Hola. Una nueva propuesta:
Supongo que: \( \pmb{z^4=x^4+y^4} \) , para \( x,y,z \) enteros, coprimos dos a dos y que \( x\not\equiv{y} \) mod 2 .
Entonces:
\( z^4=(x^2+y^2i)(x^2-y^2i)\,=\,(x+yi\sqrt{i})(x-yi\sqrt{i})(x+y\sqrt{i})(x-y\sqrt{i}) \)
Como: \( \mathbb{Q}(\sqrt{i})=\mathbb{Q}(\zeta_8) \)
(Ver) . Y : \( \mathbb{Q}(\zeta_8)=\mathbb{Q}(i,\sqrt{2}) \)
(Ver) . La base entera de \( \mathbb{Z}(i,\sqrt{2}) \) será: \( \left\{{1,\sqrt{2},i,\dfrac{i\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}}\right\} \)
(Ver) .
Sabemos que: \( \sqrt{i}=\pm\left(\dfrac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}\right) \) .
Un primo de " \( z \) " de la forma: \( a+b\,i\sqrt{i} \) , para \( a,b \) enteros -y- \( (a,b)=1 \) ; dividirá a uno de los 4 factores de arriba. Y lo mismo hará su cuadrado: \( (a+b\,i\sqrt{i})^2=a^2+b^2\,i^2\,i+2ab\,i\sqrt{i}\,=\,a^2-b^2i+2ab\,i\sqrt{i} \) .
No perdemos generalidad, por tanto, si decimos que " \( a^2-b^2i-2ab\,i\sqrt{i} \) " debe dividir á \( x+yi\sqrt{i} \) ó á \( x+y\sqrt{i} \) ; para que \( a^2-b^2i+2ab\,i\sqrt{i} \) pueda dividir a uno de los cuatro factores referidos.
Luego:
1) \( \dfrac{x+yi\sqrt{i}}{a^2-b^2i-2ab\,i\sqrt{i}}=\dfrac{(x+yi\sqrt{i})(a^2-b^2i+2ab\,i\sqrt{i})}{(a^2-b^2i-2ab\,i\sqrt{i})(a^2-b^2i+2ab\,i\sqrt{i})} \)
\( \,=\,\dfrac{a^2x+a^2y\,i\sqrt{i}-b^2xi-b^2\,i^2\,y\sqrt{i}+2abx\,i\sqrt{i}+2aby\,i^2\,i}{a^4-b^4+4a^2b^2i} \)
\( \,=\,\dfrac{a^2x-b(bx+2ay)i+(b^2y+a(2bx+ay)i)\sqrt{i}}{a^4-b^4+4a^2b^2i} \)
Pero \( a^4-b^4+4a^2b^2i \) , que es un factor de " \( z \) " , no divide á: \( a^2x \) .
2) \( \dfrac{x+y\sqrt{i}}{a^2-b^2i-2ab\,i\sqrt{i}}=\dfrac{(x+y\sqrt{i})(a^2-b^2i+2ab\,i\sqrt{i})}{(a^2-b^2i-2ab\,i\sqrt{i})(a^2-b^2i+2ab\,i\sqrt{i})} \)
\( \,=\,\dfrac{a^2x+a^2y\,\sqrt{i}-b^2xi-b^2y\,i\,\sqrt{i}+2abx\,i\sqrt{i}+2aby\,i^2}{a^4-b^4+4a^2b^2i} \)
\( \,=\,\dfrac{a(ax-2by)-b^2xi+(a^2y-b(by-2ax)i)\sqrt{i}}{a^4-b^4+4a^2b^2i} \)
Pero \( a^4-b^4+4a^2b^2i \) no divide á: \( b^2x \) .
Luego \( x\,\vee\,y\,\vee\,z \) no son enteros en: \( \mathbb{Z}(i,\sqrt{2}) \) y por consiguiente en: \( \mathbb{Z} \) .
Un saludo,
EDITADO - 16 de abril.
Creo que no es correcta. Repasando me he dado cuenta que \( a^4-b^4+4a^2b^2i \) podría dividir á \( a(ax-2by)-b^2xi \) -y- á \( a^2y-b(by-2ax)i \) . No sé cómo dije lo que dije. Ahora no lo veo. Sdos 
