[Fernando Revilla]

Phidias... Eso del ''conjunto de todos los términos'' no lo veo bien en este contexto en que no hay conjuntos.

Para construir un sistema lógico formal siempre tendrás que usar una lógica. ¿Como distingues \( a_1 \) de \( f_1^2 \) por ejemplo?. ¿Con qué lógica?. No hay sistema formal previo para ello. O admitimos una cierta circularidad en los razonamientos, o no hay nada que hacer. Cuando se dice el conjunto de los términos nos referimos a la idea intuitiva de conjunto, no a un término reservado en otro sistema formal para representar adecuadamente a los conjuntos.

Esa totalidad no está bien definida.

Si lo está. Dada una expresión del lenguaje formal, o bien se puede construir vía esas reglas, o no.

Uno sólo puede estar seguro de una afirmación del tipo: "Si t satisface tal y tal, entonces t es un término.

Por ejemplo: "\( t \) es término si y solo si \( t \) es expresión de \( \mathcal{L} \) construida por medio de las reglas mencionadas".

Saludos.

[argentinator]

Para construir un sistema lógico formal siempre tendrás que usar una lógica. ¿Como distingues \( a_1 \) de \( f_1^2 \) por ejemplo?. ¿Con qué lógica?. No hay sistema formal previo para ello.

Justamente ese tipo de cosas afligen mi corazón.
Pero hubo un momento en el debate en que acepté ciertas reglas, con el propósito de seguir adelante con la prueba de Godel.
Pero creí que entre esas reglas no estaba incluido el aceptar ciertas totalidades.
Yo si quiero puedo ''imaginarme'' el conjunto de todos los términos, pero no puedo poner esa totalidad en el antecedente de una implicación metamatemática, como ser: "Sea \( \cal A \) la familia de todos los términos, entonces ...".
Eso ya no es finitista.
Y es por eso que me molestó la palabra "conjunto".

A lo mejor no tendría que haberme quejado de esto, que es un inconveniente menor a estas alturas.

[LauLuna]

Argentinator, el conjunto de los términos del lenguaje descrito por Gustavo es recursivo, es decir, decidible. Se puede decidir empíricamente si una expresión es o no un término. No sé qué más se le puede pedir a un conjunto para que no sea problemático.

Pero entiendo que a ti te preocupa que ese conjunto sea infinito.

Si no quieres hablar de conjuntos, habla de propiedades; la propiedad 'ser un término' es recursiva. No creo que se pueda dudar de que esa propiedad está bien definida, de que existe. En realidad, no necesitamos hablar de conjuntos en este contexto, sólo resulta más cómodo a veces.

Un saludo.

[Gustavo Piñeiro]

Avancemos un poco más. En el camino se irán respondiendo algunas preguntas de argentinator que quedaron sin respuesta.

Pasemos a la definición de "verdad" (que, como argentinator preguntaba, no requiere de los axiomas aritméticos para ser definida, ni en realidad tampoco de los axiomas lógicos).

Las nociones de "consistente", "demostrable", etc. pueden darse sin tomar en cuenta el significado de los signos, se basan únicamente en manipulaciones sintácticas (para definir la omega-consistencia, aquí otra pregunta de argentinator, basta decir que 1 es la abreviatura de S0, 2 es la de SS0, etc. y, en principio, no necesitamos "saber" que 3 + 7 = 10).

Para definir la "verdad", cambio, necesitamos asignarle un significado a los símbolos, al menos a las constantes y funciones.

0 representa al número cero.
S representa a la función sucesor.
+ representa a la función usual de suma.
. representa a la función usual de multiplicación.

Me detengo aquí a meditar sobre una "vieja" duda de argentinator: ¿podemos asumir que todos aceptamos como verdad que 3 + 7 = 10? ¿No habrá tribus en el Amazonas o en el desierto de Australia que sean incapaces de concebir cantidades más allá de 3? ¿O no habrá seres marinos inteligentes cuya aritmética es una aritmética de burbujas en la que 1 + 1 es un 1 más grande?

Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas, pero de habérselas planteado tal vez se habría respondido: tratemos de dar una fundamentación que convenza a todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (que ya bastante difícil es eso), y dejemos a los autralianos en paz por ahora. Todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (y también nosotros, no nos engañemos) aceptarían que 3 + 7 = 10 es una afirmación verdadera, y así lo aceptaremos también. La cuestión verdaderamente difícil no es 3 + 7 = 10, sino qué pasa con las afirmaciones que abarcan totalidades infinitas, tales como las que comienzan con "todos los números...."

Seguiré con la definición de "verdad" en breve...

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[Gustavo Piñeiro]

A las expresiones 0, S0, SS0, SSS0,... las llamaremos numerales. Los numerrales son entonces los nombres de los números en el lenguaje formal. La diferencia entre número y numeral es que los numerales son expresiones sintácticas cuya interpretación (cuyo significado) son números.

En otras palabras, el número dos es un concepto que se puede expresar de diferentes maneras: dos, 2, II, SS0, etc.

Todo término sin variables representa un número, por ejemplo S0 + SS0 representa un número que, intuitivamente, sabemos que es el 3.
 
Llamaremos enunciado atómico a un enunciado sin cuantificadores ni conectivos lógicos (y, consecuentemente, dado que es un enunciado, sin variables). Un enunciado atómico es de la forma: t = s, donde t y s son términos.

Definición: Diremos que un enunciado atómico t = s es verdadero si t y s representan el mismo número, y falso en caso contrario.

A partir de allí, la definición de verdad se va "propagando" a lo largo de las distintas operaciones que construyen enunciados (en términos más técnicos: se define por inducción en la complejidad de los enunciados).

La mayoría de los casos son obvios: un enunciado del tipo \( P\wedge Q \) es verdadero si \( P \) y \( Q \) son verdaderos y falso en caso contrario.

El único caso que merece un poco de discusión es el de los enunciados de la forma \( \forall{x}P(x) \) que es verdadero si y sólo si \( P(0) \), \( P(S0) \), \( P(SS0) \),... son todos verdaderos. Así que, en principio, la verdad de algunos enunciados requiere la verificación de una cantidad infinita (en acto) de casos.

Justamente la idea de Hilbert era reemplazar el concepto semántico de "verdad" (que involucra infinitos actuales) por el concepto sintáctico de "demostrabilidad" (verificable sintácticamente por métodos finitarios).

De todos modos, hay enunciados cuya verdad puede determinarse en una cantidad finita de pasos (Smullyan, por ejemplo, en su libro Gödel's Incompleteness Theorems dice que son los enunciados que se pueden escribir mediante "cuantificadores acotados", por lo que para verificar su verdad sólo se requiere comprobar una cantidad finita de casos).

Por ejemplo, para cada n, la verdad o falsedad de la afirmación "n es primo" (afirmación que puede traducirse al lenguaje formal) puede determinarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Definición: Diremos que un enunciado es finitario si su verdad o falsedad puede determinarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Una suposición que haremos sobre nuestros axiomas aritméticos es que todo enunciado finitario verdadero sea demostrable.

En este punto ya estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Gödel.

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[argentinator]

La mayoría de los casos son obvios: un enunciado del tipo \( P\wedge Q \) es verdadero si \( P \) y \( Q \) son verdaderos y falso en caso contrario.

¿Estás suponiendo que ya aceptamos el sentido ''obvio'' de verdad de \( -P \) o de \( P\Rightarrow{Q} \)?

[argentinator]

Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas, pero de habérselas planteado tal vez se habría respondido: tratemos de dar una fundamentación que convenza a todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (que ya bastante difícil es eso), y dejemos a los autralianos en paz por ahora. Todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (y también nosotros, no nos engañemos) aceptarían que 3 + 7 = 10 es una afirmación verdadera, y así lo aceptaremos también. La cuestión verdaderamente difícil no es 3 + 7 = 10, sino qué pasa con las afirmaciones que abarcan totalidades infinitas, tales como las que comienzan con "todos los números...."

Mmmm... Como están dadas las cosas, la idea de ''finitario'', y todo eso, me parece que lo importante no es convencer a algun grupo de personas en particular, sino a un tipo específico de mente-máquina-o-lo-que-fuere: la Máquina de Turing. Al menos me conformo con poder convencer a la máquina de que todo esto puede hacerse.

Como se ve a simple vista, parece que en una Máquina de Turing puedan programarse las operaciones aritméticas, en base a concatenar el signo S tantas veces como se quiera. Si tengo factores m, n, ocupan en la memoria de la máquina m+1 y n+1 lugares con la representación S...S0, pero la multiplicación m . n = S...S0 . S...S0 exigirá m . n + 1 lugares de memoria, que es en general mucho más grande que el tamaño de datos ''de entrada''. Esa situación la veo algo peligrosa, pero parece a simple vista algo ''programable'', a fin de cuentas.

[argentinator]

Me detengo aquí a meditar sobre una "vieja" duda de argentinator: ¿podemos asumir que todos aceptamos como verdad que 3 + 7 = 10? ¿No habrá tribus en el Amazonas o en el desierto de Australia que sean incapaces de concebir cantidades más allá de 3? ¿O no habrá seres marinos inteligentes cuya aritmética es una aritmética de burbujas en la que 1 + 1 es un 1 más grande?

Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas,

Para darle el toque final a la saga de las dudas totales, me cuestiono acerca de la operación misma de concatenar signos.
La concatenación de signos es una de las operaciones más antiguas del lenguaje humano, y comienza con los pictogramas.
Era fácil asociar biunívocamente un bisonte a un dibujo de bisonte, y un mamut a un dibujo de mamut, etc.
Con el tiempo eso derivó en la escritura moderna, especulo.
Como sea, la cuestión está que la sucesión de signos separados, diferenciados en la escritura, refleja que vemos en la realidad objetos individuales también separados y diferenciados. Los objetos de la realidad inmediata no suelen mezclarse o atraversarse entre sí, y surge la capacidad de diferenciar individuos.
¿Pero no es esto consecuencia del Principio de Exclusión de Pauli? Cito a Wikipedia:

El principio de Pauli también es responsable de la estabilidad a gran escala de la materia. Las moléculas no pueden aproximarse arbitrariamente entre sí, porque los electrones ligados a cada molécula no pueden entrar en el mismo estado que los electrones de las moléculas vecinas.

Si hubiesen mundos de neutrinos, o de fantasmas, a las mentes de esos mundos les sería totalmente antinatural concatenar signos, pero sin embargo las leyes matemáticas deberían ser las mismas... mmmm

Sí, ya sé, me volví loco. Pero es que no resistí la tentación de meter este bocadillo y cuestionar la esencia misma de cualquier teoría abstracta, que es la posibilidad de poder escribir con signos concatenados los elementos de esa teoría...

En el futuro prometo concentrarme en cosas más constructivas. Ahora que Gustavo ha puesto todas las reglas, ando con ganas de practicar con algunas deducciones.  

Saludos

[Gustavo Piñeiro]

¿Estás suponiendo que ya aceptamos el sentido ''obvio'' de verdad de \( -P \) o de \( P\Rightarrow{Q} \)?

Sí, eso estoy suponiendo. Podría definir esos sentidos "desde cero", pero los definíría... de la manera obvia.

[Gustavo Piñeiro]

Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas, pero de habérselas planteado tal vez se habría respondido: tratemos de dar una fundamentación que convenza a todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (que ya bastante difícil es eso), y dejemos a los autralianos en paz por ahora.

Mmmm... Como están dadas las cosas, la idea de ''finitario'', y todo eso, me parece que lo importante no es convencer a algun grupo de personas en particular,

Sin embargo las matemáticas no existen en un mundo abstracto (eso es, al menos, lo que yo creo) sino en la mente de los matemáticos. Y Hilbert sí quería convencer a un grupo muy específico de personas: los intuicionistas, cuya influencia él veía crecer peligrosamente. Hilbert entró en la polémica sobre los fundamentos relativamente tarde (unos 15 años después de que se iniciara) y algunos historiadores (no sé qué tan certera sea esta especulación) dicen que lo hizo por despecho, porque uno de sus alumnos más brillantes, Hermann Weyl, lo "traicionó" "convirtiéndose" al intuicionismo. Así que la insistencia de Hilbert en evitar en la fundamentación de la matemática el infinito actual tal vez se debía a una convicción personal, pero también (tal vez principalmente) se debía a que, de actuar de otro modo, jamás hubiera convencido a un solo intuicionista.

sino a un tipo específico de mente-máquina-o-lo-que-fuere: la Máquina de Turing. Al menos me conformo con poder convencer a la máquina de que todo esto puede hacerse.

En efecto, por la definición que dí es posible programar una Máquina de Turing para que determine en una cantidad finita de pasos si un enunciado finitario es verdadero o falso. Hilbert, sin embargo, iba más allá e incluía como finitarios a los enunciados que "intuitivamente" fueran verdaderos, signifique lo que signifique "intuitivamente".