Autor Tema: Integración en función de r

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01 Diciembre, 2014, 08:02 am
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alucard

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Hola... no estoy seguro de postear acá la duda que tengo , pienso que si , ya que es un tema matemático el que me causa dudas  , se trata de la ley de Biot Savart , se trata de calcular el Campo Magnético de un segmento de alambre que transporta cierta corriente I, en un punto P.

El dibujo de la situacion es el siguiente  : el alambre conductor de longitud 2a se encuentra vertical sobre el eje y con la corriente I en dirección positiva en el eje y, sobre el eje x esta el punto P .



Por definicion

\( dB=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\dfrac{dl\times \hat{r}}{r^2} \)

planteo lo siguiente 

\( dl=dy \)

\( \hat{r}=(\cos \alpha,\sen\alpha,0) \)

de donde

\( dl\times\hat{r}=\begin{bmatrix}{0}&{dy}&{0}\\{\cos\alpha}&{\sen\alpha}&{0}\end{bmatrix}=(0,0,-dy\sen\alpha) \)

sustituyendo datos

\( B=\left(0,0,\dfrac{\mu_0 I}{4\pi}\displaystyle\int \dfrac{-\sen\alpha dy}{r^2}\right) \)

la pregunta es la siguiente, ¿cómo puedo hacer para resolver la integral en función de r? puedo observar que la definicion esta planteada

en coordenadas polares, pero no sé como redefinir el dy y el seno del ángulo, ni los límites de integración  en función de r

Entiendo que se puede hacer integrando respecto de y o del angulo , pero me gustaria saber como se puede hacer respecto de r

¿es posible o se complica más?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

01 Diciembre, 2014, 05:34 pm
Respuesta #1

Samir M.

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Pero es que \( r \) es constante, ¿no? Es decir, tú fijas un punto y hallas la contribución de todos los elementos infinitesimales del alambre. Conforme integras a lo largo del alambre x e y no son constantes, pero r sí.

Saludos.
Lo escrito en azul hace referencia a que lo he añadido después de haber publicado mi respuesta.

02 Diciembre, 2014, 09:15 pm
Respuesta #2

alucard

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Gracias por responder samir, pero el r no es fijo , o me equivoco, o sea varia con el ángulo, o estoy delirando, o sea si el alambre es infinito en un el ángulo tiende a 90 y el r se hace perpendicular al punto P , o estoy equivocado ?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

02 Diciembre, 2014, 09:36 pm
Respuesta #3

ingmarov

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Hola Alucar

En este tipo de problemas es común definir \( \vec{R}=\vec{r}-\vec{r'} \). Donde R es el vector entre el diferencial de alambre y el punto de campo (tu le llamas r), r el vector del origen al punto de campo, y r' es el vector del origen al diferencial de alambre.

En este caso:

\( \vec{R}=P\hat{x}-y\hat{y} \)

Editado

La magnitud al cuadrado de R es:

\( \vec{R}\cdot\vec{R}=R^2=P^2+y^2 \)

Otra cosa

Si integrarás respecto a "y" entonces puedes cambiar  el "seno" del integrando:

\( \sen\alpha=\displaystyle\frac{P}{\sqrt{P^2+y^2}} \)

¿Te sirve?
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

02 Diciembre, 2014, 09:52 pm
Respuesta #4

aladan

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Hola alucard

Citar
pero el r no es fijo , o me equivoco, o sea varia con el ángulo, o estoy delirando, o sea si el alambre es infinito en un el ángulo tiende a 90 y el r se hace perpendicular al punto P , o estoy equivocado ?

No, no te equivocas \( r \) es variable, ahora bien tienes ahí una constante que no has considerado, se trata de la posición del punto P, asignemos arbitrariamente dicha posición, por ejemplo

                                    \( P(a,0) \)

Tenemos en cuenta que estás considerando los efectos de un elemento diferencial del alambre cuya posición es

                                        \( (0,y) \)

Con un poco de Pitágoras y poco más puedes reducir esa función subintegral de varias variables a una sola, así

                          \( r=\sqrt{a^2+y^2} \)

                         \( \sen \alpha=\dfrac{a}{r}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+y^2}} \)

no olvides que \( a \) es constante.

¿te vale ?

Saludos
Siempre a vuestra disposición

03 Diciembre, 2014, 12:14 am
Respuesta #5

alucard

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muchas gracias a todos me re sirven todas sus explicaciones y valoro mucho el tiempo que se toman para responder dudas... pero lo que yo queria saber en realidad es

Cita de: alucard

¿cómo puedo hacer para resolver la integral en función de r? puedo observar que la definicion esta planteada en coordenadas polares, pero no sé como redefinir el dy y el seno del ángulo, ni los límites de integración  en función de r

Quería saber si es posible o no redefinir el angulo y el dy como funciones de r, e integrar todo respecto de r... no se si me explico , ¿ó, es mas complicado hacerlo de esa manera?

Muchas gracias nuevamente
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