Supongamos que tenemos una sucesión de Cauchy $$(x_n)$$ y consideramos una subsucesión $$(x_{n_k})$$.
Dado que $$(x_n)$$ es una sucesión de Cauchy, para cualquier $$\varepsilon > 0$$, existe un número natural $$N$$ tal que para todo par de índices naturales $$m, n > N$$, se cumple que $$d(x_m, x_n) < \varepsilon$$.
Ahora, como $$(x_{n_k})$$ es una subsucesión de $$(x_n)$$, podemos decir que cada término de la subsucesión $$x_{n_k}$$ es uno de los términos de $$(x_n)$$. Por lo tanto, si seleccionamos dos índices $$n_k, n_l > N$$ para la subsucesión, entonces los correspondientes términos $$x_{n_k}$$ y $$x_{n_l}$$ también están más allá del índice $$N$$ en la sucesión original.
Entonces, podemos concluir que $$d(x_{n_k}, x_{n_l}) < \varepsilon$$.