Hola
Podrían orientarme en alguna idea como resolver este ejercicio la notación es algo no habitual
Si \( X \) e\( Y \) son variables aleatorias en \( (\Omega, \mathcal{B}) \), muestre que
\( \displaystyle\sup_{A \in \mathcal{B}}| P \left[ X \in A \right]-P \left[ Y \in A \right] |\leq P \left[ X \neq Y \right] \)
Ten en cuenta que:
\( P\left[ X \in A \right]=P[\{w\in \Omega|X(w)\in A\}] \)
Pero:
\( \{w\in \Omega|X(w)\in A\}=\{w\in \Omega|X(w)=Y(w),\,Y(w)\in A\}\sqcup \{w\in \Omega|X(w)\neq Y(w),\,X(w)\in A\} \) (unión disjunta)
Por tanto:
\( P\left[ X \in A \right]=P[\{w\in \Omega|X(w)=Y(w),\,Y(w)\in A\}]+P[\{w\in \Omega|X(w)\neq Y(w),\,X(w)\in A\}] \)
Pero:
\( \{w\in \Omega|X(w)=Y(w),\,Y(w)\in A\}\subset \{w\in \Omega|Y(w)\in A\} \)
\( \{w\in \Omega|X(w)\neq Y(w),\,X(w)\in A\}\subset \{w\in \Omega|X(w)\neq Y(w)\} \)
Y así:
\( P\left[ X \in A \right]=P[\{w\in \Omega|X(w)=Y(w),\,Y(w)\in A\}]+P[\{w\in \Omega|X(w)\neq Y(w),\,X(w)\in A\}]\leq\\\qquad \leq
P[\{w\in \Omega|Y(w)\in A\}]+P[\{w\in \Omega|X(w)\neq Y(w)\}]=P[Y\in A]+P[X\neq Y]
\)
De donde:
\( P[X\in A]-P[Y\in A]\leq P[X\neq Y] \)
Análogamente puedes probar que:
\( P[Y\in A]-P[X\in A]\leq P[X\neq Y] \)
y ya lo tienes.
Saludos.
