INTRODUCCIÓN
Cuando tratamos de construir números sumando unidades nos encontramos siempre con el problema que supone el infinito. En el caso de los naturales, para solucionarlo definimos un valor indeterminado “n” el cual no representa un solo valor, sino cualquier valor por grande que sea; nos hemos acostumbrado a ver esto normal y no representa un “trauma”. Sin embargo, con los números reales ocurre algo que es muy distinto o, en realidad, algo que nos han hecho ver que es muy distinto. A continuación mostraré que esa enorme diferencia desaparece para convertirse en una pequeña diferencia, pudiéndose construir estos números esencialmente casi de la misma manera teórica que los naturales.
LOS INTERVALOS
La cuestión principal para que podamos enumerar un conjunto reside en que éste tenga un mínimo o se pueda asociar a una constante mediante unas relaciones de equivalencia. En el caso de los números naturales es claro lo que ocurre, trabajamos con un intervalo semiabierto que está abierto por la derecha hacia a un máximo, que no existe, y cerrado por la izquierda con un número único y constante que es múltiplo de todos los demás:
\( [1,2,3...n) \)
Si tratamos de construir los números “naturales” utilizando el otro extremo pensamos que es imposible o que el conjunto queda menos definido:
\( m...(n-3),(n-2),(n-1),n \)
Y sí que es cierto que queda menos definido en cuanto a que utiliza un indeterminado añadido, un mínimo indeterminado (que es sólo una letra más) pero la construcción, en principio, no debería ser imposible al menos simbólicamente, debería ser muy parecida ¿Qué es lo que pasa entonces?
Está claro que debería poderse hacer añadiendo un número indeterminado más en el otro extremo abierto, pues los extremos no tienen verdadera prioridad en la matemática abstracta, ni lo grande respecto de lo pequeño, porque realmente no hay izquierda ni derecha, la elección es arbitraria.
Si representamos el “mínimo” como \( \dfrac{1}{n} \) y el “máximo” como “n”, éste acabará por no ser verdaderamente el máximo (ni teóricamente) pues aparecerá en la construcción un \( \dfrac{1}{1+n} \), menor que el “mínimo”, que implicará la existencia de \( 1+n \) o viceversa. Luego lo que de momento es imposible no es construir el esquema de los reales, sino escribir el “mínimo general” en función del “máximo general”. Sin embargo, sí podemos representarlo; con otra letra “m”, por ejemplo.
Ahora podríamos intentar la construcción alternativa introduciendo valores desde cada extremo:
\( m,(m+m)....(n-m),n \)
Pero aparece un nuevo problema, así nunca construiremos la zona media del cuerpo; quedará vacía porque nunca llegamos al número central; y eso, precisamente, es lo que da la clave para su construcción: el centro.
CONSTRUCCIÓN
Definamos un valor medio “c”, un número que se halla justo en el centro del cuerpo. Si existe, este valor será constante y, por tanto, resultará un objeto más poderoso, o más definido, que el habitual “n”.
Hago la hipótesis de que existe un “c” con el cual se puede construir todo \( \mathbb{R} \) numerable (puedo imaginarme las caras de incredulidad, pues se pensará quizá que, tratándose de los indomables reales, pronto aparecerán infinitos “ces” o que éste se “moverá” de sitio en la sucesión haciéndose intratable; pido paciencia).
Como tengo dos extremos abiertos, con sólo un valor indeterminado —que es el número del centro— dicha constante no bastará; debo utilizar el “mínimo general” (y sólo emplearé “n” en el conjunto origen de la biyección; este conjunto será todo \( \mathbb{Z} \)). En consecuencia, en principio utilizo dos variables: una en el conjunto origen y otra en el conjunto imagen; y una constante “c”.
No obstante, “m” funcionará en realidad como un mínimo también constante (*que nadie abandone después de haber leído lo último, porque lo mejor va a ser una consideración respecto del mínimo “m” que haré al final).
BIYECCIÓN
La biyección, al ser con \( \mathbb{Z} \), será alternativa, añadiendo términos a un lado y otro de “c”, correspondiendo a los reales, que están a la derecha de “c”, los enteros positivos y, análogamente, los negativos a los que están a la izquierda; sin embargo, por necesidad en cuanto a la dificultad de anotarlo así, no la mostraré alternativamente, sino en bloques separados. Por otra parte, para que sea posible la biyección, ha de considerarse que en \( \mathbb{R} \) no existe el cero absoluto; ese lugar lo ocupa “m”.
\( \mathbb{Z}{}^{+}(n)\longrightarrow\mathbb{R}^{+}(m,c_{R}) \).
(el subíndice “R” indica “biyección hacia la derecha”).
\( 0\rightarrow c \)
\( {\color{red}1}\longrightarrow c+{\color{red}1}\cdot m \)
\( {\color{red}2}\longrightarrow c+{\color{red}2}m \)
\( {\color{red}3}\longrightarrow c+{\color{red}3}m \)
...
\( n\longrightarrow2c \)
\( n+{\color{red}1}\longrightarrow2c+{\color{red}1}\cdot m \)
\( n+{\color{red}2}\longrightarrow2c+{\color{red}2}m \)
\( n+{\color{red}3}\longrightarrow2c+{\color{red}3}m \)
...
\( 2n\longrightarrow3c \)
\( 2n+{\color{red}1}\longrightarrow3c+{\color{red}1}\cdot m \)
\( 2n+{\color{red}2}\longrightarrow3c+{\color{red}2}m \)
\( 2n+{\color{red}3}\longrightarrow3c+{\color{red}3}m \)
\( 2n+{\color{red}4}\longrightarrow3c+{\color{red}4}m \)
Atendiendo sólo a la constante “c” se vería así:
\( 0\longrightarrow c \)
...
\( n\longrightarrow2c \)
...
\( 2n\longrightarrow3c \)
...
\( 3n\longrightarrow4c \)
...
El escalonamiento de una unidad que se produce es mera cuestión estética debida a que el cero, que no suma, ha sido biyectado con el centro “c”; para seguir las correspondencias ha de fijarse uno en el coeficiente de “m”.
Ahora representamos el bloque de la biyección a la izquierda:
\( \mathbb{Z}{}^{-}(n)\longrightarrow\mathbb{R}^{+}(m,c_{R}) \)
(el subíndice “L” indica “izquierda”)
\( 0\rightarrow c \)
\( -1\longrightarrow c-m \)
\( -2\longrightarrow c-2m \)
\( -3\longrightarrow c-3m \)
...
Aquí, si se continúa, aparecerá un problema simbólico debido a las operaciones aritméticas con números negativos en el conjunto origen, pero dado que en nada influyen éstas, pues se trata de una correspondencia entre elementos, sirve la anterior aplicación entendiendo que se ha biyectado con \( \mathbb{Z}^{-} \)
De esta forma queda completado el esquema de la biyección.
DISCUSIÓN
Y seguidamente, ya sí, toca discutir ese elemento mínimo ideal, o teórico, de los reales.
Aquí va mi justificación: no tengo justificación, los reales no tienen mínimo; pero es que no tanto lo voy a defender, más lo voy a comparar.
Los racionales tampoco tienen mínimo y, sin embargo, son numerables. Y lo que sí creo que se puede afirmar es que esa biyección teórica que he hecho sirve igual para el conjunto \( \mathbb{Q} \) siempre que se considere que éste tiene mínimo. La diferencia está en la barrera “movible” del infinito: pero ¿qué sabe la biyección general, con letras, dónde está esa barrera?
Cantor lleva \( \mathbb{Q} \) a vivir a una matriz cuadrada y a \( \mathbb{R} \) lo aloja en una matriz no cuadrada cuya diagonal, como es obvio, no tiene las mismas propiedades respecto de los subíndices de sus elementos; pero ¿garantiza esa prueba la no numerabilidad de \( \mathbb{R} \), viven unos en una matriz cuadrada y otros en una rectangular? Creo que la respuesta no es una; todo depende del “experimento” matemático que se haga.
Como se ve, cambian mucho las cosas empezando a biyectar por un centro y alternativamente a derecha e izquierda, la construcción es posible tomando ese centro y un mínimo teórico del tamaño de... de un punto, sí; lo que he hecho es numerar puntos, numerar y sumar infinitos puntos uno a uno a izquierda y derecha de un punto central, puntos sin dimensión ninguna, pero con una “no dimensión” constante. Puede parecer raro, sin embargo ¿el resultado de eso no debería ser una recta?; y, por otra parte, si hablamos de espacio, ¿qué hay más “mínimo” que un punto?
(Lo escrito es reciente, sin embargo, en el fondo de todo duerme algo que ha ocupado mis pensamiento durante muchos años: la expansión del Universo. El Universo se expande hacia izquierda y derecha y hacia todos lados, no sólo en una dirección; quizá él nos da la clave de cómo debemos ver las cosas).
