Una pregunta, he visto que cuando tu escribiste una respuesta usaste la palabra "existe", en este ejercicio uso el símbolo \( \exists \) y también la palabra existe. Supongo que es de estilo, no? Cuál recomiendas y/o tu cuál empleas con más frecuencia?
Da igual.
Cuando uno está aprendiendo a demostrar... yo aconsejo usar siempre el símbolo \( \exists{} \), así uno lo emplea con corrección.
El simbolo \( \exists{} \) sólo puede ir acompañado de una variable, y no de otra cosa...
Eso te ayudará a darte cuenta de errores como en el siguiente ejercicio, que te marco en rojo:
Ejercicio 2.4
(a) Sea \( x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right) \), \( \exists\: z\in C_{0} \) tal que \( g\circ f\left(x\right)=z \), por definición \( g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right) \).
Entonces, \( f\left(x\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right) \), y \( x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \).
Sea \( x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \), entonces existe \( f\left(x\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right) \), y también \( g\left(f\left(x\right)\right)\in C_{0} \). Por definición, \( g\left(f\left(x\right)\right)=g\circ f\left(x\right) \), \( g\circ f\left(x\right)\in C_{0} \), y finalmente esto implica que \( x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right) \).
No se puede decir "existe f(x)".
Se entiende la idea, pero no es correcto.
Lo que se hace es siempre "copiar la definición de imagen" tal como está al definir conjunto de imagenes (lo que está en rojo son agregados o correcciones mias, en negro va lo tuyo):
Sea \( x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \), entonces
existe \( y \) tal que \( y=f(x),y\in g^{-1}\left(C_{0}\right) \), y también
existe \( z \) tal que \( z=g(y) \), con \( g(y)\in C_{0} \).
Además deducimos que: como \( z=g(y) \), \( y=f(x) \), entonces \( z=g(f(x)) \).Por definición, \( g\left(f\left(x\right)\right)=g\circ f\left(x\right) \), \( g\circ f\left(x\right)\in C_{0} \), y finalmente esto implica que \( x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right) \).
(b) Por definición, si \( f \) es inyectiva para cualquier \( x_{0}\in A \) tal que \( f\left(x_{0}\right)=y_{0} \), \( y_{0}\in B \), tenemos que para cualquier otro \( x_{1}\in A \), dado \( x_{0}\neq x_{1} \), \( f\left(x_{1}\right)\neq y_{0} \). Entonces, si \( g \) es inyectiva para cualquier \( y_{0}\in B \) tal que \( g\left(y_{0}\right)=z_{0} \), \( z_{0}\in C \), tenemos que para cualquier otro \( y_{1}\in B \), dado \( y_{0}\neq y_{1} \), \( g\left(y_{1}\right)\neq z_{0} \). Esto implica que \( g\left(f\left(x_{0}\right)\right) \) tiene un único elemento en \( C \) llamado \( z_{0} \), por definición es inyectiva. Por definición \( g\left(f\left(x_{0}\right)\right)=g\circ f\left(x\right) \).
Esto está muy conversado.
Si yo quisiera convencer a mí mamá de algo, se lo explicaría más o menos, y me diría: "está bien hijo".
Porque mi mamá me quiere mucho.
Pero si trato de explicárselo a Terminator, sencillamente me liquidaría al primer síntoma de no-claridad.
Una demostracion es correcta solo si no hacemos enojar a Terminator...
Cuando atamos los argumentos "a la fuerza" las cosas no quedan bien demostradas.
El inicio de tu demostración no parece mal escrito, es aceptable... pero viene con un arranque dudoso, y eso hace que el final de la demostración sea tan forzado que simplemente ya no es correcto.
Para andar seguros en una demostración, hay que escribir las cosas tal como vienen en la definición de los conceptos que se utilizan.Ese es el camino. Y es el camino más fácil, y más claro.
Así que ahí va una demostración en ese estilo: usando la definición de inyectividad.
Fijate que voy a hacer una demostración en varios pasos, usando modus ponens, y no metiendo todo en una sola línea de implicaciones... eso termina embarrando la demostración, y ya te expliqué que no hace falta.
Las conclusiones parciales de un razonamiento se pueden ir coleccionando en distintas líneas, y después, como ya están demostradas, se las puede invocar para demostrar lo deseado.
[1] Hipotesis: \( f, g \) son funciones inyectivas.
[2] Hipotesis: \( f, g \), son "componibles", o sea, la imagen de \( f \) está incluida en el dominio de \( g \), y definimos \( h=g\circ f \).
[3] La linea [1] implica, por definición de inyectividad, a este enunciado:
\( \forall{x_1,x_2\in dominio(f)}:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow{x_1=x_2} \)
En castellano: Para cualesquiera \( x_1,x_2 \), que sean elementos del dominio de la función \( f \), vale la siguiente implicación: la igualdad \( f(x_1)=f(x_2) \) implica la igualdad \( x_1=x_2 \).
[4] La línea [1] implica idéntica propiedad para \( g \):
\( \forall{x_1,x_2\in dominio(g)}:g(x_1)=g(x_2)\Rightarrow{x_1=x_2} \)
[5] Sean \( x_1,x_2\in dominio(h) \), tales que \( h(x_1)=h(x_2) \).
[6] Por la línea [2], y por definición de composición de funciones, sabemos que \( x_1,x_2\in dominio(f) \). (También hemos usado la línea [5], donde se dice quiénes son \( x_1,x_2 \))
[7] Por [5] tenemos además que \( g(f(x_1))=g(f(x_2)) \). (También la línea [6] nos permite )
[8] Sean \( y_1=f(x_1),y_2=f(x_2) \). Por [2], sabemos que \( y_1,y_2\in dominio(g) \).
[9] Además, por [7] y [8], tenemos ahora que \( g(y_1)=g(y_2) \).
[10] Las líneas [9] y [4] implican que \( y_1=y_2 \).
[11] Las líneas [10] y [8] implican que \( f(x_1)=f(x_2) \).
[12] Las líneas [11] y [3] implican que \( x_1=x_2 \).
[13] Por [5] y [12], \( \forall{x_1.x_2\in dominio(h)}:(h(x_1)=h(x_2)\Longrightarrow{x_1=x_2}) \).
[14] Por definición de función inyectiva, y por [13]: \( h[ \) es una función inyectiva.
Si ahora vemos todo el razonamiento, vemos que las hipótesis [1] y [2], que son el enunciado del ejercicio, implican finalmente la línea [14], o sea, que \( h \) es una función inyectiva.
Eso es lo que hay que lograr decir en última instancia.
Una vez que aprendes a hacer demostraciones con todo este desarrollo, claridad, y exactitud, ahí podrás de a poco ir resumiento.
Además, en los pasos [1] a [14] he agregado mucho palabrerío... ese palabrerío no tienes que imitarlo, porque son sólo comentarios aclaratorios.
Lo que va es la expresión simbólica concreta, sin palabras, nada de conversación.
Los demás incisos del 2.4 te los dejo que los revises por tu cuenta.
