \( \lfloor x \rfloor = a-1 \) bajo la condición \( 0<a-x<1 \). Eso es cierto porque \( a-1< x < a \).
(Aunque en esta última desigualdad se tiene un "menor estricto", eso no afecta porque se sigue cumpliendo la definición: el "menor estricto" implica el "menor o igual" lógicamente.)

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La prueba es algo confusa. Entiendo que con \( \overline{\varepsilon_{\zeta}} \) te refieres a la función evaluación \( g(x)\mapsto g(\zeta) \) que de hecho es un homomorfismo \( F[ x]\to F (\zeta) \). Por hipótesis tienes que esta función evaluada en \( g(x) \) es cero (porque \( g(\zeta)=0 \)), por lo que \( g(x) \) pertenece al kernel de dicha función evaluación. El kernel es un ideal de \( F[ x] \), siendo \( F \) un campo se tiene que todo ideal en \( F[ x] \) es principal. Luego, el kernel es igual a un ideal generado \( ( f (x)) \) para algún \( f(x)\in F [ x ] \), de donde se obtiene que \( f(x)\mid g(x) \).

Lo único que falta probar es que \( f(x) \) es el polinomio mínimo de \( \zeta \) (aunque en la prueba no menciona nada de esto, es obvio que es un paso importante).

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Todo punto real \( x \) tiene una sucesión de números racionales \( (q_n) \) que converge a él. Por continuidad, las sucesiones \( (f(q_n)) \) y \( (g(q_n)) \) convergen a \( f(x) \) y \( g(x) \), respectivamente. Pero \( f(q_n)=g(q_n) \) para toda \( n \) por hipótesis.

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Estructuras algebraicas / Re: Anillo Z[x] y el ideal P=(2,x)
« en: 27 Septiembre, 2017, 08:52 am »
Buen día,

Me plantean el siguiente problema. En \( \mathbb{Z}(x) \) considerar el ideal \( P=(2,x) \). Demostrar que \( x\not\in P^{2} \).
He intentado demostrarlo por reducción al absurdo pero no he llegado a nada concreto. Cualquier sugerencia que puedan darme lo agradecería.

Saludos!

Aunque debes comprobarlo según la definición que tengas de ideal, en general se tiene que

\( (2,x)=\{2p(x)+xq(x):p(x),q(x)\in\mathbb{Z}[ x]\} \)

Por lo tanto un elemento de \( P^2 \) es de la forma

\( (2p(x)+xq(x))(2p'(x)+xq'(x))=4p(x)p'(x)+2xq(x)p'(x)+2xp(x)q'(x)+x^2q(x)q'(x) \)

Basta entonces ver que el polinomio \( x \) no es de la forma anterior. Necesariamente, para una igualdad de esa forma, \( q(x)=q'(x)=0 \) (de lo contrario el grado del polinomio de arriba sería mayor o igual que el de \( x^2 \)), luego no quedan muchas posibilidades.

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Teoría de Conjuntos / Re: imagen inversa
« en: 26 Septiembre, 2017, 04:45 am »
hola, buenas noches, alguien por favor que me ayude, se lo agradezco!!

sea f:A→B función probar:
 
1)si f es inyectiva entonces f← es sobre
 
2)si f es sobre entonces f← es inyectiva

(f←): esto es función imagen inversa


Si \( B'\subseteq B \) denotaré a la imagen inversa de \( B' \) bajo \( f \) por

\( f^{-1}[B' ]=\{a\in A:f(a)\in B'\} \)

Esto induce una función entre los conjuntos potencia \( f^{-1}:P(B)\to P(A) \).

Vamos a considerar también a la imagen directa de un \( A'\subseteq A \) definida por

\( f[A']=\{f(a):a\in A'\} \)

1) Supongamos que \( f \) es inyectiva y probemos que \( f^{-1} \) es sobre. Sea \( A'\in P(A) \). Queremos encontrar un conjunto \( B'\in P(B) \) tal que \( f^{-1}[B' ]=A' \). La opción "natural" es escoger \( B'=f[A] \), por lo que hay que verificar si la igualdad \( f^{-1}[f[A]]=A \) es cierta o no (y aquí se usa la inyectividad).

Algo muy similar se hace en el segundo problema.

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Ahh perfecto, pero si hemos demostrado eso, es autoadjunta? La definición de autoadjunta es que \( (Pu,v)=(u,Pv) \) siendo (,) el producto escalar, no?

Vuelve a probar lo de la sugerencia pero ahora con \( P \) del otro lado.

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De dónde sale que \( v-Pv \) pertenece al kernel?

De \( P^2=P \), pues \( P(v-Pv)=Pv-P^2v=Pv-Pv=0. \)

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El corolario debería decir que \( A^{\perp\perp} \) es el mínimo subespacio cerrado de \( H \) que contiene a \( A \). Esto es, \( A^{\perp\perp}=\overline{\left<{A}\right>} \) (la cerradura topológica del subespacio lineal generado por \( A \)).

Un camino:

1.- Prueba que si \( M \) es un subespacio lineal cerrado de \( H \) entonces \( M=M^{\perp\perp} \). La contención \( M\subseteq M^{\perp\perp} \) es fácil de probar. Para la otra, sea \( x\in M^{\perp\perp} \). Por el teorema que citas \( H=M\oplus{M^{\perp}} \), por lo que \( x=m_1+m_2 \) en donde \( m_1\in M \) y \( m_2\in M^{\perp} \). Por definición \( \left<{m_1,m_2}\right>=0 \) y \( \left<{m_2,x}\right>=0 \). Entonces:

\( \left<{m_2,m_2}\right>=\left<{x-m_1,m_2}\right>=0 \)

Lo que implica \( m_2=0 \) y \( x=m_1\in M \).

2.- Usa el resultado anterior para el subespacio cerrado \( M=\overline{\left<{A}\right>} \), y usa que \( \left<{A}\right>^{\perp}=A^{\perp} \) y \( \overline{\left<{A}\right>}^{\perp}=\left<{A}\right>^{\perp}. \)

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Buenas soy estudiante de Física y tengo problemas para hacer ciertas demostraciones sencillas que en los apuntes se nos presentan como corolarios.

Sea A un subconjunto arbitrario y no vacío de un espacio de Hilbert H. Entonces \(  A^{\perp{\perp{}}} \) es el mínimo subespacio cerrado de H

Si alguien pudiera darme la demostración de este corolario lo agradecería.

Gracias.

¿Podrías enunciar el teorema del cual es corolario?

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Entiendo que una proyección ortogonal es una proyección (\( P^2=P \)) tal que su imagen es ortogonal a su kernel.

En ese caso para cualesquiera \( u,v \) se tiene \( \left<{Pu,v-Pv}\right>=0 \), pues \( v-Pv \) es elemento del kernel. Esto prueba la sugerencia \( \left<{Pu,v}\right>=\left<{Pu,Pv}\right> \).

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