[FedeFrontera]

Muy buenos días, espero que se encuentren muy bien. Traigo una consulta ya que estoy en duda con este problema:

1) Sea  \( X=[0,1]\times (0,+\infty) \) con la topología del orden lexicográfico es ¿un continuo lineal?

2)¿\( X \) con la topología del orden lexicográfico es de Hausdorff?

3) ¿Es continua \( f: ([0,1], T_{usual})\rightarrow{(X,T_{\text{lexicográfico}})} \) tal que \( f(x)=(x,x) \)

Para la parte 1) podría considerar el punto \( (2,0) \) como supremo del \( X \) y considerar que no pertenece a \( X \) pero no creo que sea válido ya que "el todo es \( X \)".

Para la parte 2) considero la que la respuesta es afirmativa ya que \( X \) con la topología usaul es de Hausdorff y \( X \) con la topología del orden lexicográfico es más fina.

Para la parte 3) he considerado que no es continua ya que al considerar el abierto \( \displaystyle\frac{1}{2}\times (0,1) \) relativizado al conjunto imagen del \( f([0,1)] \) me resulta el unipuntual \( {\displaystyle\frac{1}{2}} \) que no es abierto de \( [0,1] \), \( T_{usual}.
 \)
Desde ya muchas gracias por la ayuda,
Buena jornada.

P/D: No entiendo porque no me genera el latex. Disculpas.
Mensaje corregido desde la administración.

Debes de encerrar las fórmulas entre [tex],,,[/tex].

Por ejemplo: [tex]X=[0,1]\times (0,+\infty)[/tex] para obtener: \( X=[0,1]\times (0,+\infty) \)

[Luis Fuentes]

Hola

Muy buenos días, espero que se encuentren muy bien. Traigo una consulta ya que estoy en duda con este problema:

1) Sea  \( X=[0,1]\times (0,+\infty) \) con la topología del orden lexicográfico es ¿un continuo lineal?

Para la parte 1) podría considerar el punto \( (2,0) \) como supremo del \( X \) y considerar que no pertenece a \( X \) pero no creo que sea válido ya que "el todo es \( X \)".

Efectivamente, no puedes considerar elementos fuera del conjunto. Ahora bien fíjate que:

\( A=\{0\}\times (0,+\infty) \)

es acotado superiormente porque por ejemplo \( (1/2;0) \) (separo coordenadas por punto y coma para distinguir de la notación de intervalos) es una cota superior, pero no tiene supremo (compruébalo).

Por tanto NO es un continuo lineal.

2)¿\( X \) con la topología del orden lexicográfico es de Hausdorff?

Cualquier orden total define una topología Hausdorff. No se si has visto esa propiedad. Basta tener en cuenta que dados \( x<y \):

- Si existe \( z \) con \( x<z<y \) entonces \( \{w|w<z\} \) y \( \{w|z<w\} \) son abiertos disjuntos que separan \( x \) e \( y \).

- Si NO existe \( z \) con \( x<z<y \) entonces \( \{w|w<y\}=\{w|w\leq x\} \) y \( \{w|x<w\}=\{w|y\leq w\} \) son abiertos disjuntos que separan \( x \) e \( y \).

También es cierto lo que dices:

Para la parte 2) considero la que la respuesta es afirmativa ya que \( X \) con la topología usaul es de Hausdorff y \( X \) con la topología del orden lexicográfico es más fina.

 aunque deberías de probarlo.

3) ¿Es continua \( f: ([0,1], T_{usual})\rightarrow{(X,T_{\text{lexicográfico}})} \) tal que \( f(x)=(x,x) \)

 Aquí tal como están las cosas la aplicación no está definida porque \( f(0)=(0;0) \), pero \( (0;0)\not\in [0,1]\times (0,+\infty) \)

 Me queda la duda si al corregir tu mensaje me confundí y el enunciado era:

\( X=[0,1]\times [0,+\infty) \)
 
 Si puedes aclara esto. Ojo, porque si fuese así no es cierto que la topología lexicográfica en ese conjunto sea más final que la usual. Por ejemplo \( [0,1]\times [0,1/2) \) es abierto con la usual, pero no con la lexicográfica.

Saludos.

[FedeFrontera]

Hola! Excelente muchas gracias. Te pido disculpas el conjunto es \( X=[0,1]\times (0,+\infty) \). Te agradezco si me puedes explicar cómo probar que ni tiene supremo el conjunto que me has recomendado y si con el X definido de esta manera genera una función continua.
Te agradezco nuevamente por el apoyo, y la buena disposición de ayuda.
Abrazo.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola! Excelente muchas gracias. Te pido disculpas el conjunto es \( X=[0,1]\times (0,+\infty) \). Te agradezco si me puedes explicar cómo probar que ni tiene supremo el conjunto que me has recomendado

Si \( A=\{0\}\times (0,+\infty) \) y \( (p;q) \) fuese el supremo:

- Si \( p>0 \) entonces \( (p/2;0)<(p;q) \) es una cota superior de \( A \) menor que el supremo: imposible.

- Si \( p=0 \) entonces \( (0;q)<(0;q+1)\in A \), es decir, tenemos un elemento de \( A \) mayor que el supremo: imposible.

y si con el X definido de esta manera genera una función continua.

Es que lo que intento decirte es que si \( X=[0,1]\times (0,+\infty) \), la función que indicas NO está definida. No puedes definir \( f(x)=(x,x) \) con \( x\in [0,1] \) porque la imagen del cero, \( f(0)=(0;0) \) NO está en \( X \).

Saludos.

[FedeFrontera]

Le pido nuevamente disculpas pero he copiado mal el problema, el conjunto X es como se define a continuación:

1) Sea  \( X=[0,1]\times [0,+\infty) \) con la topología del orden lexicográfico es ¿un continuo lineal?

2)¿\( X \) con la topología del orden lexicográfico es de Hausdorff?

3) ¿Es continua la función \( f: ([0,1], T_{usual})\rightarrow{(X,T_{\text{lexicográfico}})} \) tal que \( f(x)=(x,x) \)

Ahora definido de esta manera pareciera continuo lineal, que es de Hausdorff y la función f no continua.

[Luis Fuentes]

Hola

Le pido nuevamente disculpas pero he copiado mal el problema, el conjunto X es como se define a continuación:

1) Sea  \( X=[0,1]\times [0,+\infty) \) con la topología del orden lexicográfico es ¿un continuo lineal?

2)¿\( X \) con la topología del orden lexicográfico es de Hausdorff?

3) ¿Es continua la función \( f: ([0,1], T_{usual})\rightarrow{(X,T_{\text{lexicográfico}})} \) tal que \( f(x)=(x,x) \)

Ahora definido de esta manera pareciera continuo lineal, que es de Hausdorff y la función f no continua.

1) Sigue sin ser un continuo lineal. La justificación es...¡exactamente la misma que funcionaba con la otra versión del enunciado!.

El conjunto A=\{0\}\times (0,+\infty) sigue sin tener supremo.

Spoiler

Si \( A=\{0\}\times (0,+\infty) \) y \( (p;q) \) fuese el supremo:

- Si \( p>0 \) entonces \( (p/2;0)<(p;q) \) es una cota superior de \( A \) menor que el supremo: imposible.

- Si \( p=0 \) entonces \( (0;q)<(0;q+1)\in A \), es decir, tenemos un elemento de \( A \) mayor que el supremo: imposible.

[cerrar]

2) Sigue siendo Hausdorff porque como te dije cualquier topología del orden en un conjunto totalmente ordenado es Hausdorff.

Sólo tienes que tener cuidado que en este caso no vale lo que tu argumentabas, porque no es cierto que la topología del orden lexicográfico en \( X=[0,1]\times [0,+\infty) \) sea más fina que la usual.

Spoiler

Como te comenté el conjunto \( [0,1]\times [0,1/2) \) es abierto en \( X \) con la usual, pero no con la lexicográfica ya que cualquier entorno del punto \( (1/2;0) \) contiene puntos con coordenada \( y>1/2 \), porque dado \( (p;q)<(1/2;0) \) se tiene que \( (p;q)<((p+1/2)/2;100)<(1/2,0) \).

[cerrar]

3) Efectivamente \( f: ([0,1], T_{usual})\rightarrow{(X,T_{\text{lexicográfico}})} \) NO es continua y el argumento que dabas es correcto.

Saludos.