Autor Tema: Mostrar una desigualdad con una integral

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05 Julio, 2022, 03:21 am
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JesusSaez

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Sea \( f:[0,4]\rightarrow \mathbb{R} \) una función continua en \( [0,4] \) y diferenciable en \( (0,4) \) tal que \( f´(x)\leq 2 \) para cada \( x\in (0,4). \) Demuestre que
\(
\int_1^2f(x)dx\leq 3.
 \)

Por las hipótesis que nos dan siento que el camino es utilizar el Teorema del Valor medio, pero no veo como aplicarlo, aparte por los límites de integración.
Porque otra idea que tenía era integrar ambos lados de la desigualdad  \( f´(x)\leq 2 \) pero no se hasta donde sea válido.

05 Julio, 2022, 08:04 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Sea \( f:[0,4]\rightarrow \mathbb{R} \) una función continua en \( [0,4] \) y diferenciable en \( (0,4) \) tal que \( f´(x)\leq 2 \) para cada \( x\in (0,4). \) Demuestre que
\(
\int_1^2f(x)dx\leq 3.
 \)

Revisa el enunciado. Tal como está escrito no es cierto. Si tomas \( f(x)=c \) constante cumple las hipótesis pero la integral es tan alta como queramos eligiendo la constante adecuada.

Saludos.

05 Julio, 2022, 08:26 am
Respuesta #2

JesusSaez

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Es cierto, por ejemplo si tomamos \( f(x)=100 \) cumple las hipótesis, pero la integral es \( 100 \), no cumple la desigualdad.
Aunque el ejercicio está escrito así, ¿si no fuera constante se cumpliría?.

05 Julio, 2022, 08:37 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Es cierto, por ejemplo si tomamos \( f(x)=100 \) cumple las hipótesis, pero la integral es \( 100 \), no cumple la desigualdad.
Aunque el ejercicio está escrito así, ¿si no fuera constante se cumpliría?.

No. Tampoco. El problema es que las hipótesis solo limitan la derivada. Pero no el valor de la función. Dada cualquier función cumpliendo \( g'(x)\leq 2 \) sumándole una constante suficientemente grande tienes \( f(x)=x+g(x) \) con \( f'(x)=g'(x)\leq 2 \) y la integral tan grande como quieras.

Saludos.

05 Julio, 2022, 08:44 am
Respuesta #4

JesusSaez

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Yo había pensado esto, pero no sé que tan correcto sea:
Para cada \( x\in[0,2] \), por el Teorema fundamental del cálculo y nuestra hipótesis:
\(
\begin{array}{rcl}
f(x)&=&f'(1)+\int_1^xf'(t)dt\\
&\leq&2+\int_1^x2dt\\
&=&2+2(x-1)\\
&=&2x
\end{array}
 \)
Si aplicamos la monotonía de la integral,
\(
\int_1^2f(x)dx\leq\int_1^2 2xdx
 \)
Y la integral del lado derecho es 3 con lo que se cumple la desigualdad.
Pero no sé si sea válido porque nunca dice que la derivada sea integrable.

05 Julio, 2022, 09:53 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Yo había pensado esto, pero no sé que tan correcto sea:
Para cada \( x\in[0,2] \), por el Teorema fundamental del cálculo y nuestra hipótesis:
\(
\begin{array}{rcl}
f(x)&=&\color{red}f'(1)+\color{black}\int_1^xf'(t)dt\\
\end{array}
 \)

Es que está mal eso; sería:

\( f(x)=\color{red}f(1)\color{black}+\displaystyle\int_1^xf'(t)dt \).

Saludos.

05 Julio, 2022, 10:25 am
Respuesta #6

JesusSaez

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Es cierto. Si se cumpliera también que \( f(x)\leq 2 \) para cada \( x \) en su dominio entonces si se cumpliría la desigualdad para la integral, pero no tenemos una cota para la \( f \).
Igual, si se usara el teorema del valor medio, se tendría que para x>1,
\(
f(x)-f(1)=f'(\theta)(x-1)
 \)
para algún \( \theta\in(1,x) \), acotando y transponiendo términos tenemos que :
\(
f(x)\leq f(1)+2(x-1)
 \)
Entonces seguro está mal planteado el ejercicio, se necesitaría una cota para la \( f \).