Tienes una expresión \( \theta \) (un término o una fórmula), por concretar, supongamos que es un término. Lo que dice el teorema es que si \( v \) y \( w \) son dos valoraciones en un modelo \( M \) que coinciden sobre las variables libres en \( \theta \), entonces \( M(\theta)[v] \) y \( M(\theta)[w] \) son iguales, es decir, que \( \theta \) denota el mismo objeto en \( M \) tanto si las variables se interpretan mediante \( v \) o mediante \( w \). Eso es lo mismo que decir que si tenemos \( v \) y el objeto \( M(\theta)[v] \) y cambiamos la interpretación de las variables que no están libres en \( \theta \) (pero no la de las que sí que lo están), es decir, si pasamos a otra valoración \( w \) en las condiciones del teorema, entonces \( M(\theta)[v] \) no cambia al pasar a \( M(\theta)[w] \). En otras palabras, que la interpretación de las variables que no están libres en \( \theta \) es irrelevante. Por modificarla, no vamos a cambiar el objeto denotado por \( \theta \).
En el primer paso de la prueba suponemos que \( \theta \) es una simple variable \( x \). Entonces \( x \) está libre en \( \theta \) y sabemos que \( v(x)=w(x) \) porque estamos suponiendo que \( v \) y \( w \) coinciden en las variables libres en \( \theta \) (es decir, en \( x \)).
Sólo tomamos casos en los que \( v \) y \( w \) coinciden en las variables libres en \( \theta \), y eso es lícito porque ésa es una de las hipótesis del teorema.
No sé qué más puedo añadir.
