C) No mencioné eso de que PI sea infinito; sólo dije que la retahíla ilimitada de decimales de PI podría hacer viable una relación (un paralelismo) con "el mismo núm. PI pero sin decimales" (o sea, un Natural), y que ...
D) ... se me había ocurrido esa chorrada al repasar tu explicación. ES DECIR, yo trato torpemente de saltar por encima de tu explicación, YA QUE un número como PI tiene un valor concreto, y bien definido, fruto de una división. Así que tendrías "de golpe" un número natural de infinitas cifras. (yaaa, ya veo todo lo que me has dicho al respecto de este último asunto ... pero no sé ... mmm ... debo repasarlo mejor, leer otras fuentes).
Pero eso lo podrías hacer con cualquier número irracional; y dejaría de ser un número real para ser una “cosa”.
Como dice Sugata, un número irracional no se puede escribir como una división entre dos números enteros. La cuestión es sencilla teóricamente hablando, pues los números enteros son números y, como tales, tienen valor finito; por tanto, la división de dos de ello cualesquiera es también otro número finito (
y de finitas cifras, si no, la división no se acaba y quiere decir que dividendo o divisor o los dos -que ambos son enteros- tienen también infinitas cifras y no son números). Dicho de otra manera, esa división siempre da como cociente otro número racional; y a esto se llama propiedad de cerradura o clausura algebraica; porque al hacer esa operación te da otro racional, no sales de ahí (estás “encerrado” en los números de finitas cifras, con o sin coma, nunca da un número irracional).
Los números irracionales, como \( \pi \), en cuanto a valor, cantidad, son finitos, pero tienen infinitas cifras siempre. Los racionales (que son coma o sin ella) tienen una cantidad finita de cifras o bien son periódicos; infinitas cifras que se repiten según periodo. No obstante, ese “desajuste” se puede arreglar para que también sen finitas; escribiendo el número en otra base en vez de en base decimal. Por ejemplo:
Si tú divides 1/3, te da 0,333... con infinitas cifras; todas 3 detrás de la coma. Ahora bien, piensa en el proceso que seguimos al hacer una división “a mano”:
Primero, como el dividendo es menor que el divisor añadimos detrás de él un cero; escribimos 10. Esto que hemos hecho es subdividir la unidad en diez trozos iguales más pequeños, en décimas. Ahora decimos “toca a tres, pues 3 por 3 es 3+3+3, nueve; si tomamos 4 nos pasamos”. Y ponemos en el cociente un cero seguido de un 3 con una coma en medio. Así sobra una décima, 10-9=1 décima, con lo cual, si queremos sacar más decimales añadimos otro cero detrás de ese 1 de la décima y el proceso se repite; entramos en un bucle que no termina. Y de ahí que aparezcan infinitos decimales.
No obstante, ¿por qué subdividir la unidad en diez trozos iguales? Esto es sólo una elección, la habitual de nuestra cultura actual (en la antigüedad se usó entre otras la base 12, por ejemplo) no es esencial en cuanto a si los números son racionales ni otras cosas así, no es teórico respecto de eso. La base numérica es sólo un “artefacto” que no cambia la esencia teórica del número racional; veamos:
Hagamos la división subdividiendo el 1 en 6 trozos, por ejemplo (fíjate que en esta ocasión la base, 6, es un múltiplo de 3 y tres es precisamente el divisor).
Procedemos igual, al 1 de la “décima” que sobra (en esta ocasión no va a ser una décima, sino una hexadécima) lo subdividimos en 6 partes iguales; y escribimos 10 en el dividendo, pero queriendo decir eso, 10 en base 6. Y ahora en cociente pondremos 0,2. Como el divisor es 3, hacemos \( 2\cdot3=6
\) y la división se acaba, ya no salen más decimales; en base seis nos ha dado 0,2.
Así pues podemos decir que los números racionales tienen siempre una cantidad finita de cifras en alguna base; los irracionales nunca, siempre tienen infinitas.
Por tanto, si aun número racional le quitas la coma, sí que en ese caso ocurre lo que decías, obtienes un número entero, pero no con el número \( \pi \) ni ningún irracional. Sí que es un número bien definido pi; pero más a bien a modo de límite; hay fórmulas que convergen a "pi", no obstante, no podemos tomar "pi" en "persona", por así decir, con todas sus cifras; es claramente imposible.
...
Curiosamente (esto ya como anécdota) al poco de entrar yo en el foro, allá por 2010 creo que fue, uno de los primeros hilos en los que intervine trataba precisamente del “Hotel de los líos”, como en este hilo; y entonces yo no sabía muchas cosas, porque sólo estuve dos años en la facultad de Físicas de la UNED y estudié muy poca teoría. No sabía, por ejemplo, esto que digo, que los números con infinitas cifras sin coma no son números; me lo dijo Carlos Ivorra y acto seguido también Argentinator (uno de los más antiguos moderadores del foro). Y años después, al plantear yo cadenas así 242446... formadas todas con infinitas cifras pares, también me lo recordó Luis Fuentes diciéndome eso mismo, que no eran números; y me habló de unas cosas a las que se llamaba “números p-ádicos”; pero de eso no sé, no lo he estudiado y no puedo contarte nada.
Total que, cuando me enteré de que esto se consideraba así, vi que muchas cosas que yo quería “arreglar”, porque daban problemas, ya estaban arregladas con esa definción sobre los números reales de todo tipo: nunca tienen valor infinito y, por tanto, cuando no tienen coma, nunca pueden tener infinitas cifras.
La paradoja antedicha es inevitable; si alguien quiere cambiar algo, va a presentar más inconvenientes, porque esto está inventado desde hace mucho (por mentes privilegiadas) y es muy difícil inventar algo mejor; aunque por supuesto todo el mundo es libre de intentarlo y proponer teóricamente lo que quiera, los matemáticos siempre están abiertos a analizar lo que sea; es necesario que existan unas axiomas y unas definiciones aceptadas para que puedan hacer matemáticas, pero no son dogmáticos (por los que yo conozco) como sí lo son algunos otros científicos en otro tipo de disciplinas no tan escrupulosas en las definiciones y en la seriedad metodológica.
Saludos.
