[MuTau]

Sea \( A\subseteq \Bbb{R}^n \), \( \vec{x}\in \Bbb{R}^n \) con \( d(\vec{x},A):=\text{inf}\{\lVert\vec{x}-\vec{y}\rVert:\vec{y}\in A\} \). Demuestre que \( f^{-1}(\{0\})=\overline{A} \)

Entonces, necesitamos demostrar que \( f^{-1}(\{0\})\subseteq \overline{A} \) y \( \overline{A}\subseteq f^{-1}(\{0\}) \). Aclaremos que \( f(\vec{x})=d(\vec{x},A) \) y \( f^{-1}(\{0\}):=\{\vec{x}_0\in \Bbb{R}^n:d(\vec{x},A)=0\} \)

Sea \( \vec{x}_0\in f^{-1}(\{0\}) \iff \text{inf}\{\lVert\vec{x}_0-\vec{y}\rVert=0:\vec{y}\in A\} \iff \vec{x}_0=\vec{y}, \vec{y}\in A\iff \vec{x}_0\in B_{\varepsilon}(\vec{x}_0), \forall \varepsilon\gt 0\iff \vec{x}_0\in \overline{A} \)

Ahora, supongamos que \( \vec{x}_0\notin \overline{A} \), entonces \( \exists\varepsilon\gt 0 \) tal que \( B_{\varepsilon}(\vec{x}_0)\cap A=\emptyset\lor B_{\varepsilon}(\vec{x}_0)\cap A^{\complement}=\emptyset \), y de lo primero se tiene que \( \lVert \vec{x}_0-\vec{y}\rVert\ge \varepsilon, \forall \vec{y}\in A \),lo cual es imposible, entonces \( B_{\varepsilon}(\vec{x}_0)\subseteq A \) y por lo tanto, \( \vec{x}_0\in A \), luego \( d(\vec{x}_0,A)=0 \) y por lo tanto, \( \vec{x}_0\in f^{-1}(\{0\}) \)
Y \( f^{-1}(\{0\})=\overline A \)

¿La demostración es correcta? Si no, ¿podrían decirme qué le hace falta?

[ani_pascual]

Hola:

..

Usaría solo que \( x\in\overline{A}\Longleftrightarrow \forall\,\varepsilon>0, \,\,B_{\varepsilon}(x)\cap A\neq \emptyset\Longleftrightarrow \forall\,\varepsilon>0, \exists\,y\in A \) tal que \( 0\leq d(x,y)<\varepsilon\Longleftrightarrow \inf\limits_{y\in A}\{d(x,y)\}=d(x,A)=0\Longleftrightarrow x\in \textcolor{red}{f}^{-1}(\{0\}) \)

Saludos

[ani_pascual]

Hola, respecto a tu pregunta, aquí

\( \vec{x}_0\in f^{-1}(\{0\}) \iff \text{inf}\{\lVert\vec{x}_0-\vec{y}\rVert\textcolor{red}{=0:\vec{y}\in A\} \iff \vec{x}_0=\vec{y}, \vec{y}\in A\iff \vec{x}_0\in B_{\varepsilon}(\vec{x}_0), \forall \varepsilon\gt 0\iff \vec{x}_0\in \overline{A}} \)

creo que hay una errata y debería ser \( \vec{x}_0\in f^{-1}(\{0\}) \iff \text{inf}\{\lVert\vec{x}_0-\vec{y}\rVert:\vec{y}\in A\}=0 \) y esto que sigue

\(  \iff \vec{x}_0=\vec{y}, \vec{y}\in A\iff \vec{x}_0\in B_{\varepsilon}(\vec{x}_0), \forall \varepsilon\gt 0\iff \vec{x}_0\in \overline{A} \)

es incorrecto. Ten en cuenta que \( \vec{x}_0\in B_{\varepsilon}(\vec{x}_0), \forall \varepsilon\gt 0 \) siempre es cierto. Un razonamiento correcto a partir de ahí, sería \( inf\{\|x_0-y\|:y\in A\}=0\Longleftrightarrow \forall\,\varepsilon >0,\,\exists\,y\in A \) tal que \( 0\leq \|x_0-y\|<\varepsilon\Longleftrightarrow \forall\,\varepsilon >0\,\,\, \exists\,y\in A \) tal que \( y\in B_{\varepsilon}(x_0)\cap A\Longleftrightarrow \forall\,\varepsilon >0,\,\,\,B_{\varepsilon}(x_0)\cap A \neq\emptyset\Longleftrightarrow x_0\in\overline{A} \)
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...

Ahora, supongamos que \( \vec{x}_0\notin \overline{A} \), entonces \( \exists\varepsilon\gt 0 \) tal que \( B_{\varepsilon}(\vec{x}_0)\cap A=\emptyset\lor B_{\varepsilon}(\vec{x}_0)\cap A^{\complement}=\emptyset \), y de lo primero se tiene que \( \lVert \vec{x}_0-\vec{y}\rVert\ge \varepsilon, \forall \vec{y}\in A \),lo cual es imposible, entonces \( B_{\varepsilon}(\vec{x}_0)\subseteq A \) y por lo tanto, \( \vec{x}_0\in A \), luego \( d(\vec{x}_0,A)=0 \) y por lo tanto, \( \vec{x}_0\in f^{-1}(\{0\}) \)
Y \( f^{-1}(\{0\})=\overline A \)
...

A esto tampoco le veo mucho sentido  ¿Qué inclusión pretendes probar con este razonamiento? ¿\( f^{-1}(\{0\})\subseteq \overline{A} \) o la otra \( \overline{A}\subseteq f^{-1}(\{0\}) \)?
Saludos