[merciparis]

Buenas tardes, estaba teniendo complicaciones para probar la siguiente afirmación:
“Si el producto de una familia de espacios es T2, T3 o T4 también lo es cada espacio”.
He tratado de probarlo a través de las proyecciones, que son continuas y abiertas. Sin embargo, no he podido demostrar que la imagen de un espacio T2 a través de este tipo de aplicaciones también es T2.
Gracias en adelanto por la ayuda. Un saludo!

[ani_pascual]

Hola:

Buenas tardes, estaba teniendo complicaciones para probar la siguiente afirmación:
“Si el producto de una familia de espacios es T2, T3 o T4 también lo es cada espacio”.
He tratado de probarlo a través de las proyecciones, que son continuas y abiertas. Sin embargo, no he podido demostrar que la imagen de un espacio T2 a través de este tipo de aplicaciones también es T2.
Gracias en adelanto por la ayuda. Un saludo!

Comento el primer caso 
Si \( \{(X_i,\tau_i)\}_{i\in I} \) es una familia de espacios topológicos y se cumple que \( \left(\displaystyle\prod\limits_{i\in I}X_i,\tau_P\right) \) es Hausdorff, donde \( \tau_P \) es la topología producto, entonces \( \forall\,i\in I \) es \( (X_i,\tau_i) \) Hausdorff. En efecto, dado \( j\in I \), para cada \( i\neq j \) se escoge un elemento \( a_i\in X_i \) fijo. Así, se tiene que \( X_j\simeq X_j\times\prod\limits_{i\neq j}\{a_i\}\subset \prod\limits_{i\in I}X_i \) y como la propiedad de Hausdorff es hereditaria y se conserva por homeomorfismos se tiene que \( (X_j,\tau_j) \) es Hausdorff y como \( j \in I \) es arbitrario se concluye.
Saludos
Complementado

[merciparis]

Hola:

Buenas tardes, estaba teniendo complicaciones para probar la siguiente afirmación:
“Si el producto de una familia de espacios es T2, T3 o T4 también lo es cada espacio”.
He tratado de probarlo a través de las proyecciones, que son continuas y abiertas. Sin embargo, no he podido demostrar que la imagen de un espacio T2 a través de este tipo de aplicaciones también es T2.
Gracias en adelanto por la ayuda. Un saludo!

Comento el primer caso 
Si \( \{(X_i,\tau_i)\}_{i\in I} \) es una familia de espacios topológicos y se cumple que \( \left(\displaystyle\prod\limits_{i\in I}X_i,\tau_P\right) \) es Hausdorff, donde \( \tau_P \) es la topología producto, entonces \( \forall\,i\in I \) es \( (X_i,\tau_i) \) Hausdorff. En efecto, dado \( j\in I \), para cada \( i\neq j \) se escoge un elemento \( a_i\in X_i \) fijo. Así, se tiene que \( X_j\simeq X_j\times\prod\limits_{i\neq j}\{a_i\}\subset \prod\limits_{i\in I}X_i \) y como la propiedad de Hausdorff es hereditaria y se conserva por homeomorfismos se tiene que \( (X_j,\tau_j) \) es Hausdorff y como \( j \in I \) es arbitrario se concluye.
Saludos
Complementado

Gracias por la ayuda!