Hola,
Estoy haciendo el siguiente ejercicio:
Dados una aplicación \( f: (X_1 \times X_2, \tau_1 \times \tau_2) \to (Y, \tau) \) y un punto \( a = (a_1, a_2) \in X_1 \times X_2 \), probar las siguientes afirmaciones:
1) Las aplicaciones \( i_{a_1}:(X_2, \tau_2) \to (X_1 \times X_2, \tau_1 \times \tau_2) \) e \( i_{a_2}:(X_1, \tau_1) \to (X_1 \times X_2, \tau_1 \times \tau_2) \) dadas por \( i_{a_1}(x_2) = (a_1, x_2) \) e \( i_{a_2}(x_1) = (x_1, a_2) \) son continuas.
2) Si \( f \) es continua en \( a \), entonces \( f_{a_1}: (X_2, \tau_2) \to (Y, \tau) \) es continua en \( a_2 \) y \( f_{a_2}:(X_1, \tau_1) \to (Y, \tau) \) es continua en \( a_1 \).
He razonado lo siguiente:
Para el 1), he tomado un punto arbitrario para ver que la función es continua en ese punto, así será continua en cada punto y por tanto continua de forma global.
Consideramos \( i_{a_1}:(X_2, \tau_2) \to (X_1 \times X_2, \tau_1 \times \tau_2) \) (para \( i_{a_2} \) el razonamiento es análogo). Sea \( x_2 \in (X_2, \tau_2) \) (es decir, \( i_{a_1}(x_2) = (a_1, x_2) \)) , y sea \( V \in \varepsilon_{\tau_1 \times \tau_2}(a_1, x_2) \). Como \( V \) es entorno en la topología producto, existen \( V_1 \in \varepsilon_{\tau_1}(a_1) \) y \( V_2 \in \varepsilon_{\tau_2}(x_2) \) tales que \( (a_1, x_2) \in V_1 \times V_2 \subseteq V \).
Ahora viene lo que no tengo muy claro: la intención es encontrar un entorno \( U \subseteq X_2 \) de \( x_2 \) tal que \( i_{a_1}(U) \subseteq V \). Lo que había pensado era tomar el propio \( V_2 \subseteq X_2 \) pero no sé si esto sería cierto:
\( i_{a_1}(V_2) = \{ (a_1, x_2) \in X_1 \times X_2 \mid \exists x_2 \in V_2 \mid i_{a_1}(x_2) = (a_1, x_2) \} \subseteq V_1 \times V_2 \subseteq V \)
Por otro lado, para el 2), no sé si es muy corto o no he comprendido bien lo que tengo que hacer.
He visto que \( f_{a_1} \) es composición de \( f \) con \( i_{a_1} \) (el otro caso sería análogo). Por tanto, si \( f \) es continua en \( a \), significa que para todo entorno de \( f(a) \), \( f^{-1}(V) \) es un entorno de \( a= (a_1, a_2) \). Y tomando \( f^{-1}(V) \) como el \( V \) que he tomado al principio de la demostración anterior, sería hacer algo similar, ¿no? Para ver que \( i_{a_1} \) es continua en \( a_2 \). Entonces por cómo está definida la composición de funciones, tendríamos que \( f_{a_1}(a_2) = f(i_{a_1}(a_2)) \), luego es continua en \( a_2 \).
Si pudierais comentar lo que he hecho o darme alguna corrección sobre lo que esté mal, lo agradezco
