Hola
Mi idea (puede que esté mal y necesite revisión).
¿Es lo mismo calcular las raíces de una expresión que calcular las raíces cuadradas de la expresión?
Depende en qué conjunto trabajes (real o complejo).
Imaginemos que tenemos una función real \[f:D\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n),\] es decir podemos escribir la función como producto de sus raíces con coeficiente principal \( 1 \). ¿Será equivalente a \( \bigl((x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)\bigr)^2 \)?
Pues sí. Por ejemplo, tomemos \( f(x)=(x-1)(x-2) \). Las raíces (o ceros) de ella ocurrirán cuando \[f(x)=0\iff(x-1)(x-2)=0\iff x=1\vee x=2.\] Si elevamos al cuadrado las raíces obtenemos \[(x-1)^2=0^2\vee(x-2)^2=0^2\iff x-1=0\vee x-2=0,\] por tanto las raíces cuadradas son las mismas que las raíces de grado \( 1 \).
Ahora bien, la cosa cambia cuando decimos que \( f \) parte de complejos y genera otro complejo.
Volvamos a \( f(x)=(x-1)(x-2) \). Esta función es de grado \( 2 \), por lo que la cantidad total de raíces es \( 2 \). Si la elevamos al cuadrado, o sea \( g(x)=\bigl(f(x)\bigr)^2=\bigl((x-1)(x-2)\bigr)^2 \) ahora la función pasará a ser de grado \( 4 \), por lo que tendrá \( 4 \) raíces, de las cuales \( 2 \) son las reales de toda la vida, y otras \( 2 \) complejas.
Esto se puede generalizar a potencias de cualquier orden.
Espero que haya respondido (correctamente) a tu consulta.
Saludos
Mods: acento agregado al título.