Hola Victor, anoto mi aportación sobre las demostraciones para la clase de Algebra Lineal de la Maestrìa en Didáctica.
1. Sea el sistema de ecuaciones \( \left\{
\begin{array}{c}
ax+by=0 \\
cx+dy=0%
\end{array}%
\right \)
a) Demostrar que si \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) es cualquier solución y \( k\in R \) entonces \( x=kx_{0} \) y \( y=ky_{0} \), también lo es.
Como \( ( x,y) =( x_{0},y_{0}) \) es una solución del sistema, entonces lo satisface,
es decir \( \left\{
\begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
\right \)
Por demostrar que el par ordenado \( \left( x,y\right) =\left(kx_{0},ky_{0}\right) \) también es solución.
\( \Rightarrow \) al sustituir \( \left( x,y\right) =\left(kx_{0},ky_{0}\right) \) tenemos que \( \left\{
\begin{array}{c}
a\left( kx_{0}\right) +b\left( ky_{0}\right) =0 \\
c\left( kx_{0}\right) +d\left( ky_{0}\right) =0%
\end{array} \) \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
k\left( ax_{0}+by_{0}\right) =0 \\
k\left( cx_{0}+dy_{0}\right) =0%
\end{array} \) \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
k\left( 0\right) =0 \\
k\left( 0\right) =0%
\end{array}%
\right \)
Luego, también se satisface el sistema de ecuaciones,
por lo tanto, \( x=kx_{0} \), \( y=ky_{0} \), también es solución.
b) Demostrar que si \( (x_{0},y_{0}) \) y \( (x_{1},y_{1}) \) son soluciones cualesquiera, entonces \( x=x_{0}+x_{1} \) y \( y=y_{0}+y_{1} \) también lo es.
Ya que \( ( x_{0},y_{0}) \) es solución \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
\right \) se satisface.
De igual manera ocurre con \( ( x_{1},y_{1}) \) \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=0 \\
cx_{1}+dy_{1}=0%
\end{array}%
\right \) se satisface.
\( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
\underset{0}{\underbrace{\left( ax_{0}+by_{0}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}=0 \\
\underset{0}{\underbrace{\left( cx_{0}+dy_{0}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}=0%
\end{array}%
\right. \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
a\left( x_{0}+x_{1}\right) +b\left( y_{0}+y_{1}\right) =0 \\
c\left( cx_{0}+x_{1}\right) +d\left( y_{0}+y_{1}\right) =0%
\end{array}%
\right \)
Luego, \( x=x_{0}+x_{1} \) y \( y=y_{0}+y_{1} \) también es solución del sistema.
2. Considerar los sistemas de ecuaciones \( (I)\left\{
\begin{array}{c}
ax+by=k \\
cx+dy=l%
\end{array}%
\right \) y \( (II) \left\{
\begin{array}{c}
ax+by=0 \\
cx+dy=0%
\end{array}%
\right \)
a) Demostrar que si \( x=x_{1} \), \( y=\allowbreak y_{1} \) y \( x=x_{2} \), \( y=y_{2}
\) son soluciones de \( \left( I\right) \), entonces \( x=x_{1}-x_{2} \), \( y=y_{1}-y_{2} \) es una solución de \( (II) \).
Como \( (x,y)=( x_{1},y_{1}) \) y \( (x,y)=( x_{2},y_{2}) \) son soluciones del sistema \( (I) \), entonces satisfacen a las ecuaciones, es decir,
\( \begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=k \\
cx_{1}+dy_{1}=l%
\end{array}%
\) y \( \begin{array}{c}
ax_{2}+by_{2}=k \\
cx_{2}+dy_{2}=l%
\end{array}%
\Rightarrow
\begin{array}{c}
\underset{k}{\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}-\underset{k}{%
\underbrace{\left( ax_{2}+by_{2}\right) }}=k-k \\
\underset{l}{\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}-\underset{l}{%
\underbrace{\left( cx_{2}+dy_{2}\right) }}=l-l%
\end{array}%
\)
\( \Rightarrow
\begin{array}{c}
a\left( x_{1}-x_{2}\right) +b\left( y_{1}-y_{2}\right) =0 \\
c\left( x_{1}+x_{2}\right) -d\left( y_{1}-y_{2}\right) =0%
\end{array}%
\)
Por lo tanto, \( x=x_{1}-x_{2} \) y \( y=y_{1}-y_{2} \) es solución de la ecuación \( (II) \).
b) Demostrar que si \( x=x_{1} \), \( y=y_{1} \) es una solución de \( (I) \) y \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) es una solución de \( (II) \), entonces \( x=x_{1}+x_{0} \), \( y=y_{1}+y_{0} \) es una solución de \( (I) \).
Como \( x=x_{1} \), \( y=y_{1} \) es solución de \( (I) \) \( \Rightarrow \begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=k \\
cx_{1}+dy_{1}=l%
\end{array}%
\),
igualmente ocurre con \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) y \( (II) \) \( \Rightarrow \begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
\).
\( \Rightarrow \begin{array}{c}
\underset{k}{\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( ax_{0}+by_{0}\right) }}=k+0 \\
\underset{l}{\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( cx_{0}+dy_{0}\right) }}=l+0%
\end{array}%
\Rightarrow
\begin{array}{c}
a\left( x_{1}+x_{0}\right) +b\left( y_{1}+y_{0}\right) =k \\
c\left( x_{1}+x_{0}\right) +d\left( y_{1}+y_{0}\right) =l%
\end{array}%
\)
Luego, \( x=x_{1}+x_{0} \), \( y=y_{1}+y_{0} \) es solución de \( (I) \) .
Aportación de Ellis Peñaloza
