[malboro]

Hola.

Dados  \( P\in Spec(A) \),  \( M\neq\{0\} \). Entonces \( Ass(M)=\{P \} \) sí y solo si \( x_M:M\longrightarrow{M} \) definido por \( x_M(m)=xm \) es nilpotente, para cada \( x\in P \).
Prueba:

Para la ida usamos http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111831.msg441968#msg441968

La vuelta es lo que no me queda claro.

CORREGIDO ENLACE.

[geómetracat]

El enlace que has puesto no me funciona. Pongo un enlace nuevo:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=111831.msg441968#msg441968

La vuelta, tal y como la enuncias me parece que es falsa. Por ejemplo, si consideras el anillo \( A=k[x,y]/(y^2,xy) \), los primos asociados de \( A \) como \( A- \)módulo son \( Ass(A) = \{(y), (x,y) \} \). Como \( (y) \subseteq (x,y) \), tienes que \( \bigcap_{P \in Ass(A)} P = (y) \) y por el teorema del enlace, todo \( x \in (y) \) cumple que \( x_A \) es nilpotente.

[malboro]

Es el corolario de la proposición 8, página 9, del libro Local Álgebra, autor Jean PIERRE SERRE.

[geómetracat]

Ya veo. Queda un poco ambiguo tal como lo escribe Serre, pero creo que lo que quiere decir es:
\( Ass(M)= \{P \} \) si y solo si \( x_M \) es nilpotente para todo \( x \in P \) y además \( x_M \) es inyectivo para todo \( x \notin P \).

Entonces, para hacer la vuelta, por un lado del teorema del enlace tienes que \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \). Por otro lado, ningún \( x \notin P \) puede pertenecer a ningún primo asociado, pues si lo hiciera tendrías que hay un \( m \in M \) tal que \( xm = 0 \) y \( x_M \) no sería inyectiva, en contra de la hipótesis. Así pues, \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \) y ningún elemento fuera de \( P \) pertenece a un primo asociado, lo que implica que \( Ass(M)=P \).

[malboro]

Gracias Geómetracat.
Lo que consigo es que  \( P =\displaystyle\bigcap_{Q\in{Ass(M)}}^{}{Q} \). pero porqué \( P \) es un primo asociado y único?

[geómetracat]

Bien, vamos a hacerlo con más detalle. Del teorema tenemos que \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \). Supongamos que existe algún \( Q \) que es primo asociado y distinto de \( P \). Como \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \), necesariamente tenemos \( P \subset Q \).
Entonces existe un \( x \in Q - P \), y por hipótesis tenemos que \( x_M \) es inyectivo. Pero esto quiere decir que para todo \( x\in M \) no nulo \( xm \neq 0 \), y esto contradice el hecho de que \( Q \) es primo asociado (pues todo primo asociado es el anulador de algún elemento no nulo de \( M \)).

Por tanto, el único primo que puede ser primo asociado de \( M \) es \( P \). Pero \( P \) es en efecto un primo asociado porque tenemos que \( P \subseteq \bigcap_{Q \in Ass(M)} Q \) (en particular \( Ass(M) \neq \emptyset \)) y acabamos de ver que ningún otro primo puede ser asociado.

[malboro]

Muchas gracias Geómetracat.