Rincón Matemático

Matemática => Lógica, Conjuntos, Lenguajes Formales => Lógica => Mensaje iniciado por: Numerarius en 02 Junio, 2009, 10:58 pm

Título: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 02 Junio, 2009, 10:58 pm
Hablo este hilo para hablar sobre el teorema de Gödel.

Bueno. No sabía como empezar. Russell descubrió una paradoja en la teoría de conjuntos (ya saben, la del conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos). (Las proposiciones que se refieren a sí mismas suelen ser paradójicas. Por ejemplo: "Esta proposición no habla sobre el teorema de Gödel" ó  "El menor número que no se puede definir con menos de 15 signos").

Russell escribió con Witehead los Principia Mathematica, para librar a la matemática de paradojas. El libro de Russell establecía una jerarquía de lenguajes, la teoría de tipos, para evitar las proposiciones autorreflexivas.

Sin embargo, Gödel encontró una proposición que era verdadera pero no era demostrable en el sistema. El sistema era incompleto. No contenía todas las verdades.

La proposición venía a decir "Esta proposición no es demostrable en el sistema" (es decir, recordaba a la paradoja de Russell). Para construir esta proposición, Gödel recurrió a la "numeración de Gödel" (ya veremos lo que era esto).
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 04 Junio, 2009, 10:10 pm
Efectivamente, Gödel se inspiró en las paradojas. Escribió que cualquier paradoja epistémica podría utilizarse para establecer un teorema de limitación.

Además de en la paradoja de Russell se inspiró en las del Mentiroso y en la de Richard.

La relación de la fórmula G de Gödel (que viene a decir de sí misma que es indemostrable en el sistema) con el Mentiroso es obvia: el Mentiroso dice de sí mismo que no es verdadero, G dice de sí misma que, por la que al sistema se refiere, ella no es verdadera. Nótese que esta restricción nos hace pasar de una paradoja a un teorema de la aritmética.

Gödel se inspiró en la paradoja de Richard (que es muy parecida a la diagonal de Cantor) para su demostración informal que precede a la demostración propiamente dicha en el artículo de 1931.

Richard había propiesto en 1905 esta paradoja: enumeremos en orden alfabético todas las definiciones de números reales entre 0 y 1 en la enumeración E*. Esta enumeración debe ser posible porque las expresiones del castellano son enumerables. Sea pnm el n-ésimo dígito del m-ésimo número definido en E*. Sea entonces el número real P

0' p11 p22 p33 p44 ... pnn ...

Sumemos ahora 1 a cada dígito de la expansión decimal de P (entendiendo que 9+1 = 0). Acabamos de definir un número real que no está definido en E*. Luego parece que no hay una enumeración de todas las definiciones de reales entre 0 y 1.

Como veis es esencialmente la diagonal de Cantor.

Tomemos todos los predicados expresables en el lenguaje formal de la aritmética y formemos con ellos una enumeración E =<P1, P2, P3, ...>. Entonces hay un predicado equivalente a 'x es tal que Px(x) no es demostrable en el sistema'. Sea Pk ese predicado. Entonces Pk(k) viene a decir que el número k está asociado en E a un predicado Pk tal que Pk(k) no es demostrable en el sistema. Es decir, esa fórmula viene a decir de sí misma que no es demostrable en el sistema.

Como veis, es análogo a la diagonal de Cantor que inspiró a Richard. Y tiene también un cierto parecido con la paradoja de Russell.

Claro, quedaba demostrar que efectivamente existe una fórmula como Pk(k) expresable en el lenguaje formal del sistema de la aritmética, de manera que se pudoesen construir esas fórmulas (en cierto sentido) autorreferentes dentro del lenguaje de la aritmética.

Numerarius nos contará.

Animo a cualquiera a que plantee eso que siempre quiso saber y nunca se atrevió a preguntar sobre el teorema de Gödel. A ver que podemos hacer entre todos.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 05 Junio, 2009, 03:10 pm
Hola,

Mi nombre es Gustavo Piñeiro y soy coautor del libro "Gödel para Todos". Acabo de registrarme en el foro, éste es mi primer mensaje aquí. Si me lo permiten, me gustaría ayudar en la comprensión del teorema de Gödel en lo (poco o mucho) que pueda.

Saludos,

G.P.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: mario en 05 Junio, 2009, 04:12 pm
Bienvenido, Gustavo.
 ;)

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 05 Junio, 2009, 06:51 pm
Hola, Gustavo.

Me alegro de que estés por aquí. El libro no ha llegado a España que yo sepa, de modo que no sé muy bien qué aspectos del teorema de Gödel tratáis en él.

Pero permíteme plantearte una cuestión para romper el hielo. Ya que Numerarius presentó el tema a través de las paradojas y yo continué por ahí, tal vez sea oportuno preguntarte:

¿Cuál crees que es la relación última (por así decirlo) entre el teorema de Gödel y las paradojas?

Un saludo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 05 Junio, 2009, 10:45 pm
Hola,

Es muy cercana la relación entre el Teorema de Gödel y las paradojas. Por ejemplo, Gödel mismo dice que se inspiró, para su demostración, en la paradoja del mentiroso. La paradoja puede resumirse en esta pregunta: ¿La afirmación "Esta afirmación es falsa" es verdadera o falsa?

En su demostración, Gödel construye (dentro de la aritmética) una afirmación cuyo significado es: "Yo no soy demostrable". Si la afirmación es falsa, sería una falsedad demostrable. Luego, es verdadera y es entonces una verdad no demostrable.

La demostración en sí consiste esencialmente en ver que esa afirmación puede construirse dentro del lenguaje de la aritmética.

(En los Principia Methematica, Russell dice que todas las paradojas nacen de la autorreferencia y que ésta debe ser evitada en el lenguaje lógico. Gödel va más allá y usa la autorreferencia de modo no paradójico -inspirado en una paradoja, pero no paradójico en sí- para demostrar su teorema.)

Saludos!

G.P.

PD: Según nos han dicho en la editorial, el libro se publicaría en España hacia fin de año.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 05 Junio, 2009, 11:14 pm
Hola nuevamente!

Al releer los mensajes del foro descubro que he escrito casi lo mismo que Numerarius, perdón por la repetición innecesaria.

Acerca de la autorreferencia. Creo que la diferencia entre la autorreferencia de la paradoja del mentiroso y la autorreferencia no paradójica de la demostración de Gödel es que la primera es una autorreferencia semántica mientras que la otra es sintáctica.

Me explico: "Esta afirmación es falsa" refiere a la verdad de la afirmación, que es una cualidad semántica ya que depende de su significado.

En cambio, "Esta afirmación no es demostrable" se refiere a una cualidad sintáctica, ya que, en el contexto del Programa de Hilbert, el que una secuencia de enunciados constituya, o no, una demostración depende de características sintácticas de esos enunciados (es decir, que no toman en cuenta el significado de los símbolos).

Un ejemplo simpático que ilustra esta diferencia es el siguiente.
Consideremos la oración:

"Esta afirmación tiene cinco palabras"

Es una afirmación verdadera. Pero su negación:

"Esta afirmación no tiene cinco palabras"

también es verdadera ¿Cómo es posible que una afirmación y su negación sean ambas a la vez verdaderas?

Saludos!

G. P.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 06 Junio, 2009, 11:33 am
La distinción que hace Gustavo Piñeiro entre autorreferencia semántica y autorreferencia sintáctica es fundamental, me alegro de verla reflejada aquí porque la experiencia me dice que no todo el mundo la tiene tan clara. Es fundamental para entender por qué el Mentiroso es una paradoja y en cambio la sentencia de Gödel no lo es. Me consta que mucha gente no termina de entender esto con toda claridad.

Me gustaría insistir en ella introduciendo la distinción entre proposición y oración (o sentencia). Una oración o sentencia es un objeto puramente sintáctico, una ristra de símbolos que un artefacto puramente mecánico (una máquina deTuring) podría reconocer y manipular. Por el contrario, una proposición es un objeto semántico, es lo que afirmamos o negamos a través de una oración.

Por ejemplo, las siguientes expresiones son oraciones diferentes pero expresan, cada una en su interpretación usual, la misma proposición:

'la nieve es blanca'
'la neige est blanche'
'snow is white'
'der Schnee ist weiss'

En cambio, una misma oración expresa a veces dos o más proposiciones distintas; por ejemplo, la oración:

'todas las plumas pesan'

referida una vez a plumas de ave y otra a plumas estilográficas.

Una oración o sentencia no tiene en sí misma ningún significado: lo adquiere solamente a través de una interpretación. Así las sentencias de la aritmética formal adquieren significado y pasan a expresar proposiciones aritméticas sólo a través de la interpretación adecuada. Los lenguajes naturales son en realidad lenguajes ya provistos de una interpretación. Los lenguajes formales necesitan que se los provea de una interpretación si es que queremos que sus fórmulas expresen proposiciones.

Por eso la sentencia indecidible de Gödel (la llamaré 'G') es una sentencia, una fórmula, una ristra de símbolos, que sólo se convierte en una proposición cuando es interpretada. Si es interpretada de la manera estándar, expresa una proposición aritmética equivalente a

P)               'G no es demostrable en el sistema S'

donde S es el sistema formal de la aritmética (podemos asumir que es la aritmética de Peano de primer orden).

Es importante darse cuenta de que P no habla de sí misma sino de G, es decir, habla de una ristra de símbolos y de una propiedad sintáctica de esa ristra de símbolos, a saber, no ser un teorema de S. Conviene igualmente darse cuenta de que S es equivalente a una máquina de Turing que genera un conjunto de fórmulas; llamemos TS a una máquina equivalente a S. Entonces P viene a decir que una cierta ristra de símbolos no es un output de TS. P es como la proposición que propone Gustavo:

'esta oración tiene cinco palabras'

Esa proposición no habla de sí misma sino sólo de la oración que la expresa y de una propiedad sintáctica de esa oración.

Si una oración determinada tiene o no cinco palabreas, es un hecho bien definido. Paralelamente, si una ristra de símbolos determinada G es o no un output de una máquina de Turing determinada TS, eso es un problema matemático bien definido (equivalente a un problema aritmético), sobre el que no cabe paradoja alguna. Por tanto, o bien P es verdadera o bien P es falsa: hay hechos objetivos, hechos matemáticos que la hacen bien verdadera, bien falsa.

Comparad esta situación con la del Mentiroso:

M)                 esta proposición es falsa

Según yo lo veo, M es vacía, no expresa proposición alguna, no se refiere a ningún hecho bien definido (matemático o no matemático); es fácil ver que M está aquejada de circularidad, igual que el Veraz:

V)                esta proposición es verdadera

Con todo esto contrasta P, que consiste en afirmar que una determinada ristra de símbolos G no es un output de una determinada máquina de Turing TS; aquí no hay circularidad ninguna, nos estamos refiriendo a hechos objetivos, determinados con total independencia de nuestras afirmaciones sobre ellos.

Esta es la diferencia entre una paradoja y una proposición matemática.

Claro que entonces cabe preguntar: si la sentencia de Gödel es tan nítidamente distinta de la paradoja del Mentiroso ¿qué es exactamente lo que tienen en común?

Un saludo.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 06 Junio, 2009, 12:53 pm
Estoy siguiendo este debate con mucha atención, excelente. Espero que salga mucha luz de él. Como ya comenté en otro hilo en el que intervino LauLuna, he "devorado" hasta la saciedad la demostración del teorema de incompletitud de Gödel (Logic for mathematicians de A.G. Hamilton). No tengo ningún reparo a la misma ni me ha quedado duda técnica alguna.

El problema es la interpretación como ya comenté de la propia esencia aritmética de la fórmula bien formada \( \mathcal{G} \) de Gödel y seguro que han corrido ríos de tinta acerca de esto. Quizás sería bueno esperar a que el debate llegara a un punto en el que tal vez pudiera yo aportar algo que está relacionado con los procesos dinámicos asociados a los números naturales que menciono en mi firma. Ahora creo que sería desviar algo el debate y no sería oportuno.

Por lo pronto valgan estos primeros comentarios para reflejar que se ha elegido uno de los temas más excitantes intelectualmente. Es posible que sea largo. Estaremos atentos y aprendiendo.

Saludos.    
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 06 Junio, 2009, 08:35 pm
Antes de comenzar a discutir cosas, y sobre  todo preguntar, ya que mis dudas en este tema son más que mis certezas, quiero contribuir con un comentario histórico.

En torno al año 1900 varios matemáticos se vieron envueltos en arduas discusiones sobre los fundamentos de las matemáticas.
Se distinguen Poincaré, Russel, Hilbert, Cantor, Brower, Frege, entre otros.

Tengo acá (en casa) una edición es español del libro Fundamentos de la Geometría, de David Hilbert, editado en Madrid por CSIC.
En este libro se presenta una larga introducción histórica que explica cómo es que Hilbert se terminó interesando por la geometría euclidiana. Al parecer había muchas cuestiones vagas en la matemática de aquel tiempo, y así Hilbert se dispuso a escribir un libro dando axiomas sólidos, completos e inambiguos para la geometría plana.
Al parecer Pasch era un antecedente en la sistematización de los resultados de la geometría a partir de axiomas,
sin embargo el mismo Pasch era filosóficamente anti-axiomas, debido a que él estaba convencido de que la geometría debía basarse en la evidencia empírica, la naturaleza, para elaborar sus principios o enunciados, o lo que fuere.
Hilbert se alejó filosóficamente de esa postura, ya que para él la intuición no era de fiar en este terreno,
y es así que elaboró un sistema lógico-deductivo de la geometría, en el que no hubiera lugar a conceptos intuitivos.
Todo en la teoría de Hilbert se enuncia con proposiciones, ristras de signos, deducciones formales, implicaciones lógicas.
Ningún dibujo o interpretación intuitiva es necesaria, aunque él los haya utilizado con fines pedagógicos.

En su libro, Hilbert se cuestiona acerca de la independencia de los axiomas de la geometría.
Para ello, lo que hace es tomar uno de los axiomas de la teoría, digamos A, y lo reemplaza por su negación -A.
Los demás axiomas se dejan sin tocar.
Queda formado un nuevo sistema axiomático, y él prueba en cada caso que el sistema está bien constituido, exhibiendo un modelo. Y más aún, dicho modelo es un ejemplo distinto a la geometría clásica, o sea una geometría no euclidiana.
Si el axioma A hubiese dependido del resto de la lista de axiomas, entonces no se habrían obtenido teoremas propios de una geometría distinta. (Pensemos por ejemplo en negar la propiedad arquimediana).

En otro capítulo Hilbert plantea el tema de la no-contradicción de los axiomas entre sí.
Para ello, Hilbert exhibe un ejemplo de sistema que cumple los axiomas de la geometría: el sistema de los números reales (o pares de números reales... en fin).
Con ello puede afirmar que los axiomas de la geometría euclidiana son no-contradictorios siempre y cuando el sistema de los números reales, o sea la Aritmética, sea un sistema no-contradictorio.

Si un sistema A de axiomas no conduce a enunciados contradictorios, o sea, no permite afirmar que P y no-P son verdaderas al mismo tiempo, entonces se dice que el sistema A es consistente.
Hilbert probó una consistencia de la geometría que depende, es relativa respecto, de la consistencia de la Aritmética.

En el libro hay unos apéndices dedicados exclusivamente a la cuestión de la consistencia de la Aritmética, el Infinito, y los Fundamentos de la Matemática.
Se ve allí cómo Hilbert fue construyendo su teoría de la Axiomática, en la cual pretende basar toda la matemática.
Aquí él dice que los enunciados matemáticos han de usar un número finito de signos gráficos y un número finito ellos se escriben en un papel para expresar los enunciados matemáticos. También han de ser finitas las cadenas de silogismos empleadas en una demostración, y observa irónicamente que nadie ha podido escribir una demostración con infinitos de ellos.

Aparece en Hilbert la exigencia de finitud en los fundamentos mismos de la lógica como parte de los requisitos de exactitud y rigor en el trabajo matemático. Habla de unas cosas que llama ''los que son'' y ''los que no son'', que nunca entendí bien a qué se refiere, pero puede apreciarse que acepta en gran parte las aportaciones de Russell y Zermelo a la lógica matemática y su axiomatización.

En todo caso, Hilbert insiste en que tanto la Aritmética y la Lógica deben axiomatizarse, y sus teoremas deben probarse con métodos finitarios. También dice que ambas deben axiomatizarse simultáneamente, debido a que en la misma lógica aparece la necesidad de operar con números.

En sus conferencias él afirma que está convencido de la consistencia de los axiomas que él propone en su teoría de la Axiomática.
Hilbert se ve inquietado por la necesidad de probar si todo enunciado es demostrable o no, y habla entonces de una teoría de la demostración. Él cree que su teoría abrirá paso a contestar todas las preguntas matemáticas, y que la aritmética es consistente.
Otro concepto de Hilbert es el de que la no-contradicción de un sistema axiomático de cierta entidad matemática es suficiente para considerar que existe dicha entidad, mientras que otros matemáticos exigen que se exhiba un modelo, o sea un ejemplo al menos, que satisfaga esos axiomas. Se pide así que la teoría sea no-vacía.

Una pregunta que me hago en este punto es, si acaso el hecho de que una teoría sea no-contradictoria es equivalente al hecho de que exista al menos un modelo para dicha teoría. Creo haber leído por ahí que esto es un teorema metamatemático, pero no recuerdo ahora. Si alguien lo sabe...

Hilbert también hablaba de la metamatemática, aquella teoría que se ocupa de estudiar a la matemática misma desde ''afuera'',
y se ocupa de definir y  probar cuestiones relacionadas a fórmulas lógicas, enunciados de sistemas de axiomas lógico-matemáticos, y por último discutir si dichos axiomas son consistentes (sin contradicción interna) y completos (dadas una afirmación A y su negación -A, dentro del sistema dado de axiomas, o bien A es demostrable o bien -A es demostrable).

Luego por los años 1930 Godel probó sus famosos teoremas, siempre bajo el supuesto de que se trabaja en el programa formalista de Hilbert, o quizá dentro del logicismo de Russell. Hilbert reaccionó diciendo:

"Me gustaría manifestar que la opinión temporalmente extendida, de que ciertos resultados de Godel implican que mi teoría de la demostración no es posible, ha resultado ser errónea. De hecho, esos resultados demuestran únicamente que para obtener una prueba adecuada de la consistencia uno debe utilizar el punto de vista finitario de una forma más afinada de la que se necesita cuando se trata el formalismo elemental."

Cualquier corrección o comentario a lo que he expuesto será bienvenida.

En todo caso, me gustaría que alguien explique esta última cita que puse de Hilbert, porque la verdad es que no la entiendo.
Y una vez explicada, si creen que es cierto o no lo que Hilbert dice allí sobre los teoremas de Godel.

Por lo demás, deseo comprender enunciados y pruebas de los resultados de Godel de principio a fin, así que no los voy a dejar en paz hasta que todos los cálculos estén claros como el agua.

Sin embargo, he notado que hay dando vueltas en torno al teorema de godel dos tipos de dificultad: una de carácter conceptual o filosófica (o más o menos), y otra de tipo técnico (las pruebas mismas, que son algo difíciles).
Esto que ustedes mencionan acerca de la circularidad, las paradojas, etc., no son conceptos que estén bien definidos en alguna parte. Si bien uno puede definir con precisión clase, conjunto, contradicción, número, etc., no me parece que haya una definición de paradoja. Mientras uno anda paseando por la metamatemática procura evitar las paradojas, pero no sé si hay modo de establecer de un modo más preciso (quizá ustedes sepan de alguno) qué clase de objetos son.
Está también la importante discusión sobre sintaxis (signos vacíos formales) y semántica (significado, interpretación de los signos), que si bien estoy convencido de entender la diferencia entre ambos, cuando quiero aterrizar en Godelandia veo que me confundo de nuevo, irremediablemente.

En cuanto a las dificultades técnicas de las pruebas, ya veremos cuáles surgen.
En principio sólo tengo a mano el libro de Martínez/Piñeiro, pero no sé si basarme en ese libro para la demostración del teorema de Godel porque según tengo entendido dan una prueba algo ''alternativa'', basada en las máquinas de Turing (Piñeiro acaba de decirme que me equivoqué en esto, la prueba que dan ellos sigue las líneas de la original de Godel).
O sea, no me molesta para nada que hagan la prueba así, pero quizá los otros foristas tengan a mano una prueba del teorema de Godel en un formato más parecido al original, y entonces no nos vamos a entender del todo.
Pero confío en el amigo Piñeiro para que me diga hasta donde puedo usar su libro sin riesgo a confundir los distintos tratamientos.
¿Algún PDF en internet con la prueba?

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 06 Junio, 2009, 10:00 pm
Estimado argentinator,

Acerca de la cita de Hilbert, se refiere a lo siguiente: en el momento en que Gödel demostró su teorema (lo demostró en 1930 y lo publicó en 1931) todavía no se había dado una definición precisa de "método finitario", por lo que no quedaba claro si el teorema de Gödel se aplicaba a todos los métodos finitarios posibles. El mismo Gödel comenta esta circunstancia en su artículo, diciendo que tal vez había métodos permitido por el programa de Hilbert que su demostración no llegaba a abarcar.

Cuando, en 1936-1937, Church y Turing definen rigurosamente el concepto de algoritmo, quedó claro entonces que la demostración de Gödel sí se aplica a cualquier método finitario y que el programa de Hilbert era imposible de realizar. Gödel apunta esta circunstancia en una posdata que agrega a su artículo original (y que aparece en las ediciones actuales del artículo.)

Acerca del libro, la demostración que allí se da se ajusta a las ideas originales de Gödel, con algunas modificaciones introducidas posteriormente por Raymond Smullyan, las que facilitan algunos detalles técnicos sin modificar la idea original.

Existen, en efecto, demostraciones alternativas del teorema basadas en máquinas de Turing, pero no es una de ellas la que se desarrolla en el libro. Una demostración de ese estilo puede verse en: http://eltopologico.blogspot.com/2005/12/gdel-y-turing-parte-1.html

Saludos!

G.P.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 06 Junio, 2009, 10:15 pm

Existen, en efecto, demostraciones alternativas del teorema basadas en máquinas de Turing, pero no es una de ellas la que se desarrolla en el libro. Una demostración de ese estilo puede verse en: http://eltopologico.blogspot.com/2005/12/gdel-y-turing-parte-1.html


OK. Entonces no sé cómo se me metió en la cabeza que ustedes usaban teoremas basado en máquinas de Turing.
A lo mejor leí algún párrafo sobre máquinas de Turing y me quedó dando vueltas en la cabeza una conclusión errónea.

Lo de los métodos finitarios ha sido más que claro.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 06 Junio, 2009, 10:37 pm
Es curioso. Gregory Chaitin (que al parecer es un lógico bastante distinguido) escribió sobre el teorema de Gödel lo siguiente:

It was love at first sight! Mad love, crazy love[...]There was only one small, tiny problem, fortunately, which was that for the life of me I couldn't understand Gödel's proof of this wonderful metamathematical result. It's called that because it's not a mathematical problem result, it's a theorem about mathematics itself, about the limitations of mathematical methods

 I wasn't an idiot, so why couldn 't I understand Gödel's proof? Well, I could follow it step by step, but it  was like trying to mix oil and water. My mind  kept resisting. In other words, I just plain didn't like Godel's proof of his faboulous result. His original proof seemed, too fragile! It didn't seem to get to the heart of the matter, because it was far from clear how prevalent inclompleteness might in fact be.


(Gegory Chaitin, Meta Math. The Quest for Omega. Random House. Toronto( Canadá), 2005, pags. 26, 27).

Por cierto, este mismo autor afirma que prefiere la versión de la incompletud demostrada por Turing. Lo que demostró Turing se podría explicar (aproximadamente) así: no existe ningún procedimiento para verificar si un programa P con un dato k  contiene un bucle infinito (o alternativamente, si una máquina de Turing T, con un dato k no parará nunca). Esto se llama el "problema de la parada" ("The halting problem").
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 07 Junio, 2009, 11:31 am
Efectivamente, Hilbert no había dejado claro lo que se debía entender por 'método finitario'. Cuando Church y Turing formalizaron el concepto de computable, se tendió a pensar que había que entender lo finitario como lo computable o recursivo.

Como todas las funciones recursivas están representadas en la aritmética cuya consistencia se quiere probar, esta interpretación implicaba la imposibilidad del programa de Hilbert.

A pesar de eso, Gödel propuso en 1958 una ampliación del concepto de finitario ("Sobre una ampliación todavía no utilizada del punto de vista finitario" en Dialectica 12, 280-287); aceptando esa ampliación puede probarse la consistencia de la aritmética intuicionista que Gödel mismo había probado en 1932 equivalente a la aritmética clásica.

En cuanto a la cita de Chaitin. Hace tiempo planteé en otro hilo algo parecido y precisamente relacionado con la prueba de Gödel. Uno puede seguir la prueba paso a paso y entenderla, y luego quedarse pensando: bueno ¿qué es exactamente lo que sucede aquí?. Es decir, uno intenta captar la esencia de la prueba, el paso crucial, el hecho fundamental detrás de ella, algo que permita apoderarse intelectualmente del asunto. Y eso no es tan fácil.

Chaitin lo intentó formalizando el concepto de 'contenido de información' y reproduciendo el resultado de incompletitud sobre la base de que ningún sistema de axiomas puede demostrar que una fórmula contiene más información que los axiomas (esta descripción es sólo una aproximación). Es como si le pidieses a los axiomas que encontrasen la primera fórmula que ellos no pueden demostrar, que está más allá de su alcance; lógicamente, no podrán encontrarla, si son consistentes. Así que Chaitin dio una versión 'cuantitativa' del resultado de Gödel.

Para mí el hecho fundamental que hace posible la prueba de Gödel es la circunstancia de que la naturaleza recursiva de los sistema formales axiomáticos permite establecer un isomorfismo entre su estructura y ciertas estructuras aritméticas. Esto hace a su vez posible que los sistemas formales que contienen la aritmética (o una parte suficiente de ella: la aritmética recursiva) sean capaces de tratar parte de su propia metateoría. Es decir, esto hace que estos sistemas se vuelvan en cierto sentido autorreferentes. Y llegados aquí es donde entran en juego los métodos basados en las paradojas, claro.

¿Cuál diríais cada uno de vosotros que es el hecho fundamental que hace incompleta la aritmética y hace posible el resultado de Gödel? Porque esto de elegir un 'hecho fundamental' es muy subjetivo, depende de la forma personal que cada uno tiene de organizar las ideas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 07 Junio, 2009, 02:04 pm
En el libro Gödel para Todos sostenemos la tesis (y ése es uno de los aportes originales que el libro intenta hacer al tema) de que el hecho fundamental que está detrás de la prueba de Gödel es que la operación de concatenar símbolos es expresable en la aritmética.

Me explico: Cuando se define el lenguaje formal de la aritmética, primero se indican los símbolos que se van a usar (por ejemplo \(  \forall{}  \), \(  \Rightarrow{}  \), etc.) Las expresiones del lenguaje se obtienen concatenando los símbolos entre sí (es decir, pegándolos). Por ejemplo, \(  \forall{x}  \) se obtiene concatenando el símbolo \(  \forall{}  \) con la variable \( x \).

Existe una concatenación similar entre los números, al concatenar el 2 y el 3 obtenemos el número 23. En el libro damos una definición abstracta de la operación de concatenación (esencialmente que sea una operación isomorfa a la concatenación de símbolos) y vemos que ésta no es la única concatenación posible.

Cuando se define la numeración de Gödel, asignamos un número a cada símbolo y a la concatenación de dos o más símbolos le asignamos la concatenación de sus números correspondientes. Por ejemplo, si a \(  \forall{}  \) le corresponde el 2 y a la variable \( x \) le corresponde el 3, entonces a \(  \forall{x}  \) le corresponderá el 23.

En su paper de 1931 Gödel mismo lo hace de esta manera (aunque sin ser conciente de eso). Él usa una concatenación basada en la descomposición en primos de los números enteros.

Como la concatenación es expresable en la aritmética entonces todas las operaciones sintácticas en el lenguaje se pueden traducir a operaciones expresables en la aritmética y en consecuencias las condiciones "Ser el número de Gödel de una fórmula" (resp. "de un enunciado", "de una demostración" y "de un teorema") son expresables en la aritmética y la prueba del teorema de Gödel puede llevarse adelante.

De hecho, probamos en el lbro que en cualquier teoría en la que pueda definirse una concatenación abstracta vale el equivalente del teorema de Gódel y damos, además, condiciones algebraicas que permiten verificar la existencia de una tal concatenación.

Un problema aún abierto es si la existencia de una concatenación es equivalente a la incompletitud. Nuestra conjetura es que no, pero no hemos podido dar un contraejemplo que zanje la cuestión.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 07 Junio, 2009, 06:26 pm
Aprovecho para preguntar ¿qué es una teoría?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 07 Junio, 2009, 09:15 pm
Argentinator, técnicamente (en Teoría de Modelos) una teoría es un conjunto C de sentencias en un lenguaje lógico formal con la condición de que C esté cerrado bajo la relación de consecuencia lógica: para todo p y q, si p pertenece a C y q es consecuencia lógica de p, q pertenece a C.

Pero en un sentido más amplio es usual llamar también teorías a los sistemas formales axiomáticos. En algunos de estos sistemas el conjunto de los teoremas es efectivamente una teoría, particularmente en los sistemas de primer orden: como la lógica de primer orden es completa (Gödel 1930), toda consecuencia lógica de los axiomas es también un teorema del sistema. Pero en algunos de ellos, como la aritmética de Peano de segundo orden, el conjunto de los teoremas no es una teoría en el sentido más estricto, porque no toda consecuencia lógica de los axiomas es un teorema.

Como sabes, los sistemas formales axiomáticos están compuestos por axiomas o esquemas axiomáticos y reglas de inferencia. El conjunto de los axiomas puede ser infinito (sobre todo cuando se emplean esquemas axiomáticos) pero ha de ser recursivamente enumerable porque lo esencial es que el conjunto de los teoremas sea recursivamente enumerable, sin eso no se puede hablar de un sistema formal en sentido estricto (aunque tales sistemas en sentido más amplio también existen).

Gustavo, no entiendo muy bien lo de la concatenación. Imagino que no siempre se podrán expresar las fórmulas como números a través de la simple concatenación. Por ejemplo, si los símbolos primitivos son cien, no puedo asociarles números naturales del 0 al 99 y luego representar las fórmulas mediante ssimple concatenación porque el número 19 representaría tanto al vigésimo símbolo como a la concatenación de los símbolos segundo y décimo.

Evidentemente podríamos inventar más símbolos para los números y expresarlos en base 100, y tal vez haya algín otro modo de hacer posible la gödelización por simple concatenación ¿Pero es realmente esencial la posibilidad de concatenar o basta con que haya una manera de representar los símbolos, las fórmulas y las derivaciones como números, aunque no pueda hacerse por simple concatenación?

De todas maneras, como no he leído el libro, sólo intuyo confusamente lo que dices: ¿sugerís los autores que lo que posibilita el teorema no es la estructura y naturaleza de los números mismos sino la naturaleza de nuestra manera de representarlos? No sé si estoy entendiendo bien.

Un saludo

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 07 Junio, 2009, 10:42 pm
Explicaré mejor la cuestión de la concatenación. Empiezo por la definición: una concatenación en un conjunto \( D\subseteq{} N \) con dos átomos (que llamaré \( a \) y \( b \)) es una operación binaria (que indicaré \( \circ{} \)) tal que:

1) Los átomos están en \( D \). La concatenación de dos elementos de \( D \) está en \( D \).
2) La operación es asociativa.
3) Todo elemento de \( D \) es, o bien un átomo, o bien la concatenación de una cantidad finita de átomos.
4) La descomposición en átomos es única (la unicidad incluye a los átomos que aparecen y al orden en que están escritos).

Ejemplos de concatenación:

1) Sea \( D \) el conjunto de todos los números (enteros positivos) cuya escritura en base 10 contiene solamente las cifras 1 y 2. Estas cifras son los átomos y concatenar es escribr un número a continuación del otro.

Como dice LauLuna esta concatenación no es intrínseca y depende de la escritura de los números. Una concatenación que sí es intrínseca es la siguiente:

2) Sea \( D \) el conjunto de todos los enteros mayores que 1 que cumplen estas condiciones:

a) No son divisibles por el cubo de un primo (podríamos llamarlos números libres de cubos).
b) Son múltiplos de 2.
c) Si \( p \) y \( q \) son primos con \( p < q \) y el número es divisible por \( q \) entonces también es divisible por \( p \).

La definición de la concatenación la daré a través de un ejemplo, creo que se entenderá bien:

La concatenación entre el número \( 2\cdot{}3\cdot{}5 \) y \( 2^2\cdot{}3^2\cdot{}5^2\cdot{}7 \) es \( 2\cdot{}3\cdot{}5\cdot{}7^2\cdot{}11^2\cdot{}13^2\cdot{}17 \) (obsérvense los exponentes).

Tomemos ahora un lenguaje formal cualquiera para la aritmética (que tendrá una cantidad a lo sumo numerable de símbolos, los cuales suponemos que están ordenados según algún criterio). Dada una concatenación cualquiera con dos átomos, definimos una codificación de Gödel del siguiente modo:

Al primer símbolo del lenguaje le corresponde el número \( a\circ{}b \).
Al segundo le corresponde \( a\circ{}b\circ{}b \)
Al tercero le corresponde \( a\circ{}b\circ{}b\circ{}b \)

Y así sucesivamente.

A la concatenación de dos o más símbolos le corresponde la concatenación de sus correspondientes números de Gödel.

Para codificar sucesiones de fórmulas, Raymond Smullyan usa la convención (que nosotros adoptamos) de incorporar un símbolo adicional para separar entre sí las las fórmulas de la sucesión.

A partir de aquí se puede desarrollar la prueba del teorema Gödel.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 07 Junio, 2009, 10:49 pm
técnicamente (en Teoría de Modelos) una teoría es un conjunto C de sentencias en un lenguaje lógico formal con la condición de que C esté cerrado bajo la relación de consecuencia lógica: para todo p y q, si p pertenece a C y q es consecuencia lógica de p, q pertenece a C.


Lo que deseo es entender exactamente el objeto de estudio que estamos discutiendo.
Estoy acostumbrado a los sistemas axiomáticos, los conozco bastante porque me he estado peleando con ellos para entender cómo es que se construye la teoría de conjuntos.
Pero me tiene muy confundido el hecho de que se esté trabajando en el terreno de la metamatemática.
¿Los teoremas de Godel son metamatemáticos? Por lo que sé del tema, sí lo son.
Luego, en ese caso, ¿cuáles son las reglas del juego?

Dijiste algo de un ''conjunto de sentencias'', pero asumo que el término conjunto no se refiere a lo que se entiende por ''conjunto'' dentro de la teoría de conjuntos.
Después mencionaste un sistema lógico formal, pero no entiendo cómo puede uno estar seguro de qué es un objeto de ese tipo. ¿Hay definiciones más precisas de todo esto?
Porque mis dudas creo que empiezan por ahí.
No estoy convencido de si está bien definido el objeto de estudio, o sea, si está bien precisado aquello de qué estamos hablando.

Sin eso, no sé si pueda avanzar en la prueba de Godel, porque no me termina de cerrar qué es aquello de lo que se habla, ni cual es la hipótesis, ni cuál es la tesis, ni cuáles son las reglas válidas de inferencia.
Como no hay reglas, parece que todo el mundo está de acuerdo en que deben usarse fórmulas lógicas finitas, y que uno pueda seguir en su construcción paso a paso, sin duda alguna.
Eso al menos lo comprendo, pero quisiera que ustedes me digan exactamente en qué terreno nos movemos.

-----------

En cuanto a lo de la concatenación, bueno, tengo una percepción más filosófica que técnica, porque aún no entiende los detalles de todo esto.
Pero me parece que la operacion de concatenar, que es algo que Hilbert ya se creía autorizado a hacer, involucra la posibilidad de poner uno al lado de otro infinitos signos, o al menos, una cantidad no limitada de signos.
Eso vendría a decir que tengo una ''memoria'' (digamos, la de una computadora) con suficiente capacidad de almacenamiento, o sea, capacidad no finita.
Además, esas celdas de memoria están ordenadas según el orden de los números naturales, porque los signos se escriben uno a la derecha del otro, siguiendo ''un buen orden''.
Así que en realidad el esquema de los números naturales ya lo traemos incorporado incluso antes de haberlo construido como parte de alguna teoría lógica.
Mi conclusión es que el sistema de los naturales ya es parte de nuestro propios esquema de pensamiento, y que cuando construimos la teoría de los números naturales tenemos la ilusión de que estamos construyendo las cosas desde cero,
pero en realidad estamos reflejando algo ya existente en nuestra propia mentalidad.
Las cosas ''ya existentes'' son como ''axiomas''. Recordemos que Euclides asumía hechos ''naturales'' en su teoría, pero que con el tiempo hubo que formalizar esas ''creencias'' de Euclides y explicitarlas como axiomas de la geometría.
Tengo la sospecha de que con los números naturales nos pasa algo parecido a nosotros, ahora en el siglo 21.
Usamos ciertos ''axiomas'' sin darnos cuenta.

¿Qué construcciones u operaciones se asumen como válidas, y cuáles son no válidas?


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 08 Junio, 2009, 02:33 am
Argentinator tiene razón: si la intención de este hilo es entender la demostración del Teorema de Gödel, entonces el modo correcto de empezar es enunciando el teorema.

Antes del enunciado en sí, es necesario hacer alguna aclaración filosófica (en relación a lo que también decía argentinator). Ni Hlbert ni Gödel creían que los axiomas creaban los números naturales "desde cero". De hecho, Hilbert consideraba imposible el intento de Frege y Russell de definir a los números naturales desde la lógica y la teoría de conjuntos, pues consideraba (y en esto coincidía con los intuicionistas) que la secuencia natural es esencial a nuestro pensamiento y, de hecho, el lenguaje mismo implica la idea de secuencia.

La idea general de Hilbert era dar métodos "seguros" (es decir, que garantizaran la no aparición de paradojas) para determinar si una afirmación aritmética es "verdadera" (siendo este último un término problemático y aún a definir).

En "Acerca del infinito" Hilbert propone que representemos a los números naturales mediante palotes: |, ||, |||, etc. Algunas afirmaciones aritméticas, dice Hilbert, son en realidad afirmaciones empíricas, cuya verdad o falsedad puede verificarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Un ejemplo es 2 + 3 = 5 que, traducida a palotes, dice que al concatenar dos palotes con tres palotes se obtienen cinco palotes. A estas afirmaciones empíricas las llamaremos aquí finitarias.

En realidad Hilbert extendía esta condición de finitaria a otras afirmaciones que, aunque no verificables empíricamente, eran intuitivamente evidentes, tales como el esquema de inducción.

Podemos entonces hablar de la verdad o falsedad de afirmaciones finitarias. ¿Qué pasa con las afirmaciones no finitarias? Hilbert dice que no está claro qué significa decir que es "verdadera" o "falsa" una afirmación no verificable empíricamente (ni ecintuitivamente evidente) y trata de reemplazar el concepto semántico de "verdad" por los conceptos sintácticos de "consistencia" y "demostrabilidad".

Tomemos un conjunto de axiomas formado por enunciados finitarios. Un enunciado P es demostrable a partir de esos axiomas si existe una sucesión finita de enunciados que termina en P y en el que cada enunciado es, o bien un axioma, o bien se obtiene de enunciados anteriores por aplicación de las reglas de inferencia. (Habitualmente estas reglas de inferencia son: modus ponens y generalización.)

Los axiomas, además, deben ser elegidos de modo tal que se cumpla esta condición: dado un enunciado cualquiera debe ser posible verificar mecánicamente en una cantidad finita de pasos si ese enunciado es, o no, un axioma. Enunciaremos esta condición diciendo que el conjunto de axiomas es recursivo. (Esta condición limita de tal modo los conjuntos posibles de axiomas que no es necesario recurrir a la teoría de conjuntos par definir qué es un "conjunto de axiomas".)

La propuesta de programa de Hilbert era encontrar un conjunto recursivo de axiomas tal que:

1) El conjunto de axiomas fuera consistente (es decir, dado cualquier enunciado P, nunca sucedería que P y su negación fueran a la vez demostrables).
2) El conjunto de axiomas fuera completo (es decir, dado cualquier enunciado P, o bien él o bien su negación sería demostrable).
3) Fuera posible demostrar la condición 1) mediante demostraciones "seguras" (para ello, decía Hilbert, debería desarrollarse una teoría de la demostración o metamatemática).

El enunciado del Teorema de Gödel, tal como Gödel lo enunció, es:

Teorema: Si un conjunto recursivo de axiomas cumple:

1) El sistema es \( \omega  \)-consistente. (Más abajo explico´qué es esto.)
2) Todo enunciado finitario es demostrable.

Entonces es incompleto. Es decir, existe un enunciado P tal que ni P ni su negación son demostrables.
Además (y éste es el llamado Segundo Teorema de Gödel) el hecho de que el sistema es consistente es expresable y no demostrable en el sistema.

(Cuando digo sistema es que incluyo a las reglas de inferencia, si éstas son fijadas de antemano, como habitualmente se hace, entonces "sistema de axiomas" y "conjunto de axiomas" son virtualmente sinónimos).

Un sistema de axiomas es \( \omega  \)-consistente si para toda fórmula \( P(x) \) sucede que si \( P(n) \) es demostrable para todo \( n \) entonces \( \exists{x}-P(x) \) (donde \( -P(x) \) es la negación de \( P(x) \)) no es demostrable.

(Puede probarse que todo sistema \( \omega  \)-consistente es consistente, pero no vale la recíproca.)

En 1936 John B. Rosser modificó la demostración de Gödel de modo que la hipótesis de ser \( \omega  \)-consistente se pudo reemplazar por la de ser consistente.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 08 Junio, 2009, 05:09 am
Gustavo tiene muy claro el asunto, incluso los detalles históricos, lo cual personalmente me resulta de gran provecho.
Así que aprovecho para agradecer tu aporte.

Aún así no tengo del todo claro qué es lo que estamos asumiendo como reglas de juego.
Lo único que saco en limpio hasta ahora es esto:

(1) Podemos asumir que la secuencia de los números naturales está presente en nuestro intelecto, y que ciertas propiedades básicas de ella pueden tomarse como intuitivamente válidas. En lo que a mí respecto, no hay nada intuitivamente válido, pero bueno... si es lo que hay.

(2) Disponemos de una lista de signos gráficos, digamos: \( 1, \forall{},\exists{},\longrightarrow{},\wedge,\vee,=,(,),x, \) y quizá dos o tres más, pero no más que esos.

(3) Podemos escribir los signos listados en (2) en orden, uno a la derecha del otro, de modo que podemos hacer corresponder a cada número natural ''intuitivo'' (y aún no construido en teoría de conjuntos alguna) un cierto signo. Por ejemplo, si escribo \( \wedge\vee1=\exists{}) \), estoy diciendo que hay un 1er signo que corresponde a \( \wedge \), un 2do signo que sería el \( \vee \), un 3er signo que sería el 1, un 4to signo que sería el =, y así sucesivamente.

(4) Los signos listados en (2) al colocarse ordenadamente como se explica en (3), pueden repetirse tantas veces como se desee. Así, por ejemplo, la secuencia \( \wedge\wedge(((1))11)= \) que contiene varios signos repetidos, sería válida.

(5) Todo lo que se haga con estas herramientas debe permanecer ''bajo control'', o sea, no debe haber duda de que se llevarán a cabo pasos ''seguros'', que no den lugar a ambigüedad, duda, etc. Para lograr pasos ''seguros'' se procura trabajar con objetos que sean ''intuitivamente'' claros e inconfundibles.

Estas cuestiones intuitivas no me parecen tan obvias, sino todo lo contrario.
Hay unos indígenas australianos que cuentan 1, 2, 3 y muchos. No conocen otros números.
Ellos no manejan ''nuestra'' intuición de número natural. Difícilmente podrían seguir una sentencia ''finitaria'' con más de 3 signos, me parece.
Así que los números que conocemos están ''inculcados'' o ''aprendidos''. No son inherentes al ser humano. Aunque se puede asumir que son un objeto cultural... qué sé yo.

Lo intuitivo acarrea el problema de que no todos los seres humanos intuyen lo mismo, y es por eso que se buscan pruebas sólidas en la ciencia, para no dejarnos llevar por el engaño.
¿Cómo es que los matemáticos, entre ellos el gran formalista Hilbert, terminan diciendo que son ciertas percepciones intuitivas lo que se toma como base de demostraciones lógico-matemáticas seguras?
Incluso Hilbert, según he leído y comentado, criticaba a Pasch por usar la intuición de lo empírico en geometría en vez del razonamiento sintético, y criticaba a los intuicionistas también (es más, creo que él mismo los bautizó con ese nombre en forma algo despectiva).

Así que no queda más remedio que decir: ''Bueno, asumimos que todos los seres humanos tenemos esta intuición colectiva, llamémosla secuencia de números naturales 1, 2, 3, 4, etc., y que Dios nos ampare".

Así que, para no llevar el asunto por vías filosóficas ajenas a la prueba en sí, asumo estas cosas por ahora como válidas.

En todo caso, da toda la sensación de que Hilbert procuraba atenerse a ''intuiciones¨básicas", que fueran tan obvias y elementales que no habría lugar a discusión, y poder hablar entonces de una teoría de la demostración, una metamatemática.
Pero el concepto de ''finito'' no me parece algo tan básico como para incluirlo en ese esquema.

Sin recurrir a la teoría de conjuntos (que estamos tratando de evitar en todo esto porque en la metamatemática no hay ni lógica, ni conjuntos, ni nada), puedo asumir que entiendo intuitivamente el significado de ciertas cantidades pequeñas como 1, 2, 80, 1200, no sé, hasta cierto número ni muy chico ni muy grande, pero que sea manejable, ya sea porque tiene pocas cifras, o por lo que fuere. Puedo decir que ciertas listas de signos son ''finitas'' si puedo enumerarlas o contarlas, y su número es pequeño y está dentro de lo que considero manejable.
¿Pero puedo ir más allá, y hablar con toda generalidad de "todas las secuencias finitas de signos"?
Porque en ese caso, estoy asumiendo que mi intuición elemental entiende sin ambiguedad lo que significa finito.
Y también estoy asumiento que entiendo lo que significa ''todas las secuencias de signos".
¿No hay problemas o dudas al abarcar esa totalidad de secuencias?

Nota: estamos hablando de todas esas secuencias cuando pedimos por ejemplo que dado un enunciado cualquiera debe ser posible verificar mecánicamente en una cantidad finita de pasos si ese enunciado es, o no, un axioma.

Ahora bien, después de toda esta queja, que no sé qué tan en serio pueda tomarse, viene la peor parte, porque para ser honesto con todo el mundo, la verdad es que sí tengo una intuición clara de lo que significa una secuencia finita de signos, o una sucesión finita de pasos mecánicos, y de lo que significa hablar de ''todas esas secuencias'', etc.
Pero la experiencia con totalidades (como el imposible conjunto de todos los conjuntos) es lo que me obliga a dudar.
También está la cuestión de que uno puede definir finitud de maneras alternativas al mero "ser equipotente con los primeros n naturales, para algún n", y esas alternativas no tienen consecuencias claras (al menos para mí) en alguna teoría de conjuntos con axiomas más débiles que los usuales.

Y como estamos en el terreno de la ''carencia de axiomas'', o sea, es todo muy ''débil'', me asusta tener a mano ciertas posibilidades o herramientas "fuertes".

Pero bueno, para poder continuar parece que debemos asumir que:

(6) Se asume o se entiende intuitivamente claro y sin ambigüedad lo que significa una secuencia finita de signos, y una secuencia finita de pasos. Se entiende lo que es concatenar y repetir símbolos.

(7) No sólo se aceptan las convenciones de la (1) a la (6), sino que además se asume que, en cierta manera, todos estamos de acuerdo en lo que significan dichas convenciones. O sea, asumimos que hay un consenso intuitivo, convenciones de lenguaje y comprensión, etc.

Mmmmmm... Es todo cada vez más sospechoso, pero de algún punto debemos partir.
Y aunque quería mostrar mis dudas filosóficas sobre todo esto, no deseo llevar la discusión por ese lado, porque antes que nada quiero entender qué estamos asumiendo para probar el dichoso teorema.

Ahora bien. Gustavo, mencionaste lo de los "palotes" de Hilbert.
Pero creo que la prueba de Godel no viene en ese formato de palotes, ¿o sí?

Lo que entiendo de este asunto viene a ser como sigue (si hay errores, corríjanme):

(A) Partimos de trabajar con ciertos signos en forma ordenada, según se explica en los pasos (1) a (7) que mencioné antes.
Llamamos al contexto de trabajo: metamatemática.

(B) A una secuencia finita de signos dada se le llamará sentencia. No importa cómo esté formada, ni si parecen tener sentido o no, por ejemplo: \( =(\wedge\vee\longrightarrow{\longrightarrow{}})\wedge) \)

Para no andar escribiendo cualquier cosa, habrá que elegir cuáles sentencias tendrán sentido para nosotros, y cuáles no.
Se elige un gran grupo de sentencias, y se dice que ellas forma un lenguaje L.
Lo más probable es que la cantidad de sentencias que figuran en L sea infinita (Aggh!!).
Así que, para mantenernos en terreno firme, exigimos que:

(C) Debe haber un método mecánico y claro por el cual, en una cantidad finita de pasos se puede determinar si una determinada sentencia S forma parte o no del lenguaje L.

(D) Se elige, de entre las sentencias del lenguaje L, una lista de sentencias, y se las bautiza como Axiomas. La lista dada puede ser finita o infinita (AUCH!).

Me molesta el hecho de que haya infinitos axiomas, porque se supone que para trabajar con ''pasos seguros'' como Hilbert pretendía, debemos quedarnos en el jardín de las cosas finitas. Sin embargo, por lo que sé, la matemática que conocemos no podría funcionar a toda su potencia con una lista finita de axiomas.
Sin embargo, existe una cosa llamada esquema axiomático, lo cual, en vez de dar un axioma, lo que hace es dar una regla de tal modo que toda sentencia que cumpla esa regla, será un axioma.

Esto me parece de por sí sospechoso, porque involucra una totalidad infinita.
Claro que, a lo mejor estoy teniendo demasiados prejuicios contra las totalidades infinitas.
A lo mejor mi conducta respecto a lo infinito es más bien de un temor supersticioso.

Pero es que... si hablo de un esquema axiomático, ya no estoy escribiendo una secuencia de signos, sino que estoy escribiendo una secuencia de meta-signos.
Un ejemplo de esquema axiomático sería escribir, por ejemplo, que:
para toda secuencia finita de signos, la cual simbolizamos momentáneamente por A, la sentencia \( A=(A) \) será un axioma.
Así, generaríamos la lista de axiomas 1=(1), (x1xxx)=(x1xxx), (((1111)))=((((1111)))), y un largo e infinito etcétera.

La letra A en el esquema axiomático anterior no es uno de los signos permitidos según la lista del punto (2).
La letra A es sólo un signo ''informal'' dentro de nuestro lenguaje para comunicar a otros o a uno mismo, que cierta regla habrá de ser utilizada.
La letra A sería un meta-signo, y eso ya me empieza a perturbar bastante la paz, porque nada impediría que uno hable de meta-meta-signos, o de meta-meta-matemática. ¿Hasta dónde llega el asunto?

Tengo que creer en este punto que esos meta-signos se usan de un modo ''razonable y controlado'' por la meta-matemática, pero no me satisface que haya tanta libertad en ello.

De todos modos, aún siendo concientes de esto, podemos seguir adelante un poco más.

Para permitir ese tipo de situaciones que involucran esquemas axiomáticos, y mantenerse aún en una conducta ''finitaria'', se introduce una restricción que recibe el nombre de recursividad, que Gustavo menciona.
Así que, si bien la lista de axiomas no es finita,

(E) se puede, sin embargo, determinar en un número finito de pasos mecánicos si una determinada sentencia es un axioma o no es un axioma. (Definición de Recursividad)

Así que, en realidad, pareciera que no es muy importante aquello de los meta-signos. Uno podría despreocuparse de ellos, o del hecho de estar usando esquemas axiomáticos, siempre y cuando uno esté seguro de que puede determinar en un número finito de pasos si una sentencia es un axioma o no...
Aún así, ¿cómo probar que mi sistema de axiomas satisface esta propiedad, acaso comprobándolos uno a uno?
Claro que eso no se puede... y así veo de nuevo el fantasma de los infinitos y las totalidades por estos lugares, y la verdad es que me dan comezón.

Como sea, terminemos con el asunto.

(F) A una ''lista'' dada de axiomas como se especifica en (D) se la llama sistema axiomático.

(G) Se agrega al sistema axiomático una lista finita de reglas de inferencia, que son, hasta donde logro entender, reglas que especifican si una sentencia dada es un teorema o no es un teorema.
Esta clasificación entre teorema y no-teorema puede tener en principio una apariencia arbitraria. Sería lo mismo que clasificar en cocos y no-cocos.
Además, lo importante de dichas reglas no son tanto ellas mismas, sino que mediante un número finito de pasos mecánicos y perfectamente discernibles se puede determinar si cierta sentencia es o no es un teorema.

En cuanto a las reglas de inferencia, ¿qué rol juegan en todo esto? No son axiomas, no me parece que sean esquemas axiomáticos. ¿Son algo distinto? ¿Se dan en el metalenguaje, al estilo ''esquema''? ¿Cómo debo entenderlas?

Dado que en general no hay más que unas pocas reglas de inferencia, asumo que son finitas.

Por último, te pregunto Gustavo, ¿a qué les llamás exactamente sentencias finitarias?
¿Qué sería una sentencia no finitaria?
No comprendo si te estás refiriendo a ''afirmaciones'' como la de 2 + 3 = 5, que es una afirmación por sí sola, explícita,
o si acaso te estás refiriendo a ''esquemas de afirmaciones'' como una fórmula con meta-signos del tipo A + B = B + A.

Yo estuve usando el término ''sentencia'' como el de ristra ordenada de signos del punto (2), y no como fórmula escrita con meta-signos.

También puede que esté equivocado en el manejo que hago de la terminología de la teoría de modelos, que en realidad casi ni conozco.
¿Debo corregir algo en todo lo dicho?

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 08 Junio, 2009, 06:00 pm
Disculpad. Debido a un error, he duplicado mensajes. 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 08 Junio, 2009, 06:01 pm
Bueno. Tal como yo entiendo la demostración de Chaitin, venía a decir lo siguiente.

Algunos números reales son computables. Algunos reales, como Pi, pueden generarse mediante un programa finito. 

Ahora bien, un número real r es aleatorio  si, para generar las n primeras cifras de r, se necesita un programa de n líneas (o de un número próximo a n líneas). Esta idea de hecho, se remonta a Leibniz.  Mediante un método llamado interpolación lagrangiana, se puede demostrar que n puntos, siempre pertenecen a una curva. La idea de Chaitin (tomada de Leibniz) es que un número real (o, por ejemplo, una serie de enteros) son aleatorios si la ley que los genera es excesivamente complicada.

La teoría de Chaitin saca partdo también de una demostración de Turing. La demostración de Turing es más o menos así: el conjunto de las máquinas de Turing es enumerable. Por tanto, el conjunto de los números generables mediante una máquina de Turing es enumerable. Pero R es un conjunto no enumerable. Por tanto, la mayoría de números reales no son computables. 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 08 Junio, 2009, 06:58 pm
Existe una concatenación similar entre los números, al concatenar el 2 y el 3 obtenemos el número 23. En el libro damos una definición abstracta de la operación de concatenación (esencialmente que sea una operación isomorfa a la concatenación de símbolos) y vemos que ésta no es la única concatenación posible.

Antes de seguir, me gustaría saber si he interpretado correctamente lo anterior. Llamando \( N \) al previsible modelo de la aritmética de primer orden \( \mathcal{N} \) se definen las funciones de concatenación:

\( \begin{Bmatrix} C_2:N^2\rightarrow{N},\;C_2(n_1,n_2)=n_1n_2\\C_{k}:N^{k}\rightarrow{N},\;C_{k}(n_1,\ldots,n_{k})=C_2\left(C_{k-1}(n_1,\ldots,n_{k-1}),n_{k}\right)\mbox{ si}& k\geq{3}\end{matrix} \)

Las relaciones \( k+1 \)-arias \( R_{k+1}(n_1,\ldots,n_k,n_{k+1}) \) a las que dan lugar las funciones de concatenación son recursivas y por tanto expresables en \( \mathcal{N} \). Esto estaría encaminado a dar una variante de la demostración del teorema de Gödel. ¿Es así?.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 08 Junio, 2009, 07:07 pm
Por cierto, el procedimiento que utilizó Gödel para transformar las proposiciones en números fue el siguiente.

Escribir una proposición es permutar una serie de símbolos en una serie de espacios. Bueno, los espacios se expresan mediante números primos (que hacen de base), y los símbolos mediante números que hacen de exponente.

El 2 es el primer lugar, el 3 el segundo, el 5 el tercero.

Y los símbolos pueden ser: "f" es 2 , "(" es 6, "x1" es 59, ")" es 8.

Así, "f(x1)" se expresa así: 2 ² · 3 ⁶ · 5⁵⁹ · 7⁸. 

(Esto es lo que se llama "Numeración de Gödel").
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 08 Junio, 2009, 08:44 pm
Gustavo, si no he entendido mal, cualquier numeración de Gödel usual (incluida la original de Gödel que reproduce Numerarius) da lugar a una concatenación. Lo esencial es que la descomposición en átomos sea unívoca, de manera que cada número de Gödel nos lleve en un número finito de pasos a la fórmula que representa.

Argentinator, no creo que sea razonable partir de que nada es intuitivamente evidente. Decir eso es contradictorio en sí mismo. Desde una posición de escepticismo radical ciertamente ni teoremas ni nada.

El programa de Hilbert para asegurar la consistencia de las matemáticas no era tan filosófico como para partir de una duda cartesiana total. Aceptaba como evidente casi todo lo que intuitivamente consideramos evidente en matemáticas, exceptuando ciertos conceptos demasiado abstractos y alejados de la representación sensible, como el concepto de cardinal transfinito, por ejemplo. La idea era la que transmite Gustavo Piñeiro: basarse en lo finitario, entendiendo lo finitario como aquello que puede comprobarse empíricamente en un número finito de pasos. La estructura de los naturales es muy simple, son simples palotes concatenados. Las fórmulas aritméticas sin cuantificadores, a las que a veces se llama 'fórmulas primas' (Kleene), como '3+2=5', pueden verificarse jugando con palotes. La idea es que "jugando con palotes" no vamos a producir jamás una paradoja. Yo diría que lo finitario puede interpretarse como lo computable, y que lo computable no nos va a llevar jamás a una paradoja.

Naturalmente en la metamatemática de Hilbert sí se utiliza la lógica y sí que se habla de conjuntos de fórmulas, pero procuramos no involucrar conjuntos demasiado grandes o abstractos, nos quedamos dentro de lo computable.

Un detalle técnico: no toda ristra de símbolos de un lenguaje formal es una sentencia. Algunas de esas ristras son 'fórmulas bien formadas', por ejemplo ' 0+x=y', otras no, por ejemplo, '++=+' (el concepto se especifica mediante reglas computables); y dentro de las fórmulas bien formadas llamamos sentencias (o 'fórmulas bien formadas cerradas') a aquellas que no contienen variables libres, es decir, variables que quedan fuera del alcance de todo cuantificador. Antes era más frecuente permitir que los sistemas formales manipulasen fórmulas abiertas; ahora se tiende más a hacer que trabajen sólo con sentencias.

Oye, Argentinator, en cuanto a eso que te preocupa de los australianos (creo que en realidad se trata de los indios piraha, en Brasil, aunque puede haber más de un caso) yo lo plantearía así: todo ser racional tiene en potencia la capacidad de desarrollar la estructura de los números naturales, ésta es inherente a la razón; pero esa capacidad puede quedar en potencia durante mucho tiempo igual que la capacidad de desarrollar las geometrías no euclídeas. En uno y otro caso se trata de construcciones racionales sobre las que es posible demostrar verdades de forma rigurosa. Los seres racionales nacemos con la capacidad de desarrollarlas pero no nacemos ya sabiéndolas, igual que nacemos con la capacidad de desarrollar dientes pero nacemos sin dientes.

Sugiero que para aclarar a qué tipos de sistemas nos estamos refiriendo, como pide Argentinator, alguien proponga un ejemplo concreto de sistema formal axiomático al que se aplique el teorema de Gödel. Lo más natural sería exponer una versión de la aritmética de Peano de primer orden. Sugiero que lo haga Gustavo Piñeiro, ya que probablemente tendrá su versión preferida, por ejemplo, la que utilice en su libro.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 08 Junio, 2009, 09:44 pm
LauLuna, espero no haberte hecho enojar.

Puede ser que dudar de todo no sea sano.
Incluso, dudar de todo no sirve para entender el Teorema de Godel.
Pero son dudas que me asaltan constantemente mientras estoy leyendo pruebas sobre la metamatemática.
Y si bien desde algún lugar hay que partir, no creo que olvidarse de las dudas sea lo correcto.
Por ahora puedo olvidarme por un rato de todas esas dudas, pero resulta que también estoy tratando de comprender cuál es el universo del discurso donde se debate el Teorema de Godel.
Como no estoy del todo familiarizado o acostumbrado a la teoría de modelos, necesito comprender cuáles son las reglas de juego, qué cosas se están tomando como punto de partida, qué se acepta y qué no se acepta.
¿De dónde tengo que arrancar? ¿Qué reglas o ideas puedo usar?
Además al poco rato todo se complica. ¿Cómo sé que estoy respetando lo ''finitario'' a cada paso?

Y en cuanto a aceptar la intuición de los números naturales de entrada, creo que hay que aclararlo también, porque no todo el mundo está de acuerdo en este punto.
¿Qué intuición de número natural tengo que usar? Los intuicionistas tienen su versión más restringida a la hora de aceptar lo que es un número. ¿Tengo que usar la versión de ellos o la versión formalista que se me ha enseñado a lo largo de mi vida?  :'(

En todo caso no voy a seguir con estos dilemas filosóficos porque ya me cansa hasta a mí mismo, pero pienso que buena parte de mis dudas son legítimas, y que tengo el deber de tenerlas presentes.  :-[

En el futuro trataré de centrarme en la prueba misma, aunque no me crea ninguno de los pasos que esté haciendo.  :D
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 09 Junio, 2009, 03:49 am
Hola!

Permítanme comentar algunas cuestiones de los últimos mensajes.

1. Phidias: Lo has interpretado bien.

2. Argentinator:

2.1. Acerca de los conjuntos infinitos: existe un diferencia crucial entre lo que se llama el infinito potencial y el infinito actual. Una cantidad es potencialmente infinita cuando se acepta que puede crecer sin cota, pero nunca deja de ser finita. El infinito en potencia da la idea de un proceso de crecimiento que nunca se detiene, pero nunca llega a ser "en acto" infinito.

Una totalidad es infinita en acto cuando se asume que existen "ya", "ahora", "al mismo tiempo" todos sus infinitos elementos.

Las paradojas de la teoría de conjuntos surgen al introducir (sin el debido cuidado) totalidades infinitas en acto (el conjunto de todos los conjuntos, etc.)

Las secuencias de símbolos de un lenguaje formal son un conjunto infinito en potencia, no en acto. Asumimos que podemos generar tantas secuencias como queramos de la longitud que queramos, pero siempre será una cantidad finita (aunque creciente) de secuencias de una longitud finita (aunque creciente).

De hecho, la admisión de totalidades actualmente infinitas invalida el teorema de Gödel. Por ejemplo, si se admitiera la siguiente regla de inferencia (no finitaria):

De los infinitos (en acto) enunciados: \( P(0) \), \( P(1) \), \( P(2) \),... se deduce \( \forall{x}P(x) \)

entonces el teorema de Gödel sería falso (existiría un sistema recursivo y completo de axiomas para la aritmética).   

2.2. El sistema de axiomas debe ser recursivo, es decir, debe existir un algoritmo que determine en una cantidad finita de pasos si un enunciado propuesto es un axioma, o si no lo es. Pero ¿cómo verificamos que el sistema de axiomas cumple esta propiedad? En realidad, lo que sucede no es que se da el sistema de axiomas por un lado y el algoritmo por el otro, sino que el sistema de axiomas se define mediante el algoritmo que reconoce sus enuncados (no definimos tanto "conjuntos de axiomas" como "algoritmos que reconocen axiomas").

En general, los axiomas se dan mediante una cantidad finita de esquemas. El algoritmo implícito es: dado un enunciado verifique si corresponde a alguno de estos esquemas.

2.3. Una aclaración técnica: una consecuencia de que el sistema de axiomas sea recursivo es que existe un algoritmo que, dada una secuencia de enunciados, determina en una cantidad finita de pasos si esa secuencia es, o no es, una demostración. Sin embargo, esto no significa que exista un algoritmo que determine si un enunciado es, o no es, un teorema. De hecho, Church demostró que si se toman los axiomas de Peano entonces un tal algoritmo no existe.

3. LauLuna: De acuerdo con dar un sistema formal, pero lo haré en otro mensaje para que éste no resulte demasiado extenso.

Saludos a todos!


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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 09 Junio, 2009, 04:13 am
Para definir un sistema formal debemos comenzar por definir los símbolos del lenguaje. El lenguaje tendrá:

1. Símbolos lógicos: \( \exists{} \), \( \Rightarrow{} \), \( - \), \( = \).
(El \( - \) es el símbolo de negación. El \( = \) no siempre se incluye entre los símbolos lógicos, pero en este caso sí lo haremos.)

2. Variables: \( x_1 \), \( x_2 \), \( x_3 \),...
(veremos después que estas variables pueden escribirse usando solamente dos símbolos básicos.)

3. Constante: una sola constante, \( 0 \).

4. Símbolos de funciones: \( S \), \( + \), \( \cdot{} \).
(El uso de la palabra "función" es sólo para darle un nombre común a estos símbolos, no es necesario saber qué es una "función".)

5. Signos de puntuación: \( ( \), \( ) \)

Llamamos expresión a cualquier secuencia finita de símbolos.

Un término se define del siguiente modo:

1. Las variables y la constante son términos.
2. Si \( s \) y \( t \) son términos entonces \( (s + t) \), \( (s\cdot{}t) \) y \( S(t) \) son términos.
3. Todo término se obtiene por aplicaciones sucesivas (una cantidad finita de veces) de las reglas anteriores.

(En relación con el comentario anterior sobre el infinito potencial y el infinito actual, nótese que no hablamos del conjunto de todos los términos sino de una construcción paso a paso.)
(A veces, para aliviar la notación, se omiten paréntesis innecesarios y se escribe \( s\cdot{}t \) en lugar de \( (s\cdot{}t) \).)

Una fórmula se define del siguiente modo:

1. Si \( s \) y \( t \) son términos entonces \( s=t \) es una fórmula.
2. Si \( F \) es una fórmula y \( x_i \) es una variable entonces \( \exists{x_i}F \) es una fórmula.
3. Si \( F \) y \( G \) son fórmulas entonces \( -F \) y \( (F\Rightarrow{}G) \) son fórmulas.
4. Toda fórmula se obtiene por aplicaciones sucesivas (una cantidad finita de veces) de las reglas anteriores.

Definición: decimos que la variable \( x_i \) tiene una aparición libre en la fórmula \( F \) si esa aparición no está afectada por el cuantificador \( \exists{} \) (es decir, si no está precedida por un \( \exists{x_i} \). En principio omito aquí la definición formal del concepto de variable libre.)

Definición: un enunciado es una fórmula en la que ninguna variable tiene apariciones libres (en particular esto sucede si la fórmula no tiene variables).

Para no extenderme demasiado seguiré en otro mensaje.

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 09 Junio, 2009, 04:36 am
Gustavo, si no he entendido mal, cualquier numeración de Gödel usual (incluida la original de Gödel que reproduce Numerarius) da lugar a una concatenación. Lo esencial es que la descomposición en átomos sea unívoca, de manera que cada número de Gödel nos lleve en un número finito de pasos a la fórmula que representa.

Exactamente, es así. Destaco lo de "numeración de Gödel usual" pues es posible generalizar el concepto de numeración de Gödel de modo tal que no todas ellas provienen de una concatenación.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 09 Junio, 2009, 05:37 am
Gracias Gustavo por las aclaraciones.
Lo de los infinitos potenciales y actuales me es conocido, y ya me daba cuenta que el infinito que se procura usar es el ''potencial''.
Pero la cuestión es que, en tal caso, cuando se usa una expresión del metalenguaje como por ejemplo 'n|' para indicar que se deben repetir n palotes |||||||||, ese n es un número natural, y no me queda muy claro qué clase de aritmética hay que usar ahí. Ya empiezo a dudar acerca de si puedo usar expresiones como m+n palotes, o dado un número n de palotes, descomponer n en sus factores primos y luego por cada factor primo armar alguna expresión lógica que bla bla...
La aparición del infinito ''actual'' estaría en expresiones como ''P implica Q'' donde P y Q pueden ser fórmulas cualesquiera.
El número total de expresiones que puedo poner en los lugares de P y Q son infinitas.
También puede ser que tenga una fobia exagerada contra el infinito.

Otro lugar donde veo el infinito actual es en la ''memoria de la computadora que escribe sentencias''.
Si yo puedo escribir una sentencia de tamaño tan grande como yo quiera, es que tengo memoria suficiente en algún lugar para ''almacenar'' todos esos signos que las forman. Esos lugares quizá ya están presentes intuitivamente en la mente, así como lo está la secuencia de números naturales. Aunque ahora también podría pensar, si quiero, que la ''memoria'' no es algo con una cantidad ''fija'' de ''celdas'', sino que es algo ''ampliable según la necesidad''. En fin...

Pero no quiero cansar más con esto.

Ya que has definido los términos, fórmulas, y todos los elementos del teorema, sería bueno comenzar a discutir la prueba.
Encontré algo así como un ejercicio sobre consistencia de la lógica, en un libro sobre Godel, y que quizá exponga en un próximo post.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 09 Junio, 2009, 07:31 pm
Lo de los infinitos potenciales y actuales me es conocido, y ya me daba cuenta que el infinito que se procura usar es el ''potencial''.
Pero la cuestión es que, en tal caso, cuando se usa una expresión del metalenguaje como por ejemplo 'n|' para indicar que se deben repetir n palotes |||||||||, ese n es un número natural, y no me queda muy claro qué clase de aritmética hay que usar ahí. Ya empiezo a dudar acerca de si puedo usar expresiones como m+n palotes, o dado un número n de palotes, descomponer n en sus factores primos y luego por cada factor primo armar alguna expresión lógica que bla bla...
La aparición del infinito ''actual'' estaría en expresiones como ''P implica Q'' donde P y Q pueden ser fórmulas cualesquiera.
El número total de expresiones que puedo poner en los lugares de P y Q son infinitas.

Hola,

En realidad, en la definición del lenguaje formal nunca se habla de "n palotes" de modo que no se necesita ninguna aritmética previa. Por otra parte, la definición de fórmula debe entenderse como una construcción jerarquizada: en ''P implica Q'', P y Q no son cualesquiera, sino fórmulas construidas en pasos previos.

Acerca de la memoria de la computadora, en efecto se va ampliando según sea necesario. Nunca se supone (ni es necesario suponer) que sea infinta en acto. En general eso sucede con todos los elementos del lenguaje formal: por ejemplo, la variables se agregan a medida que son necesarias, nunca es necesario suponer que todas las variables existen "en acto" a la vez.

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 09 Junio, 2009, 09:59 pm
LauLuna, espero no haberte hecho enojar.

¡En absoluto!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 10 Junio, 2009, 05:01 pm
Hola,

Algunas cuestiones más acerca de la definición del lenguaje formal. En primer lugar, para que la lectura de las fórmulas no se haga humanamente imposible aceptaremos algunas abreviaturas. Ya mencioné antes que usaremos sólo los paréntesis necesarios. Por ejemplo, si siguiéramos al pie de la letra las definiciones deberíamos escribir:

((S(0) + S(S(0))) + S(0))

En lugar de eso escribiremos simplemente:

(S0 + S0) + S0

Usaremos también las siguientes abreviaturas, usuales en lógica:
 
Si \( F \) es una fórmula entonces \( \forall{x_i}F \) será la abreviatura de \( -\exists{x_i}-F \).
Si \( F \) y \( G \) son fórmulas entonces \( F\wedge G \) será una abreviatura de \( -(F\Rightarrow{} -G) \).
Si \( F \) y \( G \) son fórmulas entonces \( F\vee G \) será una abreviatura de \( (-F\Rightarrow{} G) \).

Muchas veces a las variables, en lugar de llamarlas \( x_1 \), \( x_2 \), etc. las llamaremos \( x \), \( y \), etc.

Finalmente, agregamos al lenguaje un símbolo especial, digamos \( \otimes{}  \), que servirá para escribir sucesiones de fórmulas. Formalmente definimos:

1. Si \( F \) es una fórmula entonces \( \otimes{}  \)F\( \otimes{}  \) es una sucesión de fórmulas.
2. Si \( S \) es una sucesión de fórmulas y \( G \) es una fórmula entonces \( SG\otimes{} \) es una fórmula.
3. Toda sucesión de fórmulas se obtiene por aplicaciones sucesivas de las reglas anteriores.

Axiomas lógicos:

Por definición, un axioma lógico es cualquier fórmula que se obtenga de los esquemas siguientes. (Como ya dije en otro mensaje, estos esquemas definen en realidad un algoritmo que permite reconocer, dada una fórmula, si ésta es, o no, un axioma lógico.)

1. \( F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F) \), donde \( F \) y \( G \) son fórmuas cualesquiera.

2. \( F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}H)\Rightarrow{}((F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}H)) \), donde \( F \), \( G \) y \( H \) son fórmuas cualesquiera.

3. \( (-F\Rightarrow{}-G)\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F) \), donde \( F \) y \( G \) son fórmuas cualesquiera.

4. \( \forall{x}F(x)\Rightarrow{}F(x/t) \).
Una explicación aquí: \( x \) respresenta una variable cualquiera y cuando escribimos \( F(x) \) entendemos que \( x \) es una variable libre en F, \( t \) es un término y \( F(x/t) \) es la fómrula que se obtiene reemplazando toda aparición de la variable \( x \) por el término \( t \). Una restricción: si \( t \) tiene variables, ninguna de éstas puede aparecer afectada por un cuantificador al efectuarse el reemplazo.

5. \( \forall{x}(F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}\forall{x}G) \) siempre que \( x \) no aparezca libre en \( F \).

6. \( x = x \), donde \( x \) es una variable cualquiera.

7. \( x = y \Rightarrow{} y = x \), donde \( x \) e \( y \) son variables cualesquiera.

8. \( x = y \Rightarrow{} (y = z\Rightarrow{} x = z) \)

9. \( x = y \Rightarrow{} t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) = t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde \( t \) es un término cualquiera.

10. \( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde \( F \) es una fórmula cualquiera.

Los axiomas 9 y 10 dicen esencialmente que si \( x=y \) entonces podemos reemplazar libremente \( x \) por \( y \).

Los esquemas del 1 al 5 son los axiomas de la lógica primer orden, al agregar los otros se obtiene la lógica de primer orden con igualdad. Éste es el sistema de axiomas que se usa en Gödel \( \forall{} \), hay otros sistemas posibles. De hecho, para facilitar ciertas demostraciones, en el sistema hemos puesto más axiomas de los que realmente son necesarios. Por ejemplo, las fórmulas que corresponden al esquema 8 pueden deducirse de las demás y por lo tanto no es necesario (aunque tampoco es erróneo) incluirlos.

En otro mensaje tocará hablar de las reglas de inferencia.

Saludos!

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 10 Junio, 2009, 09:33 pm
Gustavo,

me pregunto si en los axiomas lógicos para la igualdad 6-10 en lugar de usar metavariables para variables no deberíamos usar metavariables para términos cualesquiera.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Junio, 2009, 12:44 am
me pregunto si en los axiomas lógicos para la igualdad 6-10 en lugar de usar metavariables para variables no deberíamos usar metavariables para términos cualesquiera.

Hola,

Sí, podrían usarse metavriables para términos cualesquiera. Puede probarse (gracias al esquema 9) que si el esquema 10 vale para variables entonces vale también para términos. Pero todo es cuestión de gustos y conveniencia, así como pusimos el esquema 8 (que en realidad es innecesario ya que se deduce de los otros), de la misma forma podríamos haber puesto metavariables que fueran términos.

Saludos,

Gustavo

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 11 Junio, 2009, 03:03 pm
Sí, podrían usarse metavriables para términos cualesquiera. Puede probarse (gracias al esquema 9) que si el esquema 10 vale para variables entonces vale también para términos. Pero todo es cuestión de gustos y conveniencia, así como pusimos el esquema 8 (que en realidad es innecesario ya que se deduce de los otros), de la misma forma podríamos haber puesto metavariables que fueran términos.

En realidad es que depende de la reglas de inferencia. Si vas a incluir la de la Generalización (como es usual), entonces esa regla te permite pasar de las variables a otros términos. Por ejemplo, desde

'x=x'

a

'(para todo x) x=x'

y de ahí a

'0=0'

'S0=S0'

etc.

Lo cierto es que yo estoy más acostumbrado a trabajar con sistemas que sólo usan fórmulas cerradas y por eso no me había dado cuenta de que, probablemente, en el sistema que estás proponiendo bastan las metavariables de variable.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Junio, 2009, 03:55 am
En realidad es que depende de la reglas de inferencia. Si vas a incluir la de la Generalización (como es usual), entonces esa regla te permite pasar de las variables a otros términos.

En efecto, es exactamente así, todo depende de las reglas de inferencia. En nuestro sistema formal usaremos dos reglas de inferencia: (En todo lo que sigue \( P \) y \( Q \) son fórmulas.)

a) Modus ponens: De \( P \) y de \( P\Rightarrow Q \) se deduce \( Q \).
b) Generalización: De \( P \) se deduce \( \forall{x}P \), donde \( x \) es una variable cualquiera.

Una pregunta que puede surgir es: ¿Por qué las reglas de inferencia se toman aparte de los axiomas? ¿No son axiomas acaso? ¿La regla de generalización no puede escribirse como \( P\Rightarrow \forall{x}P \)?   

En principio, la diferencia es que:
a) Un axioma es una fórmula.
b) Una regla de inferencia puede verse como una operación que, dadas ciertas fórmulas, permite generar una fórmula nueva.

Una demostración (veremos en breve) es una sucesión de fórmulas en la que cada una de ellas es, o bien un axioma, o bien es generada por fórmulas anteriores por aplicación de estas operaciones llamadas "reglas de inferencia".

La posible confusión entre axiomas y reglas de inferencia puede provenir de leer las fórmulas apegándose a la interpretación de los símbolos. Cuando leemos \( P\Rightarrow (Q\Rightarrow P) \) (axioma 1), solemos entender que el axioma dice: "De \( P \) puede deducirse \( Q\Rightarrow P \)" o "Si \( P \) es verdadera entonces \( Q\Rightarrow P \) también lo es". En efecto ésa lectura es la que nos permite entender qué dice el axioma y la que nos convence de que es correcto, pero, en el contexto del programa de Hilbert (que es el contexto en el que se da la definición de demostración que mencioné más arriba) la lectura "correcta" de \( P\Rightarrow (Q\Rightarrow P) \) es:

"P flecha paréntesis Q flecha P paréntesis"

Solamente se trabaja a nivel sintáctico, sin interpretar los símbolos. Las reglas de inferencia nos dicen cómo combinar los símbolos para generar nuevas fórmulas.

Creo que sería más claro si en los axiomas en lugar de \( \Rightarrow  \) se usara, por ejemplo, el símbolo \( * \).

De este modo el axioma 1 sería: \( P*(Q*P) \)
Otro axioma sería \( (-P*-Q)*(Q*P) \)

Y el modus ponens diría que si en una demostración aparece \( P \) y \( P*Q \) entonces podemos agregar más adelante la fórmula \( Q \).

Dicho sea de paso, si se agregan como axiomas todas las fórmulas del tipo \( P\Rightarrow \forall{x}P \), donde \( P \) es una fórmula cualquiera y \( x \) es una variable cualquiera, entonces puede usarse el modus ponens como única regla de inferencia.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 12 Junio, 2009, 01:05 pm
Gustavo, permíteme que plantee una cuestión sobre la regla de Generalización.

Así a primera vista parece un tanto arbitraria porque da la impresión de que permite afirmar de todo x lo que antes no habíamos podido afirmar más que de algún término concreto. Por ejemplo, imagina que yo llego a la fórmula

(1)   '0+x = SSS0'

No parece lógico que de ahí pueda pasar a

(2)   '(para todo x) 0+x = SSS0'

De hecho, (2) es falsa en la interpretación estándar de este lenguaje, y desde luego no es un teorema de la aritmética de Peano. Se deduce en seguida que (1) no es un teorema de la aritmética, pero uno se queda pensando cómo garantizan los axiomas y las reglas de inferencia que nunca se vaya a obtener un teorema como (1), es decir, un teorema que junto con Generalización echaría por tierra la consistencia o la corrección de nuestro sistema.

Otra forma de plantear esto es la siguiente. En la lógica pura de primer orden hay una regla semejante a Generalización. La podemos llamar 'introducción del cuantificador universal' (IU), que permite pasar de

'P(t)'

a

'(para todo x) P(x)'.

Pero IU está sometida a restricciones que nos garantizan que 't' representa a un objeto cualquiera o a un objeto arbitrario, de modo que podemos afirmar de todos los objetos aquello que podemos afirmar del objeto designado por 't'. En el sistema que propones, en cambio, Generalización no está sometida a restricción alguna. ¿Qué hay en el sistema que nos garantice que esas restricciones no son necesarias?

Un saludo.
 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Junio, 2009, 01:34 pm
Gustavo, permíteme que plantee una cuestión sobre la regla de Generalización.

Así a primera vista parece un tanto arbitraria porque da la impresión de que permite afirmar de todo x lo que antes no habíamos podido afirmar más que de algún término concreto. Por ejemplo, imagina que yo llego a la fórmula

(1)   '0+x = SSS0'

Hola,

Es que nunca llegarías a demostrar la fórmula '0+x = SSS0' (si como axiomas tomas fórmulas que sean verdaderas para la interpretación usual). Cuando definamos la noción de "verdad" veremos que esta definición se aplica tanto a enunciados como a fórmulas con variables libres y que en este último caso dice que \( P(x) \) es verdadera si y sólo si \( \forall{x}P(x) \) es verdadera.

Esta definición está en línea con el uso habitual del lenguaje matemático. Cuando queremos decir en lenguaje simbólico que la suma es conmutativa habitualmente escribimos \( x + y = y + x \) y muy rara vez \( \forall{x}\forall{y}(x + y = y + x) \).

De hecho, en el esquema lógico 6 puse \( x = x \) y quedó sobreentendido que esto equivalía a \( \forall{x}(x = x) \).

Saludos,

Gustavo

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg90523.html#msg90523)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 12 Junio, 2009, 01:47 pm
Añadir que las reglas de deducción en el sistema formal \( \mathcal{L} \) del cálculo de predicados son:

(1) Modus ponens: De \( \mathcal{A} \) y  \( (\mathcal{A}\rightarrow{\mathcal{B}}) \) se deduce \( \mathcal{B} \) siendo \( \mathcal{A} \) y \( \mathcal{B} \) fórmulas bien formadas cualesquiera de \( \mathcal{L} \).

(2) Generalización: De \( \mathcal{A} \) se deduce \( (\forall{x_i})\mathcal{A} \) siendo \( \mathcal{A} \) cualquier fórmula bien formada de \( \mathcal{L} \) y \( x_i \) cualquier variable.

Junto con los axiomas de \( \mathcal{L} \) hacen que todo teorema de \( \mathcal{L} \) sea fórmula lógicamente válida en cualquier interpretación (por el Teorema de corrección). También que si

\( \mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\ldots,\mathcal{A}_k,\ldots\mathcal{A}_n \)

es una demostración de \( \mathcal{L} \), también lo es:

\( \mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2,\ldots,\mathcal{A}_k \)

Dado que la fórmula \( \mathcal{A}_k \): \( (0+x=SSS0) \) no es verdadera (ni falsa), no puede ser un teorema de \( \mathcal{N} \) suponiendo que este tiene un modelo, con lo cual no existe la hipotética contradicción a la que se refiere Lauluna.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Junio, 2009, 01:51 pm
Lo cierto es que yo estoy más acostumbrado a trabajar con sistemas que sólo usan fórmulas cerradas.

Releo esta frase y comprendo entonces tu "desconfianza" hacia la regla de generalización (que es útil solamente si se trabaja con fórmulas con variables libres). Como dije antes, todo es cuestión de gustos y de conveniencia, se pede trabajar todo el tiempo con enunciados (o fórmulas cerradas) e incluir reglas de sustitución de variables y de términos (o axiomas adecuados que las representen) que permitan pasar, por ejemplo, directamente de \( \forall{x}P(x) \) a \( \forall{y}P(y) \) o bien aceptar entre las fórmulas con valor de verdad a las fórmulas con variables libres (más la regla de generalización) y hacer:

\( \forall{x}P(x) \)
\( \forall{x}P(x)\Rightarrow P(y) \) (axioma lógico)
\( P(y) \) (modus ponens)
\( \forall{y}P(y) \) (generalización)

En realidad, la cuestión de si incluir, o no, a las fórmulas con variabes libres entre aquellas fórmulas que admiten valor de verdad fue tema de reflexión con Guillermo Martínez durante la escritura del libro. Y por el modo en que finalmente definimos la noción de verdad (lo comentaré después) llegamos a la conclusión de que necesitábamos incluir a las fórmulas con variables libres.

dado que la fórmula \( \mathcal{A}_k \): \( (0+x=SSS0) \) no es verdadera (ni falsa), no puede ser un teorema

Todo depende de la definición que se adopte. Según mi definición, la fórmula es falsa para la interpretación usual.

Gracias y saludos a ambos!

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg90593.html#msg90593)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 12 Junio, 2009, 02:06 pm
Todo depende de la definición que se adopte. Según mi definición, la fórmula es falsa para la interpretación usual.

Cierto, lo que hace que \( \mathcal{A}_k:\;(0+x=SSS0) \) no sea un teorema de \( \mathcal{N} \) es que \( \mathcal{A}_k \) no sea verdadera para toda valoración \( v \) en su hipotético modelo \( \mathbb{N} \), independientemente de como se la llame.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 13 Junio, 2009, 12:57 am

2. Si \( F \) es una fórmula y \( x_i \) es una variable entonces \( \exists{x_i}F \) es una fórmula.

Definición: decimos que la variable \( x_i \) tiene una aparición libre en la fórmula \( F \) si esa aparición no está afectada por el cuantificador \( \exists{} \) (es decir, si no está precedida por un \( \exists{x_i} \). En principio omito aquí la definición formal del concepto de variable libre.)


Definición: un enunciado es una fórmula en la que ninguna variable tiene apariciones libres (en particular esto sucede si la fórmula no tiene variables).


Pregunta sobre lo que marqué con rojo:
Voy a considerar a la variable \( x_1 \) por ejemplo, y voy a suponer que tengo una fórmula F.
Por la regla de construcción dada, resulta que \( \exists{x_1}F \) también es una fórmula, a la cual denoto con G.
Si aplico de nuevo la misma regla así como está escrita, con la misma variable \( x_1 \), resulta que \( \exists{x_1}G \) también es una fórmula, a la cual puedo llamar H.
Si ''desenrollo'' un poco la fórmula H, obtengo la fórmula \( \exists{x_1\exists{x_1}}F \).
¿Es lícito formar fórmulas en donde el/un cuanfiticador aparezca dos veces afectando a la misma variable?
¿Y si no, cuál es el modo más sencillo de evitarlo usando las formalidades del caso?


Pregunta sobre lo que marqué con verde:
Cuando una variable no está afectada por el cuantificador existencial, ¿cómo ''conviene'' ser interpretada? ¿Una constante quizás, o qué?
Además, las fórmulas tenemos que imaginarlas en un contexto interesante donde hay muchas otras fórmulas, relaciones entre ellas, inferencias, etc. No termino de comprender el papel que juegan las variables libres en un contexto como este, dentro de la metamatemática. ¿Hay algún riesgo o complicación, o se usan fórmulas con variables libres sin inconvenientes?

Creo que la duda tiene que ver con la última definición que está en púrpura, la de enunciado.
¿Por qué se destacan las fórmulas sin variables libres? ¿Son fórmulas deseables?
¿Las proposiciones lógicas que vamos a aceptar tienen que ser enunciados?

No sé en realidad precisar bien la duda, pero lo puedo resumir así: siento comezón en las fórmulas con variables libres, y no sé cuál es la mejor forma de rascarme.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 13 Junio, 2009, 03:12 am
Pregunta sobre lo que marqué con rojo:
¿Es lícito formar fórmulas en donde el/un cuanfiticador aparezca dos veces afectando a la misma variable?

Sí, es lícito.

Pregunta sobre lo que marqué con verde:
Cuando una variable no está afectada por el cuantificador existencial, ¿cómo ''conviene'' ser interpretada? ¿Una constante quizás, o qué?
Además, las fórmulas tenemos que imaginarlas en un contexto interesante donde hay muchas otras fórmulas, relaciones entre ellas, inferencias, etc. No termino de comprender el papel que juegan las variables libres en un contexto como este, dentro de la metamatemática. ¿Hay algún riesgo o complicación, o se usan fórmulas con variables libres sin inconvenientes?

Creo que la duda tiene que ver con la última definición que está en púrpura, la de enunciado.
¿Por qué se destacan las fórmulas sin variables libres? ¿Son fórmulas deseables?
¿Las proposiciones lógicas que vamos a aceptar tienen que ser enunciados?

No sé en realidad precisar bien la duda, pero lo puedo resumir así: siento comezón en las fórmulas con variables libres, y no sé cuál es la mejor forma de rascarme.

Las fórmulas con variables libres expresan "relaciones" o "propiedades" (más exactamente, expresan conjuntos). Las variables libres actúan como variables en el mismo sentido que se le da al término cuando se trabaja con funciones. De hecho, a las fórmulas con variables libres, Bertrand Russell las llamaba "funciones proposicionales", que tienen un cierto valor de verdad dependiendo de qué valores se asignen a las variables. Por ejemplo \( x + y = 5 \) expresa el conjunto de todos los pares \( (x,y) \) cuya suma es 5 o también la relación "la suma de \( x \) más \( y \) es 5". Una fórmula con variables libres no es verdadera ni falsa en sí misma, depende de qué valores adopten las variables.

Una fórmula sin variables libres (o fórmula cerrada) es en sí misma verdadera o falsa. Ejemplos son "2 + 4 = 10" o \( \exists{x}\exists{y}(x + y = 5) \).

A veces (contradiciendo un poco lo anterior, pero el contexto en cada caso debería servir para evitar confusiones) al escribir axiomas y demostraciones escribiremos fórmulas con variables libres a modo de abreviaturas de enunciados. Por ejemplo, muchas veces escribirermos \( x + y = y + x \) queriendo decir \( \forall{x}\forall{y}(x + y = y + x) \).  No todos adoptan esta práctica (LauLuna ha dicho que él no lo hace). Como ya dije, es cuestión de gustos y conveniencia.

Saludos!

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 13 Junio, 2009, 03:54 am
OK Gustavo, como siempre muy claro.

En cuanto a lo de las fórmulas ''cerradas'', me parece que si algo como x+y=y+x puede dar lugar a cierta ambigüedad (aunque has explicado que no habrá confusión en cada caso), entonces sería mejor evitarlo, y escribir todos los cuantificadores que realmente están presentes en la expresión, sin recurrir a abreviaturas.

Yo tiendo a ser redundante, y hay algunas personas allegadas que me lo critican.
Estoy entre los que prefieren escribir todo el tiempo \( \forall{x}\forall{y}(x + y = y + x) \), aunque resulte algo pesado, en vez de una abreviatura como \( x + y = y + x \).
Y no tanto por el fanatismo de ''lo correcto'', sino que este terreno de la metamatemática da pie para caer fácilmente en ambigüedades y confusiones, sobretodo para quienes estamos poco familiarizados con el tema.
A lo mejor estoy exigiendo lo que es una conveniencia para mí particularmente, porque como he manifestado, todos los pasos que se dan, y todas las construcciones que se hacen me generan dudas.
Como no tengo práctica en el tema, todavía ''siento'' que todo está en el aire, y prefiero la exactitud tanto como sea posible.

Pero está bueno que por lo menos se expliquen y se comenten todas las alternativas que hay dando vueltas por ahí.

Saludos.

P.D.: Lo de cuantificar dos veces la misma variable en una misma fórmula me sigue pareciendo extraño. Pero si está entre las posibilidades que uno puede construir, me la banco.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 13 Junio, 2009, 01:32 pm
Tal como Gustavo dice, yo, al igual que Argentinator, prefiero trabajar con fórmulas cerradas, es decir, con enunciados.

Las fórmulas abiertas no son enunciados o proposiciones en sentido estricto, por tanto, no tienen valor de verdad en sí mismas. Uno se pregunta entonces qué pintan en las deducciones, porque parece que las deducciones deberían partir de enunciados y llegar a enunciados a través de enunciados.

Sin embargo, es una práctica muy extendida la de admitir fórmulas abiertas (es decir, con variables libres) en los sistemas deductivos. Está así en Gödel, en Kleene, más recientemente en Mendelson y en muchísimos otros. Torkel Franzén ('Inexhaustibility. A Non Exhaustive Treatment' AK Peters 2004, un libro muy recomendable para quien desee profundizar en algunos aspectos de la incompletitud de Gödel y esté dispuesto a estudiar en serio) introduce la regla de Generalización de esta manera (p. 103, traduzco y sustituyo símbolos por lenguaje informal):

"Si la fórmula phi es deducible de un conjunto gamma de fórmulas y x no está libre en ninguna fórmula de gamma, entonces '(para todo x) phi(x)' es deducible de gamma."

Y añade:

"Esto está de nuevo de acuerdo con el razonamiento matemático usual. Si queremos deducir a partir de un conjunto M de premisas queparatodo número real x vale A(x), lo hacemos generalmente razonando para un número real r arbitrario que no especificamos y mostrando que A(r) vale. El paso final expresado en la regla de arriba: 'como r era un real arbitrario, se sigue que A(x) vale para todo real x', suele dejarse implícito [en el razonamiento matemático informal, nota de LauLuna]"

Entonces, la función de las variables libres en el curso de las derivaciones formales parece ser la de reproducir el razonamiento para objetos escogidos al azar, por así decirlo. Por eso las variables libres hacen estrecha pareja con la regla de Generalización, según yo lo veo.

De todas maneras, hay que tener en cuenta que los sistemas que permiten trabajar con fórmulas abiertas permiten probar como teoremas fórmulas abiertas (porque nada nos obliga a dar un paso más y aplicar Generalización) y esto parece una imperfección: deducimos fórmulas que no poseen en sí mismas un valor de verdad en la interpretación usual.

En la mayoría de los textos de Lógica Formal, por lo que yo sé, se evita hoy en día el trabajar con fórmulas abiertas. Para el razonamiento sobre objetos arbitrarios de cara a introducir el cuantificador universal se permite pasar de

'P(a)'

donde 'a' es una constante, a

'(para todo x) P(x)'

si 'a' no aparece en las premisas ni en ninguna suposición no cancelada, lo que garantiza que 'a' denota un objeto arbitrario.

Me pregunto si no sería también deseable introducir esta práctica en los sistemas formales matemáticos.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 13 Junio, 2009, 02:07 pm
Las fórmulas abiertas no son enunciados o proposiciones en sentido estricto, por tanto, no tienen valor de verdad en sí mismas.

Algunas formulas abiertas si lo son y otras no. Es precisamente por eso por lo que yo prefiero distinguir entre fórmulas verdaderas, falsas y ni verdaderas ni falsas. Esto es una distinción clara entre los lenguajes \( L \) del cálculo de enunciados y el \( \mathcal{L} \) del cálculo de predicados.

Por supuesto que son las fórmulas cerradas en las que tenemos que hacer especial hincapié pues si son verdaderas en todo modelo de un sistema de primer orden \( S \) son teoremas de \( S \).   

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 13 Junio, 2009, 03:13 pm
Hola,

P.D.: Lo de cuantificar dos veces la misma variable en una misma fórmula me sigue pareciendo extraño. Pero si está entre las posibilidades que uno puede construir, me la banco.

En realidad, el único riesgo es el de ser redundante, ya que, por ejemplo, \( \exists{x}\exists{x}(x = 6) \) es equivalente \( \exists{x}(x = 6) \). Creo que no se ponen reglas especiales para evitar este uso para no complicar innecesariamente las reglas sintácticas del lenguaje, dado que, precisamente, no hay "peligro" en repetir cuantificadores. Sin embargo, no habría ningún cambio esencial en poner reglas que lo eviten.

Por otra parte, considerando el consenso favorable a evitar el uso de fórmulas abiertas para indicar enunciados, no tengo problemas en adoptar esa convención (que, admito, tiende a evitar confusiones). A partir de ahora, entonces, las fórmulas abiertas denotarán siempre relaciones (o funciones proposicionales, término que usaba Ruseell, hoy en desuso, pero que a mí me parece muy descriptivo) y las cerradas, enunciados.

Modificaremos entonces los esquemas lógicos 6, 7 y 8. El 6 ahora dirá: \( \forall{x}(x = x) \), análogamente se modifican el 7 y el 8. El esquema lógico 4 puede dar lugar a fórmulas no cerradas, pero esto no es problema (véanse las definiciones de más abajo).

Supongamos ahora que se propone un conjunto A de axiomas para la Aritmética, es decir, un conjunto de enunciados escritos en el lenguaje formal. (Normalmente, nos interesarán sólo los conjuntos recursivos de axiomas, los cuales están definidos a través de un programa. En la práctica, este programa, a su vez, suele tener la forma de un conjunto finito de esquemas, similar al que dimos para los axiomas lógicos.)

Tenemos así axiomas lógicos y axiomas propios de la teoría (estos últimos son los axiomas del conjunto A, la distinción es la misma que la que hacía Euclides entre nociones comunes y postulados). Podemos dar la siguiente definición:

Definición: una demostración es una sucesión finita de fórmulas en la que cada una de ellas es, o bien un axioma (propio o lógico), o bien se dedude de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia.

Definición: una fórmula es demostrable si es la última fórmula en una demostración.

Es cierto, como dice LauLuna, que el esquema lógico 4 permite que haya fórmulas abiertas demostrables (no estamos obligados a usar la regla de generalización para agregar los cuantificadores que faltan). Una forma de lograr que esta circunstancia no complique el desarrollo de las ideas es la siguiente:

Definición: una fórmula es demostrable si es la última fórmula en una demostración y es un teorema si es un enunciado demostrable.

Admito que es una definición que acabo de sacarme de la manga, no sé si esta distinción entre "fórmulas demostrables" y "teoremas" existe en la literatura (donde, normalmente, ambas expresiones se toman como sinónimos). Propongo la distinción como modo de compatibilizar las reglas que hasta ahora hemos venido consensuando con el hecho de que sólo los enunciados representen expresiones con valor de verdad.

Me parece que, en este caso, la distinción, lejos de crear confusiones, puede ser útil y, de paso, reserva la palabra "mágica" teorema sólo para los enunciados.

Saludos!

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 13 Junio, 2009, 05:02 pm
Definición: Un conjunto A de axiomas es recursivo si existe un algoritmo (que trabaja a nivel sintáctico, es decir, solamente manipula signos sin tomar en cuenta su eventual significado) que, dada una secuencia finita símbolos del lenguaje, reconoce si esa secuencia constituye, o no, un axioma.

Los axiomas lógicos forman un conjunto recursivo.

Teorema: Si el conjunto A de axiomas propios es recursivo entonces existe un algoritmo que, dada una secuencia de símbolos del lenguaje, reconoce si esa secuencia constituye, o no, una demostración.

Este teorema es esencial en todo el desarrollo posterior. Es posible tomar un conjunto diferente de axiomas lógicos o diferentes reglas de inferencia, pero estas modificaciones no deben alterra la verdad de este teorema, que está en el corazón mismo del Programa de Hilbert.

Comenté antes que si se agregara la siguiente regla de inferencia:

De los infinitos enunciados \( P(0), P(1), P(2),... \) se deduce \( \forall{x}P(x) \).

Entonces el teorema anterior sería falso y también sería falso el teorema de Gödel.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 13 Junio, 2009, 05:13 pm
Aprovecho esto último que has introducido para meter un bocadillo sobre algoritmos y programas.

Me gustaría poner a prueba todo esto en un programa real de computadora.
Pero no sé qué tipo de lenguaje de programación es el "correcto", o cuáles detalles dentro del lenguaje son las que deben usarse y cuáles no.
Estaba pensando en usar Python, por ejemplo, que permite trabajar con listas de longitud que crece tanto como uno necesita.
El lenguaje C admite ingresar listas de signos como arrays de caracteres, pero el problema es que debo especificar un tamaño máximo fijo del array.
Así que habría que usar listas enlazadas, o bien ir a C++ y usar los arrays de tamaño dinámico.

Pero si empiezo a usar herramientas cada vez más potentes, o lenguajes de más alto nivel, comienza a oscurecerse lo que estoy realmente haciendo a nivel de la ''máquina'', y así no sé si estoy aún dentro de los límites en los que debo permanecer para no salirme de la teoría.

Pero para experimentar un poco, no estaría mal usar un lenguaje de alto nivel, al menos para ver qué está pasando.

¿Alguna recomendación?

(No he pedido una definición de ''máquina'' o de ''lenguaje de programación'' o de ''programa'' o de "algoritmo", porque sospecho que la cosa puede complicarse y alejarnos demasiado del tema, pero en realidad eso es lo que me gustaría tener claro)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 13 Junio, 2009, 06:11 pm
Es posible que me equivoque.

Pero me da la impresión de que demostraciones como la del teorema de Gödel y el "halting problem" de Turing, bueno, son demostraciones que utilizan el método diagonal de Cantor, y que se refieren a conjuntos infinitos. De hecho, el "halting problem" (el problema de la parada de máquina de Turing) nos dice que no hay ningún método para decidir si un programa de ordenador se pierde en un bucle infinito.

Como los programas reales sólo pueden hacer cálculos con conjuntos finitos, me da la impresión de que el teorema de Gödel o el problema de la parada no debe de ser fácil de programar en un ordenador.

pero bueno. doctores tiene la Iglesia, y seguro que otros foreros  podran explicar este punto infinitamente mejor que yo.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 13 Junio, 2009, 06:28 pm





(No he pedido una definición de ''máquina'' o de ''lenguaje de programación'' o de ''programa'' o de "algoritmo", porque sospecho que la cosa puede complicarse y alejarnos demasiado del tema, pero en realidad eso es lo que me gustaría tener claro)


Esto no es ningún problema. Existe una definición estandar de algoritmo que se debe a Church y a Turing.

Incluso existen distintos tipos de funciones computables: recursivas primitivas, recursivas totales, recursivas parciales.

Estos temas bienen bien explicados, por ejemplo,  en "Teoría de la computación" de Brookshear y en "Computability" de Cutland.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 13 Junio, 2009, 06:35 pm
De acuerdo Numerarius, el teorema de godel por sí mismo a lo mejor no pueda abarcarse en un programa de computadora, pero lo que yo deseo poner a prueba son las definiciones básicas de ''expresiones'', ''axioma'', ''demostración'', etc.
Si yo ingreso una cadena de caracteres finita, podré determinar en un número finito de pasos si es una expresión válida, un término, una fórmula, un axioma, etc.

Además, ¿cómo es posible estar hablando todo el tiempo de algoritmos, de programas de computadora, y no poder hacer ni un solo programa?
Hay ''porciones'' de todo este asunto que seguramente se pueden programar en la PC sin dificultad. Son algoritmos del tipo de reconocimiento sintáctico, que estoy seguro que te sabés de memoria.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 13 Junio, 2009, 06:52 pm

Hay ''porciones'' de todo este asunto que seguramente se pueden programar en la PC sin dificultad. Son algoritmos del tipo de reconocimiento sintáctico, que estoy seguro que te sabés de memoria.



Sí, desde luego. Hay autómatas que sí. Por ejemplo, un autómata finito, no tendría mucha dificultad en ser programado en un ordenador.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 14 Junio, 2009, 12:37 am
Numerarius, no sé si estamos hablando de lo mismo. Me imagino lo que es un autómata finito, pero no estoy seguro de lo que significa con toda exactitud.

Deseo poder expresar algoritmos ''finitarios'' en la PC, asumiendo que la memoria de la computadora puede crecer tanto como sea necesario.
La memoria RAM de una PC es de tamaño fijo, pero puedo pensar que ingreso los datos a través de un dispositivo de almacenamiento externo, como una colección de cintas o discos externos.
Si yo puedo colocar cintas o discos en serie, de modo que la capacidad de almacenamiento de datos vaya creciendo a voluntad, creo que puedo decir que mi ''máquina'' trabaja con longitud de datos potencialmente infinita, tan grande de finita como yo quiera
Tan sólo hay que lograr que la máquina que uno usa sea capaz de reconocer sin problemas que se ha agregado una nueva cinta o disco.
O sea, creo que es posible construir el símil de una máquina con memoria no acotada. ¿No es eso una máquina de Turing?
La cota real me la pondría el Universo mismo, si es que no dispongo de materia suficiente para crear más allá de \( 10^{80} \) discos duros... Pero eso no importaría mucho, porque sería una limitación de hardware y no de software: la máquina estaría configurada lógicamente para aceptar que se pueda agregar siempre un dispositivo más a la cadena en serie de cintas o discos, y se podría acceder secuencialente a ellos con la misma lógica de una lista enlazada.

El siguiente algoritmo en lenguaje C permite reconocer si un string de longitud desconocida, es o no es una expresión de un cierto lenguaje cuyos signos pertenecen al conjunto \( L = \{(,),\exists{},\Rightarrow{},-,=,x,|,0,S,+,\cdot\} \), que son los símbolos que eligió Gustavo:
Código: [Seleccionar]
#define bool unsigned int
#define false 0
#define true 1

bool is_in_L(char c)
{
  #define MAX 10
  const char L[MAX] = "()E*-=0S+."; /* Son los signos de L, y he puesto * para indicar 'flecha'. */
  unsigned short int i;
  
  for (i = 0; (i < MAX) && (c != L[i]); i++)
    ;
  if (i == MAX) return true;
  else return false;
}

bool is_in_language(char *s)
{
  /* La longitud de la cadena s es arbitrario, y en esta subrutina no hace falta especificar cotas */

  while((*s != 0) && is_in_L(*s)) /* Se usa la convención de que una cadena en C termina en su primer caracter nulo */
     ;  
   if (*s == 0) return true;   /* Si terminó la búsqueda tras el último caracter, es que s pertenece al lenguaje */
   else return false;
}

En el código que puse, se habrá notado que la función de reconocimiento no es capaz de darse cuenta si s es una cadena con longitud finita. Eso sería un problema, porque si se introduce una cadena s errónea, el programa podría no terminar.
Yo digo que esto se puede solucionar cambiando el tipo de datos char* por el de un FILE*, o sea, un archivo (de texto), ya que sabemos que los archivos ya tienen longitud finita desde el sistema operativo.
Una forma menos ''sucia'' de solucionar esto, sería irse a C++ y crear una class llamada STRING, que obligue al usuario a inicializarla en "", o sea vacía, y que el único modo de hacerla crecer sea agregando un caracter de uno en uno.
Tendríamos así un tipo de datos controlado, siempre de longitud finita, y que podría crecer tanto como haga falta.
O bien usar MATLAB o Python y aprovechar que ya tienen un manejo de listas. Un string sería una lista de caracteres, y el tamaño podría ser tan grande como haga falta.

Las subrutinas para reconocer fórmulas, enunciados, etc., podrían programarse con una filosofía similar en una computadora comùn y corriente, pudiendo tratar expresiones de tamaño finito aunque arbitrariamente grande.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 14 Junio, 2009, 01:03 am

Si yo puedo colocar cintas o discos en serie, de modo que la capacidad de almacenamiento de datos vaya creciendo a voluntad, creo que puedo decir que mi ''máquina'' trabaja con longitud de datos potencialmente infinita, tan grande  de finita como yo quiera
Tan sólo hay que lograr que la máquina que uno usa sea capaz de reconocer sin problemas que se ha agregado una nueva cinta o disco.
O sea, creo que es posible construir el símil de una máquina con memoria no acotada. ¿No es eso una máquina de Turing?
La cota real me la pondría el Universo mismo, si es que no dispongo de materia suficiente para crear más allá de [10^{80}] discos duros... Pero eso no importaría mucho, porque sería una limitación de hardware y no de software: la máquina estaría configurada lógicamente para aceptar que se pueda agregar siempre un dispositivo más a la cadena en serie de cintas o discos, y se podría acceder secuencialente a ellos con la misma lógica de una lista enlazada.







Bueno, hay determinados problemas que (al menos, por un procedimiento de fuerza bruta) no podrían decidirse con una memoria finita. o con métodos finitistas.

1) la conjetura Goldbach

2) decidir si en la expansión decimal de Pi existen n 7s seguidos.

En pura teoría, una máquina de Turing, con una cinta infinita, podría seguir funcionando durante toda la eternidad. (desde luego, esto es una idealización. Pero es que el concepto de máquina de Turing es un concepto ideal. desde luego, la memoria de un ordenador real tiene un límite).

Es una discusión interesante...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 14 Junio, 2009, 02:02 am
Entonces puede ser que lo que estoy proponiendo no es una máquina de Turing.
Si la máquina de Turing es una máquina que puede escribir en una cinta ideal infinita... entonces lo que digo es que hablemos de una máquina que está configurada para aceptar una cinta siempre finita pero expandible tanto como se quiera.
Suponer de entrada una cinta infinita para que Mr. Turing escriba todo lo que tenga ganas no es necesario.
Por lo que he visto por ahí, los programas que se le ponen a una Maquina de Turing son finitos, y proceden avanzando y escribiendo siempre por los ''casilleros'' de la ''cinta ideal'' pero tan solo de uno en uno a la vez. 
Si supongo de entrada una cinta infinita, estoy asumiendo un infinito ''actual'',
y por lo que veo, eso es lo que se trata de evitar en el Teorema de Godel, y en toda la metamatemática.
Así que la ''máquina'' tendría que escribir en una cinta ''potencialmente infinita'', o sea finita pero ampliable sin límite.
¿Sigue siendo eso una máquina de Turing?

No quiero desviarme mucho más del tema central, tan sólo deseaba una sugerencia de cómo programar correctamente una rutina de verificación de fórmulas y demostraciones en una PC, manteniendo en todo lo posible las formalidades de la metamatemática.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 14 Junio, 2009, 02:13 am
Así que la ''máquina'' tendría que escribir en una cinta ''potencialmente infinita'', o sea finita pero ampliable sin límite.
¿Sigue siendo eso una máquina de Turing?

Las máquinas de Turing, por definición, tienen una cinta potencialmente infinita. Los programas tienen una cantidad finita de instrucciones, cada una de una longitud finita y las entradas son siempre de longitud finita. La salida, si la hay, es finita. Cierto es que a veces una máquina puede entrar en un cómputo infinito, pero mejor sería decir, en un cómputo que nunca termina.

(Es cierto que en su metamatemática Hilbert buscaba evitar todo uso del infinito actual, esto era esencial para sus objetivos.)

Saludos.

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg90720.html#msg90720)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 14 Junio, 2009, 04:48 am
La implementación de una máquina de Turing no tiene por qué ser una computadora propiamente dicha.
Puede ser un sistema operativo bien diseñado, un entorno de programación adecuado, etc.
Creo que la Máquina Virtual Java es un ambiente que sirve como simil de máquina de Turing, ya que las limitaciones del Hardware se ''ocultan'' al programador. El programador cree que puede disponer de tanta memoria como le haga falta, y la máquina virtual se las arregla para ir consiguiendo recursos a medida que hacen falta.
Si la computación se concentrara en este problema, creo que hallaría una salida satisfactoria de diseño Turinguesco, incluso a nivel de Hardware, haciendo que las máquinas acepten conceptualmente tantos dispositivos como hagan falta.
Es una cuestión de diseño.

Si pensamos en memoria de una máquina de Turing como memoria RAM, se acaba el cuento, porque es finita y no crece.
Pero pensada de otra forma, con un diseño más flexible, puede implementarse en la vida real, no sólo como algo ideal.
¿No?...  ;D

(corregí lo de la palabra Java, que antes no se entendía que habia querido poner)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 14 Junio, 2009, 12:07 pm
Como los programas reales sólo pueden hacer cálculos con conjuntos finitos, me da la impresión de que el teorema de Gödel o el problema de la parada no debe de ser fácil de programar en un ordenador.

No sé exactamente lo que quieres decir con lo de cálculos con conjuntos finitos, pero por lo que entiendo, no es correcto. Claramente hay programas que deciden si un número natural es primo, y lo hacen para todo número natural. Como esto es muy evidente, imagino que no te he entendido bien.

No puedo juzgar sobre si es o no fácil programar un ordenador para que demuestre el teorema de Gödel pero desde luego es posible. Todo sistema formal axiomático puede convertirse en un algoritmo que genera teoremas, y siempre es posible introducir (parte de) la metateoría del sistema en otro sistema formal axiomático.

En concreto, el sistema formal que Gustavo Piñeiro está construyendo (al que sólo le faltan ya, creo, los axiomas aritméticos) será capaz de demostrar una fórmula equivalente, bajo la interpretación usual, al primer teorema de incompletitud de Gödel:

"si el sistema es consistente, hay enunciados de su lenguaje indecidibles en el sistema'

Así que si Argentinator se empeña en convertir el sistema en un algoritmo generador de teoremas, lo conseguirá tarde o temprano.

Gustavo, quedamos en que llamamos teoremas sólo a los enunciados demostrables. Bien, casi mejor; esto no altera nada pero es posible que haya que recordarlo luego a lo largo de la demostración.

Un saludo


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 14 Junio, 2009, 02:47 pm
Como los programas reales sólo pueden hacer cálculos con conjuntos finitos, me da la impresión de que el teorema de Gödel o el problema de la parada no debe de ser fácil de programar en un ordenador.

No sé exactamente lo que quieres decir con lo de cálculos con conjuntos finitos, pero por lo que entiendo, no es correcto. Claramente hay programas que deciden si un número natural es primo, y lo hacen para todo número natural. Como esto es muy evidente, imagino que no te he entendido bien.


Bueno, el conjunto de los números primos es recursivamente enumerable. Así que, en teoría se podría demosrtrar la propiedad"ser primo" para cualquier número natural.

Pero a lo que me refería es a lo siguiente: para demosrar que existen infinitos números primos, no recorres toda la serie  de los números naturales. Porque el conjunto N es infinito. Así que, por muchos números que recorra el computador, sólo habrás recorrido una parte infinitesimal de los números naturales.

Así que la exstencia de infinitos números primos, se demuestra matemáticamente. La demostración de Euclides era que dados todos los números primos: (1·2·3....n) se construye el número:

x= (1·2·3....·n) + 1. Número que no es divisible por 1, por 2, por 3....ni por n. Así que o x es primo, o existe un número primo entre n y x. 

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 14 Junio, 2009, 02:56 pm
argentinator, supongo que sí puede haber un programa que decida, para cadenas finitas, si éstas son teoremas o no. También podría haber un programa que decida si son fórmulas bien formadas o no.

Por ejemplo, esta proposición

\( \exists x \;x= 0 \)

podría ser un teorema (si es que es demostrable en el sistema). En cambio:

\( p\land \lnot\; p \)

Una proposición como ésta es falsa, así que no sería demostrable como teorema  en el sistema, a no ser que el sistema fuera inconsistente. Sin embargo, es una proposición bien formada. Una proposición falsa puede estar bien formada.

En cambio la proposición

(((((((((((((((((((((((((((((8

no está bien formada.
 


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 14 Junio, 2009, 03:48 pm
supongo que sí puede haber un programa que decida, para cadenas finitas, si éstas son teoremas o no.

No siempre es así, depende de cada teoría. Si los axiomas forman un conjunto recursivo entonces existe un algoritmo que determina si una sucesión finita de signos es una fórmula y si una sucesión finita de fórmulas es una demostración. Pero no necesariamente sucede lo mismo con los teoremas. (Dicho en términos técnicos, los teoremas forman un conjunto recursivamente numerable, pero no siempre un conjunto recursivo. Es decir, existe un algoritmo que va generando los teoremas "uno por uno", pero no necesariamente uno que los "reconozca".)

Gustavo, quedamos en que llamamos teoremas sólo a los enunciados demostrables. Bien, casi mejor; esto no altera nada pero es posible que haya que recordarlo luego a lo largo de la demostración.

Si es necesario, lo recordaremos.

Un saludo,
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 14 Junio, 2009, 03:57 pm
Algunas definiciones:

Definición: Un conjunto de axiomas es consistente si no existe una fórmula \( P \) tal que \( P \) y \( -P \) sean a la vez demostrables.

Puede probarse que si un conjunto de axiomas no es consistente entonces toda fórmula \( Q \) es demostrable. Esto se debe, básicamente, al hecho de que cualesquiera sean \( P \) y \( Q \), la fórmula \( P\Rightarrow (-P\Rightarrow Q) \) es demostrable.

En un sistema inconsistente todo es demostrable y todo es refutable (refutable significa que su negación sea demostrable). Los sistemas inconsistentes son triviales en el peor sentido de la palabra.

Definición: Un conjunto de axiomas es \( \omega  \)-consistente si no existe una fórmula \( P(x) \) tal que \( P(0) \), \( P(1) \), \( P(2) \),... y \( \exists{x}(-P(x)) \) sean a la vez demostrables.

Aunque la segunda definición involucra un infinito actual, es importante destacar que ambas sólo utilizan conceptos sintácticos (que dependen de manipulaciones de signos, independientemente de su significado).

Es fácil probar que todo conjunto \( \omega  \)-consistente es también consistente, sin embargo no vale la recíproca (podremos dar un  contraejemplo después de demostrar el teorema de Gödel).

Si agregamos la regla de inferencia no finitaria que cité en un comentario anterior (y que invalida el teorema de Gödel) en ese caso sí valdría que todo conjunto consistente es también \( \omega  \)-consistente.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 15 Junio, 2009, 08:36 pm
Definición: Un conjunto de axiomas es consistente si no existe una fórmula \( P \) tal que \( P \) y \( -P \) sean a la vez demostrables.

Hay un problema con esta definición: la fórmula esa que no debe existir no sabemos exactamente qué relación tiene con el conjunto de axiomas. Deberíamos decir que no existe una fórmula tal que ella y su negación son consecuencias lógicas del conjunto de axiomas. Pero para eso tendríamos que definir 'consecuencia lógica', y tal vez eso no sea necesario.

Quizá sería mejor decir que no existe una fórmula tal que ella y su negación son demostrables en el sistema, pero entonces deberíamos hablar de cuándo es consistente un sistema, no un conjunto de axiomas.

Gustavo, ¿hay alguna razón por la que prefieras hablar de la consistencia de un conjunto de axiomas mejor que de la consistencia de un sistema?

Sucede lo mismo para la definición de omega-consistencia.

Un saludo.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 15 Junio, 2009, 08:53 pm
Definición: Un conjunto de axiomas es consistente si no existe una fórmula \( P \) tal que \( P \) y \( -P \) sean a la vez demostrables.

Hay un problema con esta definición: la fórmula esa que no debe existir no sabemos exactamente qué relación tiene con el conjunto de axiomas.

En realidad sí lo sabemos, porque ya definimos qué quiere decir que una fórmula sea demostrable:

Definición: una demostración es una sucesión finita de fórmulas en la que cada una de ellas es, o bien un axioma (propio o lógico), o bien se dedude de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia.

Definición: una fórmula es demostrable si es la última fórmula en una demostración.


Por otra parte (no encuentro ahora la cita) también dije que usaríamos "conjunto de axiomas" y "sistema de axiomas" como sinóinimos.

Si mis formalismos llevan a confusión, realmente no tengo ningún inconveniente en ceder esta tarea de desarrollarlos a quien desee tomarla. No tiene más que "levantar la mano" y yo gustosamente le cederé mi puesto en esta especie de "estrado virtual" en el que siento que me hallo. :)

Saludos,

Gustavo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 15 Junio, 2009, 08:55 pm

Si mis formalismos llevan a confusión, realmente no tengo ningún inconveniente en ceder esta tarea de desarrollarlos a quien desee tomarla. No tiene más que "levantar la mano" y yo gustosamente le cederé mi puesto en esta especie de "estrado virtual" en el que siento que me hallo. :)



¡No! ¡No cambiemos ahora de chivo expiatorio!  >:D
Si cambiamos mucho las cosas se va a armar una confusión terrible.
Creo que basta conque nos pongamos de acuerdo en el significado de los formalismos que se van a usar.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 15 Junio, 2009, 09:49 pm
Hice antes unas preguntas, pero las cambio de lugar para que no se mezclen tanto las cosas:


Axiomas lógicos:
...
Por definición, un axioma lógico es cualquier fórmula que ...
...
4. \( \forall{x}F(x)\Rightarrow{}F(x/t) \).
Una explicación aquí: \( x \) respresenta una variable cualquiera y cuando escribimos \( F(x) \) entendemos que \( x \) es una variable libre en F, \( t \) es un término y \( F(x/t) \) es la fómrula que se obtiene reemplazando toda aparición de la variable \( x \) por el término \( t \). Una restricción: si \( t \) tiene variables, ninguna de éstas puede aparecer afectada por un cuantificador al efectuarse el reemplazo.

Hola.

No me queda muy claro todo esto.
Es claro que la regla es ''reemplazar x por t'', pero no entiendo bien qué pasa con los eventuales cuantificadores.

1er pregunta: Se ha establecido que todo término contiene constantes o variables. En particular x es una variable. ¿Qué pasa si deseo reemplazar x por t, cuando t es un término que ''adentro'' contiene a la misma x?
¿No es esto algo mal definido, no queda algo recurrente e infinito, como producto de reemplazos sin fin?

2da pregunta: En cuanto a la restricción de los cuantificadores...
Si t es un término, es una lista de signos en la que no figura el signo de cuantificación \( \exists{} \).
Así que si pido que las variables que figuran en t no estén afectadas por cuantificadores, entiendo que esos cuantificadores son ''externos'' a t. Así que imagino que se refiere a cuantificadores que podrían aparecer dentro de F.
¿Pero qué significa exactamente la restricción?
Lo que entiendo es que ''una vez efectuado el reemplazo de x por t no debe quedar ninguna variable en t afectada por un cuantificador de los que había en F''.
Creo que lo entiendo, pero aún así no lo veo muy claro.

Una cuestión filosófica:
Para decidir si una expresión es un término o no lo es, tengo que rechazar por ejemplo las expresiones que tengan cuantificadores.
Cuando se da la definición de término, está bien, se hace de modo constructivo.
Pero ¿qué pasa si me dan una expresión t cualquiera, y debo determinar si es o no un término?
Para probarlo, debo pasar uno a uno por sus signos, y si encuentro un símbolo que no corresponde a constantes o variables o paréntesis, concluir que t no es un término.
Sin embargo, no estoy seguro de si la propiedad de ''no ser un término'' forma parte de las reglas que definen lo que es un término.
Me refiero a que yo me doy cuenta con mi propia razón que una expresión no es un término, pero no estoy seguro de si esto se deduce propiamente de las reglas dadas, las cuales se dan en ''positivo'' (o sea, para afirmar cuándo tengo un término), pero no en negativo (cuando deseo probar que algo no es un término).

No sé si entiende esta última duda, o si es demasiado quisquilloso de mi parte.
Pero es que no quiero usar ''razonamientos'' que no están estipulados en el conjunto de reglas que se han aceptado hasta ahora.
No creo que haya hechos que pueda dar por sobreentendidos, porque a la larga puede ser fuente de falacias.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 15 Junio, 2009, 11:44 pm
Comenté antes que si se agregara la siguiente regla de inferencia:

De los infinitos enunciados \( P(0), P(1), P(2),... \) se deduce \( \forall{x}P(x) \).

Entonces el teorema anterior sería falso y también sería falso el teorema de Gödel.

Me parece que acá hay cosas que no estoy entendiendo.

Cuando hablás de P(0), P(1), P(2), ¿los números 0, 1, 2, qué vendrían a ser: acaso 0, S0, SS0, etc.?
En todo caso, si tengo una proposición P, con una variable x, parece que entiendo lo que significa P(x).
Según lo que se ha estado hablando, sería una fórmula en la cual aparece la variable x en forma libre.
Ahora por el axioma de reemplazo, para 0, 1, 2, etc., tendría que P(0), P(1), P(2), etc., tienen sentido.
Pero en lugar de x pueden ir cosas como (s+t), (s.t), donde s y t son términos que incluyen variables, constantes, etc.
Me da la sensación de que me está faltando algo, o sobrando. Por ejemplo, no sé qué hacer con P(3+4), mientras aún no sé que 3+4 es 7.

¿Faltan axiomas aritméticos tal vez?

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 16 Junio, 2009, 12:28 am
Si mis formalismos llevan a confusión, realmente no tengo ningún inconveniente en ceder esta tarea de desarrollarlos a quien desee tomarla. No tiene más que "levantar la mano" y yo gustosamente le cederé mi puesto en esta especie de "estrado virtual" en el que siento que me hallo. :)

No, de ningún modo me parece eso recomendable. Creo que vamos muy bien.

Si habías definido 'conjunto axiomas' y 'sistema de axiomas' como sinónimos, entonces pido perdón, no lo recordaba. Tal vez convendría haber dicho algo así como 'si no hay una fórmula P tal que P y no -P sean demostrables en el conjunto de axiomas'; es la ausencia de la palabra 'demostrables' la que me ha confundido un poco.

Pero todo está claro ahora.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 16 Junio, 2009, 12:32 am
Los cito a ambos, a ver si se amigan.

Argentinator, técnicamente (en Teoría de Modelos) una teoría es un conjunto C de sentencias en un lenguaje lógico formal con la condición de que C esté cerrado bajo la relación de consecuencia lógica: para todo p y q, si p pertenece a C y q es consecuencia lógica de p, q pertenece a C.

Pero en un sentido más amplio es usual llamar también teorías a los sistemas formales axiomáticos. En algunos de estos sistemas el conjunto de los teoremas es efectivamente una teoría, particularmente en los sistemas de primer orden: como la lógica de primer orden es completa (Gödel 1930), toda consecuencia lógica de los axiomas es también un teorema del sistema. Pero en algunos de ellos, como la aritmética de Peano de segundo orden, el conjunto de los teoremas no es una teoría en el sentido más estricto, porque no toda consecuencia lógica de los axiomas es un teorema.

Como sabes, los sistemas formales axiomáticos están compuestos por axiomas o esquemas axiomáticos y reglas de inferencia.

(Cuando digo sistema es que incluyo a las reglas de inferencia, si éstas son fijadas de antemano, como habitualmente se hace, entonces "sistema de axiomas" y "conjunto de axiomas" son virtualmente sinónimos).

Parece que en sistema se incluyen las reglas de inferencia.
Yo no había notado que había dos cosas distintas.
Por ahora para mí las reglas y axiomas que ha enumerado Gustavo son ''EL'' sistema.  ;)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 16 Junio, 2009, 03:42 am
Me voy a contestar yo solo algunas cosas.


1er pregunta:  ¿Qué pasa si deseo reemplazar x por t, cuando t es un término que ''adentro'' contiene a la misma x?
¿No es esto algo mal definido, no queda algo recurrente e infinito, como producto de reemplazos sin fin?


Estudiando el asunto me doy cuenta que caí en la trampa de mi propia estupidez.
Si uno reemplaza una variable por un término, se sigue obteniendo una fórmula sin problema alguno, y si en el reemplazo de x por t resulta que dentro de t figura la misma x, como por ejemplo, si t es el término (x+S(z)).(x.y) no parece haber ningún contrasentido en lo que queda tras el reemplazo de F(x) por F(t).

En todo caso, lo que uno puede apreciar es que el Axioma de Reemplazo dice más de lo que puede percibirse a simple vista, y que no está de más reflexionar cuán extravagante y general puede ser el ''reemplazo'' que se vaya a hacer con cierto término t.

2da pregunta: En cuanto a la restricción de los cuantificadores (en el axioma de reemplazo)...

Me estuve fijando en el libro de Martínez/Piñeiro, y los axiomas están del mismo modo en que Gustavo los ha introducido acá en el foro. En cuanto al Axioma de Reemplazo ya me queda más claro cómo se debe restringir el término t:
En la fórmula F(x) (libre en x) pueden aparecer ciertas variables \( z_1,...,z_m \) afectadas por cuantificadores.
Ninguna de esas variables debe figurar en t.
Es lo mismo que ha dicho Gustavo, pero hasta que no lo escribo yo mismo parece que no me convenzo.

Las dudas que expuse a continuación, esas aún no las he aclarado por mi cuenta.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 16 Junio, 2009, 10:53 am
Las dudas que expuse a continuación, esas aún no las he aclarado por mi cuenta.

Creo que preguntabas si el conjunto de los términos es recursivo, es decir, si hay un algoritmo que, dada una cadena de símbolos del lenguaje, decida si esa cadena es o no un término.

Sí, si es recursivo. Hay una manera de examinar los símbolos de una cadena uno a uno para decidir si una cadena responde o no a las reglas de formación de términos. Es posible decidir si la cadena es o no un término con un solo símbolo, es decir, una variable ó 0. Es posible decidir (en un número finito de pasos) si la cadena es de la forma St, t+t', txt', donde t y t' son términos.

El hecho de que determinados conjuntos de fórmulas del sistema (el de los términos, el de las variables, el de los enunciados, el de los axiomas, ...) sean recursivos será luego una pieza clave en la demostración del teorema.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 16 Junio, 2009, 09:01 pm
Tal vez convendría haber dicho algo así como 'si no hay una fórmula P tal que P y no -P sean demostrables en el conjunto de axiomas'; es la ausencia de la palabra 'demostrables' la que me ha confundido un poco.

Sin embargo...

Definición: Un conjunto de axiomas es consistente si no existe una fórmula \( P \) tal que \( P \) y \( -P \) sean a la vez demostrables.

..la palabra "demostrables" estaba allí, tan campante al final de la definición. ;)

Otra definición, que faltó en la lista anterior:

Definición: Un conjunto (o un sistema) de axiomas es completo si para todo enunciado \( P \) sucede que, o bien \( P \), o bien \( -P \), es demostrable.

Todo sistema inconsistente es trivialmente completo, pero no es ésa una completitud deseable.

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg90904.html#msg90904)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 16 Junio, 2009, 09:17 pm
Vuelvo a tener dudas sobre el Axioma de Reemplazo.
¿No permite reemplazos demasiado arriesgados o generales?
Durante largo tiempo creí que se usaba para reemplazar una variable por una constante, o un ''calculito'' que involucra sólo constantes.
Pero el hecho de que se admitan también variables en el reemplazo, me parece extraño, con peligro de caer en alguna incoherencia, aunque no veo en realidad ninguna todavía...

Pasando a otra cosa.
Gustavo, en vuestro libro veo que ahora deberían seguir los axiomas de primer orden de la aritmética y la definición de recursiva de verdad, en ese orden.
¿Se puede dar una noción de verdad sin haber dado antes los axiomas de la aritmética?
Pregunto, porque veo que en la definición de verdad se usan numerales, y me cuesta aceptar que la noción de verdad dependa de la aritmética.

Tampoco entiendo bien el papel que los numerales juegan en todo esto.
Estuve leyendo el libro de "Nagel y Newman, El Teorema de Godel", y hace una distinción entre numerales y números, la cual creí que entendía, pero buscando en la lista de axiomas de "Godel \( \forall{} \)" no encuentro el momento a partir del cual se hace esa distinción (no quiere decir que no la haya). Así que ando algo mareado con el hecho de que se han de usar los mismos números naturales en la definición de verdad.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 16 Junio, 2009, 09:53 pm
1er pregunta: Se ha establecido que todo término contiene constantes o variables. En particular x es una variable. ¿Qué pasa si deseo reemplazar x por t, cuando t es un término que ''adentro'' contiene a la misma x?
¿No es esto algo mal definido, no queda algo recurrente e infinito, como producto de reemplazos sin fin?

Ya diste la respuesta en otro comentario. Sólo ratifico lo dicho allí: no hay ningún problema, ni sucede ninguna regresión infinita. En "x = x" podemos reemplazar "x" por, digamos, "x + 0" y obtenemos "x + 0 = x + 0".

2da pregunta: En cuanto a la restricción de los cuantificadores...
Si t es un término, es una lista de signos en la que no figura el signo de cuantificación \( \exists{} \).
Así que si pido que las variables que figuran en t no estén afectadas por cuantificadores, entiendo que esos cuantificadores son ''externos'' a t. Así que imagino que se refiere a cuantificadores que podrían aparecer dentro de F.
¿Pero qué significa exactamente la restricción?

En efecto, en el libro se muestra un ejemplo del sentido de esa restricción. Supongamos el enunciado \( \forall{x}\exists{y}(x\neq{}y) \). Si aplicamos el esquema lógico y reemplazamos x por 0 obtenemos la fórmula (intutivamente verdadera, aunque aún no hemos definido qué es la "verdad"): \( \exists{y}(0\neq{}y) \), pero si reemplazamos x por y (reemplazo "prohibido" porque es una variable afectada por un cuantificador) nos queda \( \exists{y}(y\neq{}y) \), que no querríamos que fuera demostrable.   

Una cuestión filosófica:
Para decidir si una expresión es un término o no lo es, tengo que rechazar por ejemplo las expresiones que tengan cuantificadores.
Cuando se da la definición de término, está bien, se hace de modo constructivo.
Pero ¿qué pasa si me dan una expresión t cualquiera, y debo determinar si es o no un término?
Para probarlo, debo pasar uno a uno por sus signos, y si encuentro un símbolo que no corresponde a constantes o variables o paréntesis, concluir que t no es un término.
Sin embargo, no estoy seguro de si la propiedad de ''no ser un término'' forma parte de las reglas que definen lo que es un término.
Me refiero a que yo me doy cuenta con mi propia razón que una expresión no es un término, pero no estoy seguro de si esto se deduce propiamente de las reglas dadas, las cuales se dan en ''positivo'' (o sea, para afirmar cuándo tengo un término), pero no en negativo (cuando deseo probar que algo no es un término).

"No ser un término", al menos en teoría, está perfectamente definido: una expresión no es un término si no puede ser construida siguiendo las reglas que permiten construir los términos (parece un trabalenguas, pero es así). Otra cuestión es dar un método práctico para determinar si una expresión dada es, o no es, un término. Tal método (o algoritmo, para ser más preciso) existe. No se reduce a ver meramente que no haya cuantificadores ni otros símbolos lógicos, ya que (((((0+ no los tiene y no es un término.

Creo (nunca lo había pensado antes) que ese método debería rastrear los paréntesis anidados que forman la expresión. Debe detectar los símbolos "más profundamente enterrados" entre paréntesis, ver que forman una expresión del tipo corercto (0 + x, 0.x, etc.) y de allí ir rastreabdo símbolos mientras va subiendo por los niveles de paréntesis. No sé si he sido claro (casi seguramente no), pero creo que por allí va la idea.

Saludos,
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 16 Junio, 2009, 10:06 pm
Se me ocurre una analogía que, tal vez, podría resultar útil.

La capacidad de reconocer que una fórmula lógica está bien construída se podría comparar (por ejemplo) a la capacidad que tiene un compilador para reconocer un programa en lenguaje Java.

En este sentido, me refería antes a que existen autómatas que reconocen cadenas sintácticamente correctas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 16 Junio, 2009, 10:40 pm
Bien, los términos de un lenguaje \( \mathcal{L} \) de primer orden quedan perfectamente determinados por las siguientes reglas:

(i) Las variables \( x_i \) y las constantes \( a_j \) del lenguaje son términos.
(ii) Si \( f_i^n \) es letra de función y \( t_1,\ldots,t_n \) son términos de \( \mathcal {L} \) entonces, \( f_i^n(t_1,\ldots,t_n) \) es un término de \( \mathcal{L} \).
(iii) El conjunto de todos los términos de \( \mathcal{L} \) es el generado por (i) y (ii).

Es decir, las reglas anteriores "deciden" si una expresión de \( \mathcal{L} \) es o no término.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 16 Junio, 2009, 10:53 pm
Lo que noto es que cuando vaya a hacer la rutina que reconozca si cierta expresión satisface el Axioma de Reemplazo, no va a ser sencillo. O, al menos, va a haber que andarse con cuidado.
Hasta que no haga el/los programas, no voy a convencerme de que ciertas reglas ''deciden'' o no tal o cual cosa.

Phidias... Eso del ''conjunto de todos los términos'' no lo veo bien en este contexto en que no hay conjuntos.
Esa totalidad no está bien definida.
Uno sólo puede estar seguro de una afirmación del tipo:
"Si t satisface tal y tal, entonces t es un término".
Pero no se puede decir metamatemáticamente algo como:
"Para todo t tal que blablabla: t es un término".

De manera que sólo puedo observar cada t, uno a uno.
Hablar de todos los t es algo que se entiende, pero no es finitario. ¿Prohibido? Creo que sí.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 16 Junio, 2009, 11:12 pm
Phidias... Eso del ''conjunto de todos los términos'' no lo veo bien en este contexto en que no hay conjuntos.

Para construir un sistema lógico formal siempre tendrás que usar una lógica. ¿Como distingues \( a_1 \) de \( f_1^2 \) por ejemplo?. ¿Con qué lógica?. No hay sistema formal previo para ello. O admitimos una cierta circularidad en los razonamientos, o no hay nada que hacer. Cuando se dice el conjunto de los términos nos referimos a la idea intuitiva de conjunto, no a un término reservado en otro sistema formal para representar adecuadamente a los conjuntos.

Citar
Esa totalidad no está bien definida.

Si lo está. Dada una expresión del lenguaje formal, o bien se puede construir vía esas reglas, o no.

Citar
Uno sólo puede estar seguro de una afirmación del tipo: "Si t satisface tal y tal, entonces t es un término.

Por ejemplo: "\( t \) es término si y solo si \( t \) es expresión de \( \mathcal{L} \) construida por medio de las reglas mencionadas".

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 16 Junio, 2009, 11:50 pm
Para construir un sistema lógico formal siempre tendrás que usar una lógica. ¿Como distingues \( a_1 \) de \( f_1^2 \) por ejemplo?. ¿Con qué lógica?. No hay sistema formal previo para ello.

Justamente ese tipo de cosas afligen mi corazón.
Pero hubo un momento en el debate en que acepté ciertas reglas, con el propósito de seguir adelante con la prueba de Godel.
Pero creí que entre esas reglas no estaba incluido el aceptar ciertas totalidades.
Yo si quiero puedo ''imaginarme'' el conjunto de todos los términos, pero no puedo poner esa totalidad en el antecedente de una implicación metamatemática, como ser: "Sea \( \cal A \) la familia de todos los términos, entonces ...".
Eso ya no es finitista.
Y es por eso que me molestó la palabra "conjunto".

A lo mejor no tendría que haberme quejado de esto, que es un inconveniente menor a estas alturas.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 17 Junio, 2009, 12:42 am
Argentinator, el conjunto de los términos del lenguaje descrito por Gustavo es recursivo, es decir, decidible. Se puede decidir empíricamente si una expresión es o no un término. No sé qué más se le puede pedir a un conjunto para que no sea problemático.

Pero entiendo que a ti te preocupa que ese conjunto sea infinito.

Si no quieres hablar de conjuntos, habla de propiedades; la propiedad 'ser un término' es recursiva. No creo que se pueda dudar de que esa propiedad está bien definida, de que existe. En realidad, no necesitamos hablar de conjuntos en este contexto, sólo resulta más cómodo a veces.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 17 Junio, 2009, 04:54 am
Avancemos un poco más. En el camino se irán respondiendo algunas preguntas de argentinator que quedaron sin respuesta.

Pasemos a la definición de "verdad" (que, como argentinator preguntaba, no requiere de los axiomas aritméticos para ser definida, ni en realidad tampoco de los axiomas lógicos).

Las nociones de "consistente", "demostrable", etc. pueden darse sin tomar en cuenta el significado de los signos, se basan únicamente en manipulaciones sintácticas (para definir la omega-consistencia, aquí otra pregunta de argentinator, basta decir que 1 es la abreviatura de S0, 2 es la de SS0, etc. y, en principio, no necesitamos "saber" que 3 + 7 = 10).

Para definir la "verdad", cambio, necesitamos asignarle un significado a los símbolos, al menos a las constantes y funciones.

0 representa al número cero.
S representa a la función sucesor.
+ representa a la función usual de suma.
. representa a la función usual de multiplicación.

Me detengo aquí a meditar sobre una "vieja" duda de argentinator: ¿podemos asumir que todos aceptamos como verdad que 3 + 7 = 10? ¿No habrá tribus en el Amazonas o en el desierto de Australia que sean incapaces de concebir cantidades más allá de 3? ¿O no habrá seres marinos inteligentes cuya aritmética es una aritmética de burbujas en la que 1 + 1 es un 1 más grande?

Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas, pero de habérselas planteado tal vez se habría respondido: tratemos de dar una fundamentación que convenza a todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (que ya bastante difícil es eso), y dejemos a los autralianos en paz por ahora. Todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (y también nosotros, no nos engañemos) aceptarían que 3 + 7 = 10 es una afirmación verdadera, y así lo aceptaremos también. La cuestión verdaderamente difícil no es 3 + 7 = 10, sino qué pasa con las afirmaciones que abarcan totalidades infinitas, tales como las que comienzan con "todos los números...."

Seguiré con la definición de "verdad" en breve...

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 17 Junio, 2009, 03:53 pm
A las expresiones 0, S0, SS0, SSS0,... las llamaremos numerales. Los numerrales son entonces los nombres de los números en el lenguaje formal. La diferencia entre número y numeral es que los numerales son expresiones sintácticas cuya interpretación (cuyo significado) son números.

En otras palabras, el número dos es un concepto que se puede expresar de diferentes maneras: dos, 2, II, SS0, etc.

Todo término sin variables representa un número, por ejemplo S0 + SS0 representa un número que, intuitivamente, sabemos que es el 3.
 
Llamaremos enunciado atómico a un enunciado sin cuantificadores ni conectivos lógicos (y, consecuentemente, dado que es un enunciado, sin variables). Un enunciado atómico es de la forma: t = s, donde t y s son términos.

Definición: Diremos que un enunciado atómico t = s es verdadero si t y s representan el mismo número, y falso en caso contrario.

A partir de allí, la definición de verdad se va "propagando" a lo largo de las distintas operaciones que construyen enunciados (en términos más técnicos: se define por inducción en la complejidad de los enunciados).

La mayoría de los casos son obvios: un enunciado del tipo \( P\wedge Q \) es verdadero si \( P \) y \( Q \) son verdaderos y falso en caso contrario.

El único caso que merece un poco de discusión es el de los enunciados de la forma \( \forall{x}P(x) \) que es verdadero si y sólo si \( P(0) \), \( P(S0) \), \( P(SS0) \),... son todos verdaderos. Así que, en principio, la verdad de algunos enunciados requiere la verificación de una cantidad infinita (en acto) de casos.

Justamente la idea de Hilbert era reemplazar el concepto semántico de "verdad" (que involucra infinitos actuales) por el concepto sintáctico de "demostrabilidad" (verificable sintácticamente por métodos finitarios).

De todos modos, hay enunciados cuya verdad puede determinarse en una cantidad finita de pasos (Smullyan, por ejemplo, en su libro Gödel's Incompleteness Theorems dice que son los enunciados que se pueden escribir mediante "cuantificadores acotados", por lo que para verificar su verdad sólo se requiere comprobar una cantidad finita de casos).

Por ejemplo, para cada n, la verdad o falsedad de la afirmación "n es primo" (afirmación que puede traducirse al lenguaje formal) puede determinarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Definición: Diremos que un enunciado es finitario si su verdad o falsedad puede determinarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Una suposición que haremos sobre nuestros axiomas aritméticos es que todo enunciado finitario verdadero sea demostrable.

En este punto ya estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Gödel.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 17 Junio, 2009, 04:07 pm
La mayoría de los casos son obvios: un enunciado del tipo \( P\wedge Q \) es verdadero si \( P \) y \( Q \) son verdaderos y falso en caso contrario.

¿Estás suponiendo que ya aceptamos el sentido ''obvio'' de verdad de \( -P \) o de \( P\Rightarrow{Q} \)?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 17 Junio, 2009, 05:10 pm
Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas, pero de habérselas planteado tal vez se habría respondido: tratemos de dar una fundamentación que convenza a todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (que ya bastante difícil es eso), y dejemos a los autralianos en paz por ahora. Todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (y también nosotros, no nos engañemos) aceptarían que 3 + 7 = 10 es una afirmación verdadera, y así lo aceptaremos también. La cuestión verdaderamente difícil no es 3 + 7 = 10, sino qué pasa con las afirmaciones que abarcan totalidades infinitas, tales como las que comienzan con "todos los números...."

Mmmm... Como están dadas las cosas, la idea de ''finitario'', y todo eso, me parece que lo importante no es convencer a algun grupo de personas en particular, sino a un tipo específico de mente-máquina-o-lo-que-fuere: la Máquina de Turing. Al menos me conformo con poder convencer a la máquina de que todo esto puede hacerse.

Como se ve a simple vista, parece que en una Máquina de Turing puedan programarse las operaciones aritméticas, en base a concatenar el signo S tantas veces como se quiera. Si tengo factores m, n, ocupan en la memoria de la máquina m+1 y n+1 lugares con la representación S...S0, pero la multiplicación m . n = S...S0 . S...S0 exigirá m . n + 1 lugares de memoria, que es en general mucho más grande que el tamaño de datos ''de entrada''. Esa situación la veo algo peligrosa, pero parece a simple vista algo ''programable'', a fin de cuentas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 17 Junio, 2009, 05:51 pm
Me detengo aquí a meditar sobre una "vieja" duda de argentinator: ¿podemos asumir que todos aceptamos como verdad que 3 + 7 = 10? ¿No habrá tribus en el Amazonas o en el desierto de Australia que sean incapaces de concebir cantidades más allá de 3? ¿O no habrá seres marinos inteligentes cuya aritmética es una aritmética de burbujas en la que 1 + 1 es un 1 más grande?

Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas,

Para darle el toque final a la saga de las dudas totales, me cuestiono acerca de la operación misma de concatenar signos.
La concatenación de signos es una de las operaciones más antiguas del lenguaje humano, y comienza con los pictogramas.
Era fácil asociar biunívocamente un bisonte a un dibujo de bisonte, y un mamut a un dibujo de mamut, etc.
Con el tiempo eso derivó en la escritura moderna, especulo.
Como sea, la cuestión está que la sucesión de signos separados, diferenciados en la escritura, refleja que vemos en la realidad objetos individuales también separados y diferenciados. Los objetos de la realidad inmediata no suelen mezclarse o atraversarse entre sí, y surge la capacidad de diferenciar individuos.
¿Pero no es esto consecuencia del Principio de Exclusión de Pauli? Cito a Wikipedia:

Citar
El principio de Pauli también es responsable de la estabilidad a gran escala de la materia. Las moléculas no pueden aproximarse arbitrariamente entre sí, porque los electrones ligados a cada molécula no pueden entrar en el mismo estado que los electrones de las moléculas vecinas.

Si hubiesen mundos de neutrinos, o de fantasmas, a las mentes de esos mundos les sería totalmente antinatural concatenar signos, pero sin embargo las leyes matemáticas deberían ser las mismas... mmmm

Sí, ya sé, me volví loco. Pero es que no resistí la tentación de meter este bocadillo y cuestionar la esencia misma de cualquier teoría abstracta, que es la posibilidad de poder escribir con signos concatenados los elementos de esa teoría...

En el futuro prometo concentrarme en cosas más constructivas. Ahora que Gustavo ha puesto todas las reglas, ando con ganas de practicar con algunas deducciones.  

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 17 Junio, 2009, 07:47 pm
¿Estás suponiendo que ya aceptamos el sentido ''obvio'' de verdad de \( -P \) o de \( P\Rightarrow{Q} \)?

Sí, eso estoy suponiendo. Podría definir esos sentidos "desde cero", pero los definíría... de la manera obvia. :)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 17 Junio, 2009, 07:52 pm
Probablemente Hilbert nunca se hubiera planteado estas preguntas, pero de habérselas planteado tal vez se habría respondido: tratemos de dar una fundamentación que convenza a todos los matemáticos europeos de principios del siglo XX (que ya bastante difícil es eso), y dejemos a los autralianos en paz por ahora.

Mmmm... Como están dadas las cosas, la idea de ''finitario'', y todo eso, me parece que lo importante no es convencer a algun grupo de personas en particular,

Sin embargo las matemáticas no existen en un mundo abstracto (eso es, al menos, lo que yo creo) sino en la mente de los matemáticos. Y Hilbert sí quería convencer a un grupo muy específico de personas: los intuicionistas, cuya influencia él veía crecer peligrosamente. Hilbert entró en la polémica sobre los fundamentos relativamente tarde (unos 15 años después de que se iniciara) y algunos historiadores (no sé qué tan certera sea esta especulación) dicen que lo hizo por despecho, porque uno de sus alumnos más brillantes, Hermann Weyl, lo "traicionó" "convirtiéndose" al intuicionismo. Así que la insistencia de Hilbert en evitar en la fundamentación de la matemática el infinito actual tal vez se debía a una convicción personal, pero también (tal vez principalmente) se debía a que, de actuar de otro modo, jamás hubiera convencido a un solo intuicionista.

sino a un tipo específico de mente-máquina-o-lo-que-fuere: la Máquina de Turing. Al menos me conformo con poder convencer a la máquina de que todo esto puede hacerse.

En efecto, por la definición que dí es posible programar una Máquina de Turing para que determine en una cantidad finita de pasos si un enunciado finitario es verdadero o falso. Hilbert, sin embargo, iba más allá e incluía como finitarios a los enunciados que "intuitivamente" fueran verdaderos, signifique lo que signifique "intuitivamente".
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 17 Junio, 2009, 10:54 pm
Para darle el toque final a la saga de las dudas totales, me cuestiono acerca de la operación misma de concatenar signos.

La operación de concatenaicón de signos es crucial en la demostración del teorema de Gödel que tengo intención de mostrar. De hecho, no exagero, está enteramente basada en ella.

Ahora que Gustavo ha puesto todas las reglas, ando con ganas de practicar con algunas deducciones.  
Saludos

Tal vez convenga entonces mostrar, a modo de ejemplo, un conjunto recursivo de axiomas aritméticos. El sistema clásico es el de los "axiomas de Peano de primer orden", que se pueden escribir así (dejo tácitos todos los cuantificadores universales (los \( \forall{} \)) necesarios para que las fórmulas sean enunciados):

1. \( Sx = Sy \Rightarrow x = y \)
2. \( Sx\neq 0 \) (que es una abreviatura de \( -(Sx = 0) \))
3. \( x + 0 = x \)
4. \( x + Sy = S(x + y) \)
5. \( x\cdot{0} = 0 \)
6. \( x\cdot{Sy} = x\cdot{y}+x \)
7. \( P(0)\Rightarrow (\forall{x}(P(x)\Rightarrow P(Sx))\Rightarrow \forall{y}P(y)) \)

Todo enunciado finitario (en el sentido de "verificable mecánicamente") verdadero es demostrable a partir de estos axiomas. Tal vez, argentinator, quieras practicar deduciendo que 1 + 1 = 2 o que la suma es conmutativa (este último no es un enunciado finitario pero sí uno de los que Hilbert consideraba intuitivamente evidentes).

(A propósito de un comentario anterior sobre cómo podría redactarse un algoritmo para reconocer si una expresión es un término, en la página 96 del libro hay una descripción de un algoritmo para reconocer fórmulas que pued adapatrse fácilmente a los términos.)

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 18 Junio, 2009, 06:15 am
Hay muchos otros sistemas axiomáticos, como por ejemplo los de la teoría de conjuntos.

Lo que yo te pregunto es si estos axiomas de Peano que has puesto son relevantes para el Teorema de Godel.
Creo que dijiste que no en cierto momento, y además estamos usando ya cierta intuición de los ''numerales'' y nos hemos autorizado a operar con ellos cuando se ha definido recursivamente el concepto de verdad matemática.

He leído este punto en vuestro libro, y aparece de nuevo acá, y la verdad es que no entiendo bien la mesconlanza entre estos axiomas de Peano sobre los números y las operaciones con números que ya estamos usando desde la definición de verdad matemática.
Definición: Diremos que un enunciado atómico t = s es verdadero si t y s representan el mismo número, y falso en caso contrario.

La cuestión es que tenemos varias cosas dando vueltas por ahí: reglas de formación de fórmulas, reglas de inferencia, axiomas lógicos, noción de verdad matemática, y axiomas de teorías particulares.
Cuando se establece la noción de verdad matemática, ya se habla allí de números, y se trabaja con ellos, y se establecen operaciones aritméticas e igualdades.
Después uno puede establecer axiomas para la teoría que se le de la gana, pero en principio me la imagino algo despegada de todo lo anterior.
Sin embargo los axiomas de Peano hablan otra vez de números.

Además, los axiomas 3, 4, 5 y 6, ¿no se enredan con las igualdades de los numerales, que se suponen ciertas ya en la definición de verdad?
O sea, si reemplazo las variables x, y  por valores constantes, obtengo cosas que ya tenía.

Es cierto que estos axiomas dicen más que la aritmética intuitiva que veníamos usando, pero me incomoda el hecho de que haya cierta superposición entre ambas cosas.

Nota: Los axiomas de Peano los conozco hace mucho, pero verlos metamatemáticamente me está haciendo cortocircuito en la cabeza.

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 18 Junio, 2009, 06:50 am
Tal vez, argentinator, quieras practicar deduciendo que 1 + 1 = 2

¿No es que 1+1 era igual a 2 ya desde la definición de verdad matemática?
¿Qué diferencia hay si lo pruebo a partir de los Axiomas de Peano?
¿Los números de la teoría de Peano, son otros números distintos a los de la noción de verdad matemática recursiva, o son los mismos números que ahora se han ganado la lotería y tienen más privilegios?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 18 Junio, 2009, 09:59 am
Argentinator,

Gustavo no ha dicho, por lo que recuerdo, que el teorema de Gödel sea independiente de los axiomas aritméticos; creo que dijo que podemos definir la noción de verdad en el lenguaje formal sin necesidad de introducir los axiomas aritméticos, tal como él ha hecho.

Pero el teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas que contienen la aritmética de Peano (o casi, este 'casi' puede hacerse preciso).

Por otra parte, hay que distinguir entre el razonamiento fuera del sistema y el razonamiento dentro del sistema. El cálculo de la verdad de un enunciado formal se ha planteado hasta ahora sólo fuera del sistema; Gustavo ha dicho en qué casos es verdadero un enunciado formal, no ha dicho que el sistema pueda computar el valor de verdad de los enunciados formales. Para calcular el valor de verdad ciertamente hay que dominar las operaciones aritméticas suma y producto (puedes representarte la función S como la operación de sumar 1) y hay que conocer el funcionamiento de las constantes lógicas, pero todo ese conocimiento se supone en nosotros, los que hacemos el cálculo, no en el sistema, que todavía no contaba siquiera con los axiomas aritméticos.

Entonces ciertamente suponemos conocimiento aritmético en nosotros antes de construir el sistema, pero si no fuera así ¿cómo podríamos nosotros dotar de axiomas aritméticos al sistema? Es el conocimiento más o menos intuitivo previo el que nos permite formalizar la aritmética en un conjunto axiomas. Lo que hacemos en esos axiomas es sólo expresar nuestra concepto de número natural.

Gustavo ¿es el momento de decir algo sobre el esquema de inducción, para decir precisamente que es un esquema y no un axioma?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 18 Junio, 2009, 12:14 pm
Repasemos:

1. Tenemos dos grupos de conceptos "dando vueltas": conceptos sintácticos y conceptos semánticos.

1.1. Los conceptos sintácticos son claros y precisos y dependen solamente de manipulaciones de signos que no toman en cuenta su significado. Entre los conceptos sintácticos destaco el de "enunciado demostrable" o "teorema".

Importante: que un enunciado sea demostrable (o no demostrable) depende (además de las reglas de inferencia, que suponemos fijadas: modus ponens y generalización) de los axiomas aritméticos que se elijan. Más concretamente: un enunciado que sea demostrable para un sistema de axiomas puede no serlo para otro. Ejemplo trivial: 1 + 1 = 4 no es demostrable a partir de los axiomas de Peano, pero sí a partir de un sistema inconsistente de axiomas.

Puse los axiomas de Peano a modo de ejemplo porque argentinator decía que "quería practicar algunas deducciones" y no puede haber deducciones (formales) sin axiomas. Y le propuse como "ejercicio" que mostrara que 1 + 1 = 2 es demostrable a partir de los axiomas de Peano. Ahora bien, podría suceder que 1 + 1 = 2 no fuera demostrable, si los axiomas elegidos fueran otros.

1.2. Los conceptos semánticos se basan esencialmente en el significado que se le atribuya a los signos. El único que hemos definido es el de "verdad", que depende de cuestiones más bien filosóficas como nuestra concepción del universo. El enunciado 1 + 1 = 2 es verdadero.

1 + 1 = 2 es siempre verdad, pero puede ser, o no, demostrable según qué sistema de axiomas aritméticos elijamos.

2. El principal objetivo del programa de Hilbert era elegir axiomas de tal modo que "demostrable" y "verdadero" fueran equivalentes. Que el escurridizo y difícil concepto de "verdad" (que involucra infinitos actuales) pudiera ser capturado por el más preciso y prístino de "demostrabilidad" (que sólo requiere infinitos potenciales y, por ende, podía ser aceptado por los intuicionistas).

3. Puse como ejemplo los axiomas de Peano porque es el sistema más usado (hay otros). El teorema de Gödel, tal como lo voy a enunciar, no se aplica solamente a sistemas que contengan los axiomas de Peano (aunque más o menos así lo enunció originalmente Gödel). El teorema de Gödel se aplica a todo sistema en el que los enunciados finitarios verdaderos sean demostrables. (Además de que el sistema debe ser omega-consistente.) (Por "finitario" entendemos "cuya verdad puieda verificarse mecánicamente en una cantidad finita de pasos".)

Gustavo ¿es el momento de decir algo sobre el esquema de inducción, para decir precisamente que es un esquema y no un axioma?

Ya lo has dicho. Los otros axiomas también pueden ser vistos como esquemas, todo depende de cómo los leamos: si en \( x + 0 = x \) leemos a \( x \) como una variable cualquiera entonces es un esquema, si la leemos como una variable específica entonces es un axioma.

Tal vez, argentinator, quieras practicar deduciendo que 1 + 1 = 2
¿Los números de la teoría de Peano, son otros números distintos a los de la noción de verdad matemática recursiva, o son los mismos úmeros que ahora se han ganado la lotería y tienen más privilegios?

Ya lo comenté más arriba, agrego ahora: los números son siempre los mismos números.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 18 Junio, 2009, 12:50 pm
Agrego un poco de confusión: 1 + 1 = 2 es siempre verdad, pero S0 + S0 = SS0 podría ser falso, todo depende de qué interpretación se le dé a los signos. Nosotros hemos fijado la interpretación usual en la que el símbolo 0 representa el número cero, S es "sucesor" y + es la suma, pero hay otras interpretaciones posibles.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 18 Junio, 2009, 12:54 pm
Un bonito ejercicio sería éste: de los axiomas de Peano tomemos solamente el 1 y el 2:

1. \( Sx = Sy \Rightarrow x = y \)
2. \( Sx\neq 0 \) (que es una abreviatura de \( -(Sx = 0) \))

El ejercicio pediría determinar si el enunciado 1 + 1 = 2 es un teorema, es decir, si S0 + S0 = SS0 es demostrable a partir de estos dos axiomas (más los axiomas lógicos, que implícitamente siempre se incluyen).
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 18 Junio, 2009, 01:08 pm
Y agrego una pregunta más:

Si le damos a los signos un significado tal que S0 + S0 = SS0 es un enunciado falso ¿de todos modos sería un enunciado demostrable a partir de los axiomas de Peano? La respuesta es sí, ya que "ser demostrable" no depende del significado de los signos.

(Nota: si cambiamos el significado de los signos entonces habremos de cambiar la definición de verdad, pues la verdad depende del significado. Es posible asignar significados a los signos de tal modo que S0 + S0 = SS0 sea falso.)

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 18 Junio, 2009, 01:56 pm
Bueno, gente. Todas estas explicaciones acerca de lo sintáctico y lo semántico han sido de lo más oportunas, porque no me daba cuenta que con la definición de verdad empezaba la distinción entre verdadero y demostrable. Me parecía todo parte de lo mismo.
Así que más que agradecido, porque no habría entendido nada de lo que se dijera después.
Ahora que está explicado resulta todo más evidente. Además, ya se había dicho creo que había que distinguir sintaxis de semántica, y que eso venía a ser distinguir demostrable de verdadero, pero por alguna extraña razón no podía ''verlo''. Estaba mareado con todas las definiciones.

Voy a intentar hacer algo, pero ando apurado y sospecho que va a estar mal. Igual ahí va:

A ver: supongamos que defino la propiedad de ser Gustavo-verdadero acorde a las reglas de verdad matemática que dio Gustavo en su momento, y que Gustavo-falso quiere decir falsedad matemática en el sentido que dio Gustavo.

Ahora defino la propiedad de ser  Banana-falso a toda expresión que sea Gustavo-falsa, y además a todas aquellas expresiones de la forma \( 1+t=St \) y \( t+1=St \) para cada término \( t \) que satisfaga \( t=1 \), \( t=2 \) o \( t=3 \).
En cualquier otro caso, decimos que una expresión es Banana-verdadera.

Si tomo la Banana-verdad como noción de Verdad estaría diciendo que 1+1 es falso pero demostrable.

Mi intención es hacer falsas las expresiones que involucran ciertos números pequeños, y a partir de allí en adelante, que todo siga siendo verdadero.
Pero no sé si voy bien encaminado. Mmm...

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 18 Junio, 2009, 02:57 pm
Un bonito ejercicio sería éste: de los axiomas de Peano tomemos solamente el 1 y el 2:

1. \( Sx = Sy \Rightarrow x = y \)
2. \( Sx\neq 0 \) (que es una abreviatura de \( -(Sx = 0) \))

El ejercicio pediría determinar si el enunciado 1 + 1 = 2 es un teorema, es decir, si S0 + S0 = SS0 es demostrable a partir de estos dos axiomas (más los axiomas lógicos, que implícitamente siempre se incluyen).

Hombre, parece que sin los axiomas que regulan el signo + no podemos demostrar '1+1 = 2'.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 18 Junio, 2009, 03:14 pm
Gustavo, me refería a decir algo sobre que en el esquema de inducción 'P' está por cualquier predicado monádico expresable en el lenguaje del sistema.

Dices, por otra parte, que el teorema de Gödel se aplica a cualquier sistema capaz de demostrar los enunciados finitarios verdaderos ¿equivale esa capacidad a que contenga a la aritmética primitiva recursiva (PRA) de Skolem, que carece de cuantificadores?

Sin embargo, sé que el sistema Q de Robinson (que carece del esquema de inducción pero contiene cuantificación existencial) está también sujeto al teorema de Gödel porque en él están representadas todas las funciones computables. Creo que siempre he pensado que Q era una extensión conservadora de PRA y que PRA es el sistema más básico al que se aplica el teorema de Gödel. Pero ahora no estoy seguro.

En general: ¿hay un sistema que sea el sistema más débil al que se aplica el teorema de Gödel?

Es decir: ¿hay un sistema S tal que cualquier otro sistema al que se aplique el teorema de Gödel contiene a S?

Gracias.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 19 Junio, 2009, 04:57 am
Hola,

Antes que nada, quiero hacer un comentario general acerca de todo lo que he venido escribiendo. En una de las presentaciones del libro "Gödel para Todos" (el cual, de alguna manera, vengo parafraseando en muchos de los comentarios que escribí) Guillermo Martínez decía que la intención del libro es contar el Teorema de Gödel del modo más sencillo posible sin que deje de ser el Teorema de Gödel.

Se estaba refiriendo con esto a un cuentito muchas veces repetido que relata que una persona sin conocimientos de Física le pide a un físico que le explique qué dice la Teoría de la Relatividad. El físico se lo cuenta refiriéndose a la transformada de Lorentz, etc. etc., pero el otro le dice que no entendió nada. Entonces el físico simplifica un poco la explicación, pero el oyente sigue sin entender. Así sigue simplificando la explicación, cada vez eliminando tecnicismos, hasta que el otro finalmente dice: "ahora entendí", a lo que el físico responde: "sí, pero eso ya no era la Teoría de lla Relatividad".

La intención de "Gödel para Todos" es relajar los tecnicismos tanto como sea posible para facilitar la comprensión, pero de modo que lo que se enuncie y demuestre no deje de ser el Teorema de Gödel.

En cierto modo es lo que he venido haciendo aquí. Trato de hacer hincapié en ciertas ideas clave y de relajar los tecnicismos tanto como sea posible sin caer en el error.  Por eso no hablo de "predicados monádicos", sino de "fórmulas con una variable libre" o de "funciones proposicionales" y escribo \( s.t \) en lugar de \( f_2^2(t_1,t_2) \), etc. Me parece adivinar que esta actitud mía te provoca, LauLuna, algunos "chisporroteos" porque estás acostumbrado a un lenguaje más formal, y es por eso que, antes, ofrecí ceder este "púltpito" a quien quisiera manejarlo con más rigor.

En ese mismo espíritu hablo de "enunciado finitario" cuando la condición más exacta es: si \( R(x,y) \) es una relación recursiva entonces existe una fórmula \( B(x,y) \) en el lenguaje de la teoría tal que si \( R(n,m) \) es verdadero entonces \( B(n,m) \) es demostrable y si \( R(n,m) \) es falso entonces \( -B(n,m) \) es demostrable (y todavía me estoy salteando la distinción entre números y numerales). En otras palabras, toda relación recursiva debe ser definible en la teoría. Condición ésta que, en efecto, cumple la teoría Q.

Dado que \( B(n,m) \) y \( -B(n,m) \) son enunciados finitarios, podemos despachar todo lo anterior diciendo que todo enunciado finitario es demostrable.

Dices, por otra parte, que el teorema de Gödel se aplica a cualquier sistema capaz de demostrar los enunciados finitarios verdaderos ¿equivale esa capacidad a que contenga a la aritmética primitiva recursiva (PRA) de Skolem, que carece de cuantificadores?

Sinceramente, no lo sé. Es una buena pregunta.

En general: ¿hay un sistema que sea el sistema más débil al que se aplica el teorema de Gödel?

Es decir: ¿hay un sistema S tal que cualquier otro sistema al que se aplique el teorema de Gödel contiene a S?

Ésta es una pregunta cuya respuesta venimos persiguiendo desde hace bastante tiempo. Hay indicios que apuntan a que la respuesta es "no". En la literatura, ese papel minimal parece que se le atribuye a la teoría Q. Varios libros enuncian el teorema de Gödel como "toda extensión consistente de Q es incompleta", aunque, claro, no dicen que Q sea realmente minimal.

Saludos,

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg91217.html#msg91217)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 19 Junio, 2009, 12:15 pm
No, Gustavo, nada de "chisporroteos"; sólo es que, desde fuera, me planteo a veces si la gente entenderá bien lo que se está diciendo; por ejemplo, si sabrán el papel que hace 'P' en el esquema de inducción, si cuando dices 'demostrables' (a propósito de la consistencia) va a quedar claro para todos que hablas de demostrables en el sistema formal o alguien puede pensar que se trata de demostrable en algún sentido más general o vago, etc.

Sé que a ti te toca la labor más ardua con mucho y creo que todos te agradecemos enormemente la atención que nos dedicas, pero tampoco está mal que si pensamos (con razón o sin ella) que algo puede no haber quedado lo suficientemente claro, te lo hagamos saber.

Ten en cuenta que parece que mucha gente está siguiendo este tema y, sin embargo, la mayoría de los que lo siguen no preguntan nada; conjeturo que a veces temen estar preguntando una tontería o estar preguntando una cosa que se ha aclarado en un mensaje anterior y ya van unos cuantos, no es fácil revisarlos todos), o algo así.

Entonces, esa labor de llamar la atención sobre tales puntos puede ser complementaria con la tuya y puede ayudar a que este hilo cumpla todavía mejor su propósito, que era en principio el de aclarar cualquier duda que alguien pudiese tener respecto del teorema de Gödel.

Espero que esas intervenciones mías no te hayan molestado.
 
Un saludo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 19 Junio, 2009, 12:45 pm
Hola,

pero tampoco está mal que si pensamos (con razón o sin ella) que algo puede no haber quedado lo suficientemente claro, te lo hagamos saber.

Por supuesto.

Entonces, esa labor de llamar la atención sobre tales puntos puede ser complementaria con la tuya y puede ayudar a que este hilo cumpla todavía mejor su propósito, que era en principio el de aclarar cualquier duda que alguien pudiese tener respecto del teorema de Gödel.

Totalmente de acuerdo.

Espero que esas intervenciones mías no te hayan molestado.

Absolutamente no.

Saludos,
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 19 Junio, 2009, 01:11 pm
Teorema (Gödel, 1931): Si un sistema recursivo de axiomas para la aritmética verifica que:
1) Es omega-consistente.
2) Todo enunciado finitario es demostrable.
Entonces el sistema es incompleto, es decir, existe un enunciado P tal que ni P ni -P son demostrables en el sistema.


Aquí, finalmente, el Teorema de Gödel. Antes de adentrarnos en la demostración conviene detenerse en algunas reflexiones.

1. El enunciado original de Gödel no es exactamente el que he dado más arriba. En su artículo de 1931 Gödel da algunos axiomas que garantizan la hipótesis de que todo enunciado finitario sea demostrable (en particular, incluía el esquema de inducción, que es el axioma 7 de la lista de axiomas de Peano que dí antes) y el enunciado de Gödel habla de todo sistema de axiomas que contenga a esos que él dio.

El enunciado que yo he dado parece "mejor" en el sentido de que se pide una condición más general, que incluye a más sistemas que el de Gödel (pues puede haber sistemas en los que todo enunciado finitario sea demostrabe, pero que no incluya todos los axiomas dados por Gödel). El de Gödel es, por otra parte, mejor en el sentido siguiente: el enunciado del teorema que yo he dado deja abierta la pregunta ¿habrá algún sistema recursivo de axiomas que cumpla que todo enunciado finitario sea demostrable? Gödel responde a esa cuestión dando explícitamente un tal sistema.

2. En 1936 John B. Rosser modificó la demostración de Gödel de modo que el teorema se transformó en:

Teorema (Rosser, 1936): Si un sistema recursivo de axiomas para la aritmética verifica que:
1) Es consistente.
2) Todo enunciado finitario es demostrable.
3) Todo enunciado de la forma \( \forall{x}(x\leq{n}\vee n\leq{x}) \) es demostrable, donde n es un numeral cualquiera y \( x\leq{y} \) debe tomarse como una abreviatura de \( \exists{z}(x + z = y) \).
4) Todo enunciado de la forma \( \forall{x}(x\leq{n}\Rightarrow (x=0 \vee \ldots \vee x = n)) \) es demostrable, donde n es un numeral cualquiera.
Entonces el sistema es incompleto, es decir, existe un enunciado P tal que ni P ni -P son demostrables en el sistema.


(La diferencia esencial es que se cambia "omega-consistente" por "consistente".)

En la versión original de Rosser las hipótesis 2), 3) y 4) se reemplazan por el hecho de que el sistema contiene los axiomas propuestos por Gödel. Los enunciados mencionados en 3) y 4) no son finitarios en el sentido que hemos definido (verificables en una catidad finita de pasos), pero sí lo son en el sentido más amplio que usaba Hilbert ("intuitivamente verdaderos").

3. Se puede probar además que existe un enunciado P cuyo significado se puede interpretar como: "el sistema de axiomas es consistente" y que es indecidible (es decir, ni P ni -P son demostrable en el sistema). Ésta afirmación es el llamado Segundo Teorema de Gödel.

4. Panu Raatikainen, en un paper sobre las consecuencias filosóficas del Teorema de Gödel, escribe:

"It is widely thought that Gödel’s theorems gave a death blow to Hilbert’s program. Whether Gödel’s theorems really demonstrated that it is impossible to carry out Hilbert’s program is controversial. This is partly because there is not complete clarity as to what exactly constitutes Hilbert’s program, and what views are truly essential for it. Furthermore, some of Hilbert’s key concepts are somewhat vague. Nevertheless, I think that there are good reasons to think that Hilbert's mature program of the 1920s was, in its original form and in its full generality, refuted by Gödel’s theorems."

Es decir, es controvertido si el teorema de Gödel refuta el Programa de Hilbert, en parte porque no queda claro cuáles eran los conceptos clave de ese programa.

Creo que Panu se refiere a la idea a la de Hilbert de incluir dentro de la categoría de "finitarios" a los enunciados "intuitivamente evidentes" (Gödel intenta años después formalizar esta idea en su artículo "Sobre una extensión del punto de vista finitario"). Si por "finitario" (como hemos hecho aquí, y como se hace habitualmente) entendemos "verificable mecánicamente" entonces me parece que sí, que el Teorema de Gödel anula la posibilidad de completar el Programa de HIlbert.

5. Conviene observar que no toda teoría es incompleta. Por ejemplo, si del lenguaje eliminamos la operación de multiplicación (y dejamos sólo S y la suma) entonces la teoría así obtenida admite un sistema recursivo y completo de axiomas (Presburger, 1929).

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 19 Junio, 2009, 01:39 pm
Otros comentarios:

6. Dijimos antes que se puede probar que todo sistema omega-consistente es consistente. Ahora bien, si P es un enunciado indecidible para el sistema podemos agregar a P o a -P como nuevo axioma y en ambos casos tendremos un sistema consistente. Sin embargo, sólo uno de los dos será omega-consistente (el otro será consistente, pero no omega-consistente).

7. De P y -P uno de ambos es verdadero. Así que una forma de ver el teorema de Gödel es ésta: bajo las hipótesis indicadas antes existe un enunciado verdadero pero no demostrable en el sistema.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 19 Junio, 2009, 03:47 pm
Bibliografía: el paper completo de Panu Raatikainen puede descargarse del blog http://godelparatodos.blogspot.com (véase la columna izquierda del blog). Allí mismo se pueden descargar (en castellano) "Acerca del Infinito" y "La fundamentación de la teoría de números", ambos de Hilbert, y la "conferencia Gibbs", conferencia de Gödel de 1951 sobre las consecuencias filosóficas de su teorema (a la cual alude Panu Raatikainen en su paper).

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 19 Junio, 2009, 08:04 pm
Recién descubro este hilo. Ya leeré con tiempo todo lo que han escrito.
Pero debo decir antes de eso que los esfuerzos de Gustavo por procurarnos la comprensión de los teoremas de Gödel son encomiables.

No solo ha escrito un libro sin el cuál jamás me hubiera animado con estos temas. No solo me ha respondido en el sitio del libro todo lo que he preguntado sino que además lo encuentro aquí explicando los detalles del tema a diestra y siniestra.

Creo que lo de Gustavo es generosidad, en todo su sentido.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 20 Junio, 2009, 08:15 pm
Se me ocurre la siguiente pregunta: ¿es posible plantear el sistema de la aritmética de Peano sin axiomas lógicos, sólo con los axiomas aritméticos?

Quiero decir ¿es posible descargar toda la lógica en las reglas de inferencia?

Es usual añadir a los sistemas matemáticos los axiomas lógicos; así lo hace, por ejemplo, Mendelson en su famosa 'Introduction to Mathematical Logic'.

Pero T. Franzén, en el libro que cité en otro mensaje ('Inexhaustibility. A Non-Exhaustive Treatment') presenta la aritmética de Peano de primer orden sólo con los axiomas aritméticos. A cambio define una 'relación de deducibilidad' mediante 16 reglas del tipo:

Si de A se deducen p y q, entonces de A se deduce p&q.

Lo que pregunto entonces es: ¿puede eso dar lugar a un sistema al que se aplique el teorema de Gödel?

Un saludo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 20 Junio, 2009, 10:41 pm
Lo que pregunto entonces es: ¿puede eso dar lugar a un sistema al que se aplique el teorema de Gödel?
Un saludo

Si el conjunto de todos los enunciados deducibles es recursivamente numerable, entonces sí, se aplica el teorema de Gödel.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 21 Junio, 2009, 01:31 pm
Bueno, la lógica puede presentarse como un cálculo de deducción natural, esto es, sin axiomas, como un conjunto de reglas de inferencia.

Cuando una lógica es completa (como la de primer orden), esas reglas son capaces de derivar todas las consecuencias lógicas de cualquier conjunto de fórmulas (axiomas).

En general, esas  reglas revisten una forma inductiva: tienes un par de reglas por las que empezar, por ejemplo, la que te permite derivar los axiomas a partir de los axiomas y la que te permite derivar 't=t' para cualquier término t; después toman la forma del paso de inducción: si has derivado tal y tal de los axiomas, puedes derivar tal y tal.

Este proceso recursivo debe dar lugar a una enumeración recursiva de los teoremas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 21 Junio, 2009, 07:25 pm
Comencemos con la demostración. Supongamos que se ha dado un sistema recursivo y omega-consistente de axiomas para la aritmética tal que todo enunciado finitario verdadero es demostrable. Debemos demostrar que el sistema es incompleto.

Cuando decimos "1 + 1 = 2" estamos haciendo una afirmación aritmética, una afirmación acerca de los números.

Cuando decimos "1 + 1 = 2 es demostrable" estamos haciendo una afirmación acerca de la afirmación 1 + 1 = 2. Es decir, estamos en otro nivel de lenguaje.

El lenguaje formal de la aritmética permite, en principio, hacer afirmaciones acerca de los núemros. "1 + 1 = 2", por ejemplo, se traduce como "S0 + S0 = SS0". Aparentemente, a primera vista, en este lenguaje no se podría afirmar que "1 + 1 = 2 es demostrable".

Nuestro primer objetivo es mostrar que esta primera impresión es errónea y que usando el lenguaje formal de la aritmética se puede afirmar que "1 + 1 = 2 es demostrable". ¿Cómo?

"1 + 1 = 2 es demostrable" habla de una afirmación y, en principio, el lenguaje formal sólo permite hablar de números. Para que el lenguaje formal pueda referirse a afirmaciones debemos transformar a las afirmaciones en números.

De aquí surge a idea de la "numeración de Gödel" o "codificación de Gödel": a cada enunciado (en realidad a cada enunciado y a cada sucesión finita de enunciados) le asignaremos un número (llamado su código o su número de Gödel) de tal modo que hablar del número equivaldrá a hablar del enunciado (o sucesión de enunciados).

En un próximo comentario veremos en detalle cómo se hace esta asignación de códigos, pero la idea general es ésta: si al enunciado "1 + 1 = 2" le correspondiera como código el número (por decir) 22.344 entonces "1 + 1 = 2 es demostrable" sería equivalente "22.344 es el código de un enunciado demostrable" y esta útlima afirmación habla ahora de un número, ya no de un enunciado.

Continuará...

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 22 Junio, 2009, 04:40 am
Hola mundo.

Como siempre, vengo medio atravesado respecto a la corriente.
Mientras ustedes se han encaramado con la prueba del teorema, yo ando entretenido con otras cosas, como por ejemplo meter las definiciones metamatemáticas en un programa real de computadora.

Incluyo esto acá porque quiero contribuir con algo más que con meras quejas y preguntas.
Les cuento brevemente qué anduve haciendo.

Primero una reflexión sobre Máquinas de Turing, Máquina Virtual Java, memoria RAM y lenguajes de programación, terminando con una sospechosa justificación de por qué elegí el lenguaje Python a fin de cuentas.
Las pongo en un Spoiler porque puede no interesarle a todo el mundo.

Spoiler

Primero que nada, tuve que tomar una decisión acerca de qué lenguaje de programación o qué entorno informático usar para emular lo más exactamente posible la característica de trabajar bajo una Máquina de Turing.
Las Máquinas de Turing en su planteamiento básico resultan algo complicado de manejar, debido a que usan operaciones muy elementales de computación: escribir y borrar bits en una cinta hipotética.
La cinta de la máquina de Turing puede reemplezarse por un disco rígido, una memoria RAM, etc.

Sin embargo hay estudios de teoría de la computación que concluyen que cualquier lenguaje de programación moderno, corriendo en una PC de escritorio actual, emula las características de una Máquina de Turing.
Sin embargo, se debe suponer la situación ideal de que la memoria RAM disponible (la famosa ''cinta'') es ampliable tanto como se quiera, o sea, se mantiene finita pero ilimitada, y puede crecer tanto como lo deseemos.
Esa situación sería posible, por ejemplo, si pudiéramos enchufar varios pendrives formando un ''trencito'', y así ampliaríamos la RAM tanto como nos dé la gana.

Pero esa limitación de Hardware no debería preocuparnos tanto como la de Software.
En el pasado hubieron sistemas operativos que no eran capaces de aprovechar toda la RAM disponible.
Hoy día a veces tenemos limitaciones similares.

Pero cualquiera sea el sistema operativo, podemos instalar una Máquina Virtual Java, que es una plataforma especial que permite correr programas Java, claro, pero también permite aprovechar toda la memoria RAM disponible. Si hiciéramos programas inteligentes en Java, se podrían detectar a tiempo las carencias de memoria RAM, y en vez de poner un cartel: ''ERROR: EL SISTEMA SE QUEDÓ SIN  MEMORIA'', se podría poner un cartel más optimista: ''LA MEMORIA RAM ESTÁ POR ACABARSE, POR FAVOR AMPLÍELA PARA PODER SEGUIR CON LA EJECUCION DEL PROGRAMA".

Así que, según yo lo veo, la Máquina Virtual Java es ''LA'' Máquina de Turing.

Ahora bien. Resulta que programar en Java lleva su tiempo. ¿Qué alternativas hay?

Me fijé qué pasaba con el lenguaje de programación Python.
Este es un lenguaje interpretado, de manera que trabaja bajo un entorno de comandos.
Python trabaja con listas y cadenas de caracteres de manera bastante natural, de manera que el programador no debe preocuparse en general de las limitaciones de la memoria RAM.
No he investigado sobre este tema, pero da toda la sensación de que uno podría programar inteligentemente en Python para detectar también carencias de memoria, y poner un cartelito que pida más RAM cuando haga falta.
Existen versiones de Python para cualquier plataforma, así que tendríamos, de nuevo, una correcta Máquina de Turing, si es que es verdad que Python es capaz de aprovechar todos los recursos (sobretodo la RAM) que el sistema le brinda.

A pesar de todo esto, no me parecen soluciones demasiado limpias, ni Java ni Python.

Pero al final me volqué por Python porque es sencillísimo programar en ese lenguaje, y así se puede concretar las ideas que uno tiene con mayor rapidez. Uno puede pensar en hacer un esfuerzo mayor más adelante, programando en otro lenguaje, pero en realidad da lo mismo, porque lo que en realidad nos hace falta es una Máquina virtual de Turing, bien diseñada, que dudo que alguien se haya tomado el trabajo de hacer.

Otro punto en contra de Python es que uno no puede hacer una verificación de tipos de datos, de manera que una cadena de caracteres podría entrar como un número o una lista o cualquier objeto posible, con los peligros que eso acarrea.

Aún así, me quedé con Python, porque me permitió terminar en una tarde una lista de funciones para verificar los elementos básicos de la metamatemática.

[cerrar]

Las reglas que usé en el programa son las que dio Gustavo, las puse en una clase llamada language y, dada una cadena de caracteres s, las operaciones que pueden hacerse sobre s permiten verificar si:

* s está en el lenguaje L con los signos del mismo,
* s es una constante
* s es una variable
* s es un término sin variables (un átomo)
* s es un término (quizá con variables)
* s es una fórmula

Estas verificaciones son muy fáciles de hacer, siempre y cuando uno no quiera hacer nada más con la cadena s, porque en cuanto uno quiera aplicar axiomas, demostraciones, etc., la cosa se complica un poco más (y aún no he intentado nada con esto último).

No incluyo todavía otro tipo de verificaciones: como por ejemplo si una variable es libre en una fórmula. Pero ya lo voy a hacer en una futura entrega.

Les dejo en el spoiler un volcado de una salida típica del programita que hice (son 5 cadenas distintas, la primera vacía):

Spoiler


ANALISIS METAMATEMATICO DE LA CADENA DE CARACTERES:  
 está en el lenguaje L? True
 es una constante? False
 es una variable? False
 es un átomo? False
 es un término? False

 es una fórmula? False



ANALISIS METAMATEMATICO DE LA CADENA DE CARACTERES:  x''''''''''''''
X'''''''''''''' está en el lenguaje L? True
X'''''''''''''' es una constante? False
X'''''''''''''' es una variable? True
X'''''''''''''' es un átomo? False
t
X'''''''''''''' es un término? True
t
t
X'''''''''''''' es una fórmula? False



ANALISIS METAMATEMATICO DE LA CADENA DE CARACTERES:  Ex'''x=0
EX'''X=0 está en el lenguaje L? True
EX'''X=0 es una constante? False
EX'''X=0 es una variable? False
EX'''X=0 es un átomo? False
EX'''X=0 es un término? False
qX=0
qX=t
qt=t
qf
f
f
EX'''X=0 es una fórmula? True



ANALISIS METAMATEMATICO DE LA CADENA DE CARACTERES:  (S((x'''+S((x'''+S(x''''')))))+(x.(x'''+S(S(S(0))))))
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0)))))) está en el lenguaje L? True
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0)))))) es una constante? False
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0)))))) es una variable? False
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0)))))) es un átomo? False
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(t))))))
(S((t+S((t+S(t)))))+(t.(t+S(S(S(t))))))
(S((t+S((t+t))))+(t.(t+S(S(t)))))
(S((t+S(t)))+(t.(t+S(S(t)))))
(S((t+t))+(t.(t+S(t))))
(S(t)+(t.(t+S(t))))
(t+(t.(t+t)))
(t+(t.t))
(t+t)
t
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0)))))) es un término? True
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(t))))))
(S((t+S((t+S(t)))))+(t.(t+S(S(S(t))))))
(S((t+S((t+t))))+(t.(t+S(S(t)))))
(S((t+S(t)))+(t.(t+S(S(t)))))
(S((t+t))+(t.(t+S(t))))
(S(t)+(t.(t+S(t))))
(t+(t.(t+t)))
(t+(t.t))
(t+t)
t
t
(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0)))))) es una fórmula? False



ANALISIS METAMATEMATICO DE LA CADENA DE CARACTERES:  Ex'''(-----Ax'(S((x'''+S((x'''+S(x''''')))))+(x.(x'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-x=S(0))
EX'''(-----AX'(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0)) está en el lenguaje L? True
EX'''(-----AX'(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0)) es una constante? False
EX'''(-----AX'(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0)) es una variable? False
EX'''(-----AX'(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0)) es un átomo? False
EX'''(-----AX'(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0)) es un término? False
q(-----AX'(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0))
q(-----q(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0))
q(-----q(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(t))))))=S(S(t))*-X=S(t))
q(-----q(S((t+S((t+S(t)))))+(t.(t+S(S(S(t))))))=S(S(t))*-t=S(t))
q(-----q(S((t+S((t+t))))+(t.(t+S(S(t)))))=S(t)*-t=t)
q(-----q(S((t+S(t)))+(t.(t+S(S(t)))))=S(t)*-t=t)
q(-----q(S((t+t))+(t.(t+S(t))))=t*-t=t)
q(-----q(S(t)+(t.(t+S(t))))=t*-t=t)
q(-----q(t+(t.(t+t)))=t*-t=t)
q(-----q(t+(t.t))=t*-t=t)
q(-----q(t+t)=t*-t=t)
q(-----qt=t*-t=t)
q(-----qf*-f)
q(-----f*-f)
q(----f*f)
q(---f*f)
q(--f*f)
q(-f*f)
q(f*f)
qf
f
f
EX'''(-----AX'(S((X'''+S((X'''+S(X''''')))))+(X.(X'''+S(S(S(0))))))=S(S(0))*-X=S(0)) es una fórmula? True
 
[cerrar]

Los que quieran experimentar con el programita, o modificarlo, etc., se los dejo adjunto en un archivo.
Está con extensión .txt, pero hay que renombrarlo a .py para que corra en Python.
La versión es Python 3.0.

En este otro Desplegable les dejo a mano las reglas que Gustavo dio en este mismo Thread, las cuales usé en el programa:
Spoiler
Para definir un sistema formal debemos comenzar por definir los símbolos del lenguaje. El lenguaje tendrá:

1. Símbolos lógicos: \( \exists{} \), \( \Rightarrow{} \), \( - \), \( = \).
(El \( - \) es el símbolo de negación. El \( = \) no siempre se incluye entre los símbolos lógicos, pero en este caso sí lo haremos.)

2. Variables: \( x_1 \), \( x_2 \), \( x_3 \),...
(veremos después que estas variables pueden escribirse usando solamente dos símbolos básicos.)

3. Constante: una sola constante, \( 0 \).

4. Símbolos de funciones: \( S \), \( + \), \( \cdot{} \).
(El uso de la palabra "función" es sólo para darle un nombre común a estos símbolos, no es necesario saber qué es una "función".)

5. Signos de puntuación: \( ( \), \( ) \)

Llamamos expresión a cualquier secuencia finita de símbolos.

Un término se define del siguiente modo:

1. Las variables y la constante son términos.
2. Si \( s \) y \( t \) son términos entonces \( (s + t) \), \( (s\cdot{}t) \) y \( S(t) \) son términos.
3. Todo término se obtiene por aplicaciones sucesivas (una cantidad finita de veces) de las reglas anteriores.

(En relación con el comentario anterior sobre el infinito potencial y el infinito actual, nótese que no hablamos del conjunto de todos los términos sino de una construcción paso a paso.)
(A veces, para aliviar la notación, se omiten paréntesis innecesarios y se escribe \( s\cdot{}t \) en lugar de \( (s\cdot{}t) \).)

Una fórmula se define del siguiente modo:

1. Si \( s \) y \( t \) son términos entonces \( s=t \) es una fórmula.
2. Si \( F \) es una fórmula y \( x_i \) es una variable entonces \( \exists{x_i}F \) es una fórmula.
3. Si \( F \) y \( G \) son fórmulas entonces \( -F \) y \( (F\Rightarrow{}G) \) son fórmulas.
4. Toda fórmula se obtiene por aplicaciones sucesivas (una cantidad finita de veces) de las reglas anteriores.

[cerrar]


P.D.: Si no se entiende nada el programa o qué diablos estoy haciendo, a no preocupar, que habrá mejoras en el futuro.
Por hoy me quedé conforme con ver que todo funciona.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 22 Junio, 2009, 08:22 pm
La intervención de argentinator es muy oportuna, porque, en el proceso de definir la codificación de Gódel, el paso que sigue es, precisamente, recordar los símbolos del lenguaje formal.

Recordémoslos:

Constante: \( 0 \)
Funciones: \( S \), \( + \), \( \cdot{} \)
Símbolos lógicos: \( \exists{} \), \( \Rightarrow  \), \( - \), \( = \)
Paréntesis: \( ( \), \( ) \)
Símbolo especial para indicar sucesiones de fórmulas: \( \otimes{} \)

Para escribir las variables adoptaremos la siguiente convención (que, de hecho, argentinator, si no entendí mal las cosas, usó en su programa): las variables \( x_1, x_2, x_3,\ldots  \) se escribirán usando los dos únicos símbolos \( v \) y \( {}_| \) de la siguiente manera: \( v_{|}, v_{||}, v_{|||},\ldots \).

En resumen, toda expresión del lenguaje (así como toda sucesión de expresiones) puede escribirse usando un total de 13 símbolos:

\( 0 \), \( S \), \( + \), \( \cdot{} \), \( \exists{} \), \( \Rightarrow  \), \( - \), \( = \), \( ( \), \( ) \), \( \otimes{} \), \( v \), \( {}_| \)

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 22 Junio, 2009, 09:35 pm

Para escribir las variables adoptaremos la siguiente convención (que, de hecho, argentinator, si no entendí mal las cosas, usó en su programa): las variables \( x_1, x_2, x_3,\ldots  \) se escribirán usando los dos únicos símbolos \( v \) y \( {}_| \) de la siguiente manera: \( v_{|}, v_{||}, v_{|||},\ldots \).

Claro, en el programa Python se debe usar la sintaxis estricta de los lenguajes de la metamatemática.
No se permite escribir la versión ''visualmente agradable'' de variables como \( x_0,x_1,x_2,... \), con subíndices, sino que se debe indicar un signo de variable, digamos \( x \), seguido de palotes (una cantidad finita).
La convención que usé en el programa es que las variables \( x_0,x_1,x_2,x_3,... \) se indican por \( x,x',x'',x''',etc. \).
También podría haber usado \( x,x|,x||,x|||,... \), es cuestión de gustos. Eso es algo que se puede cambiar, si alguien me lo exige...

En el programa en Python agregué el símbolo de cuantificación \( \forall{} \), para permitirme más adelante un manejo más cómodo de las fórmulas... aunque no sé si en realidad conviene, porque cuando aparezcan negaciones de cuantificadores voy a tener que transformar unos en otros.

El signo | lo reemplacé en el programa por una prima: '
El signo \( \Rightarrow{} \) lo reemplacé por un *.
Los cuantificadores \( \forall{,\exists{}} \) tuve que escribirlos como letras (las invertidas de las invertidas, que quedan derechas de nuevo): \( A, E \).

El símbolo \( \otimes{} \) no aparece aún el mi programa porque no hice la función que determina si cierta ristra de signos es o no una sucesión de enunciados, pero eso es fácil de programar, una vez que está hecho lo otro. Ese signo voy a tener que reemplazarlo por algún caracter ASCII más a mano, como por ejemplo el arroba: @.

Saludos

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 23 Junio, 2009, 11:02 pm
Reescribí el programa anterior, ahora está mucho más claro, y está todo documentado internamente.
En el primer intento había usado clases, pero decidí suprimir eso en aras de obtener código más legible.
Estoy asombrado de lo fácil que es programar estas cosas en Python.
De paso también aprovecho para aprender Python.
Bien, les dejo el archivo METAMAT_1_00.TXT como archivo adjunto,
y recuerden que para que corra hay que cambiarle la extensión a .PY

Descubrí un pequeño error en el programa (como siempre pasa, por Ley de Murphy), en la rutina que verifica si cierta expresión es o no es una variable. Acepta como variables a expresiones que comienzan como tales, pero siguen con signos arbitrarios.
De todas formas, eso no es un gran problema, porque no afecta al resto de rutinas del programa, que funcionan bien, y reconocen variables correctamente.
En futuras versiones estará arreglado.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 24 Junio, 2009, 11:09 am
Todos sabemos que los números naturales se pueden escribir en binario. No sé si es tan conocido que existe una versión de esta escritura (que es aplicable sólo a enteros positivos, no incluye al 0) en la que los dígitos que se usan no son 0 y 1, sino 1 y 2.

En esta "escritura binaria sin cero" los números del 1 en adelante se escriben así: 1, 2, 11, 12, 21, 22, 111,...

Concatenar dos números escritos en binario sin cero consiste en escribir el segundo número a continuación del primero. Por ejemplo, concatenar 112 con 22 da como resultado 11222.
 
Asignemos ahora los códigos de Gödel. Comencemos con los símbolos del lenguaje:

\( 0 \), \( S \), \( + \), \( \cdot{} \), \( \exists{} \), \( \Rightarrow  \), \( - \), \( = \), \( ( \), \( ) \), \( \otimes{} \), \( v \), \( {}_| \)

Primero asignamos núumeros de Gödel a los símbolos (los números siempre están escritos en binario sin cero). Al primer símbolo le asignamos el número 12, al segundo símbolo le corresponde el 112, al tercero el 1112 y así sucesivamente.

A la concatenación de dos o más símbolos le corresponde la concatenación de los números correspondientes. Así por ejemplo, a la expresión SS0 le corresponde el número 11211212. (Parafraseando a Lewis Carroll, el nombre del número 2 se llama 11211212.)

De este modo, a cada expresión del lenguaje formal (en particular, a cada enunciado, cada fórmula y cada sucesión de fórmulas) le corresponde un número de Gödel o código.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 24 Junio, 2009, 09:26 pm
Pasemos ahora a dos definiciones fundamentales, que nos acompañarán a lo largo de toda la demostración.

Definición: Una propiedad (referida a los números naturales) es expresable si existe una fórmula \( P(x) \) (con \( x \) como única variable libre) tal que para todo \( n\in{\mathbb{N}} \) vale que \( n \) cumple la propiedad si y sólo si \( P(n) \) es un enunciado verdadero. (En realidad, en lugar de \( P(n) \) habría que escribir \( P(x/\overline{n}) \), donde \( \overline{n} \) es el numeral correspondiente a \( n \).)

Por ejemplo, la propiedad de "Ser un número par" (o "x es un número par") puede expresarse mediante la fórmula \( \exists{y}(x = 2\cdot{y}) \), que, estrictamente hablando, debería escribirse así: \( \exists{v_{||}}(v_| = SS0\cdot{v_{||}) \).

Otros ejemplos: es fácil ver que "Ser un número primo", "Ser un cuadrado perfecto", "Ser un número triangular" son, por ejemplo, propiedades expresables.

Definición: Una relación binaria (referida a pares de números naturales) es expresable si existe una fórmula \( P(x,y) \) (con \( x \) e \( y \) como únicas variable libres) tal que para todo par \( (n,m)\in{\mathbb{N}^2} \) vale que \( n \) está relacionado con \( m \) si y sólo si \( P(n,m) \) es un enunciado verdadero. (Con la misma aclaración de antes acerca de la escritura.)

Por ejemplo, es fácil ver que "x es un divisor de y", "x e y son coprimos" son relaciones expresables.

De la misma manera la definición puede extenderse a relaciones ternarias, etc.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 25 Junio, 2009, 01:38 pm
Recapitulemos un poco: el lenguaje formal nos permite, en principio, escribir afirmaciones referidas a números naturales, como por ejemplo "1 + 1 = 2". Sin embargo, queremos usar ese mismo lenguaje para hacer afirmaciones acerca de otras afirmaciones, como por ejemplo "'1 + 1 = 2' es demostrable".

Hemos definido entonces una codificación de Gödel, que a cada secuencia finita de símbolos (en particular a cada enunciado) le asigna un número natural. Al enunciado "S0 + S0 = SS0" (que es la traducción al lenguaje formal de "1 + 1 = 2") le corresponde un número natural calculable de manera efectiva y al que, para abreviar, llamaremos c.

Decir entonces que "'1 + 1 = 2' es demostrable" equivale a decir que "c es el código de un enunciado demostrable".

Para completar nuestro propósito inicial de ver que "'1 + 1 = 2' es demostrable" es traducible al lenguaje formal debemos ver que la propiedad de "Ser el código de un enunciado demostrable" es expresable.

Esto puede hacerse de (al menos) dos maneras diferentes: se puede probar como consecuencia inmediata de un teorema muy general (así se hace en "Gödel para todos") o se puede de modo más constructivo (más parecido a como lo hizo Gödel). Por diversos motivos, he decidido inclinarme aquí por el modo constructivo, que es más largo, pero más explícito y más apegado a la demostración original de Gödel.

En los sucesivos comentarios iré desarrollando esta parte de la demostración.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 26 Junio, 2009, 01:32 pm
Recordemos que hemos escrito a los números naturales en un sistema binario sin cero (1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112,...). Al asignar los códigos de Gödel hemos procedido así: al primer símbolo del lenguaje le asignamos el número 12, al segundo el 112, al tercero el 1112, etc. A la concatenación de dos símbolos le corresponde la concatenación de sus respectivos códigos (la concatenación de dos números consiste en escribir el segundo a continuación del primero). Vamos a ver ahora que la operación de concatenación de números es expresable.

Veremos con el tiempo que, en realidad, toda la demostración del teorema de Gödel se apoya en el único hecho de que la operación de concatenación de números es expresable, ya que (como se verá también) es éste el hecho que permite expresar en el lenguaje aritmético todas las operaciones sintácticas de ese mismo lenguaje (gracias a la concatenación el lenguaje es capaz de "hablar" de su propia sintaxis).

Proposición: La operación de concatenación de números escritos en "binario sin cero" es expresable.

Demostración:


Hay que demostrar que la relación ternaria "z es la concatenación de x e y" es expresable. No es difícil ver que si \( L(y) \) es la cantidad de cifras del número \( y \) escrito en binario sin cero, entonces la concatenación de x e y se calcula como \( x\cdot{2^{L(y)}}+y \).

¿Cómo expresamos \( 2^{L(y)} \) en el lenguaje formal? Aquí vemos una de las limitaciones de este lenguaje: toda fórmula debe estar escrita con una cantidad finita y fija de símbolos. No se puede escribir "\( 2\cdot{}2\cdot{}\ldots \cdot{2} \) \( L(y) \) veces", la traducción de \( 2^{L(y)} \) debe ser más sutil.

Se puede probar que \( 2^{L(y)}-1 \) es el mayor de los números de la forma "potencia de 2, menos 1" que es menor o igual que \( y \). Por otra parte, "Ser potencia de 2" es expresable, porque equivale a "Su único divisor primo es 2".

Por lo tanto "z es la concatenación de x e y" es expresable, porque equivale a "Existe un número u tal que...

...u es una potencia de 2, menos 1.
...u es el mayor número número de esa forma que es menor o igual que y.
...z = x.(u + 1) + y."

Observación:

La importancia de la operación de concatenación de números radica en que es isomorfa a la operación de concatenación de símbolos del lenguaje. De hecho, podemos dar esta definición: una operación aritmética cualquiera es una concatenación si es isomorfa a la concatenación de símbolos de un lenguaje.

Se puede hacer esta objeión: la demostración que estamos haciendo descansa fuertemente en la escritura de los números. Esta objeción puede evitarse eligiendo una concatenación diferente, ya que existen concatenaciones que no dependen de la escritura de los números, sino que se definen a partir de propiedades intrínsecas (como, por ejemplo, la factorización en primos). La concatenación en binario sin cero tiene la ventaja técnica de que es la que permite demostrar de manera más sencilla que hay una concatenación expresable.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 27 Junio, 2009, 06:48 pm
Recordemos que nuestro objetivo es demostrar que "Ser el código de una fórmula demostrable" es una propiedad expresable en el lenguaje formal de la aritmética.

El concepto de "fórmula demostrable" se construye en pasos sucesivos:

1. Tenemos el símbolo para la constante: 0.
2. Tenemos símbolos para las variables.
3. Aplicando sucesivamente símbolos de función a las variables y a la constante obtenemos los términos.
4. Igualando dos términos obtenemos las fórmulas atómicas.
5. Aplicando sucesivamente las operaciones lógicas a las fórmulas atómicas obtenemos las fórmulas (en particular, los enunciados).
6. Aplicando el símbolo especial \( \otimes{} \) a las fórmulas obtenemos las sucesiones de fórmulas.
7. Una demostración es una sucesión de fórmulas que cumple determinadas condiciones sintácticas.
8. Una fórmula demostrable es la última fórmula de una demostración.

Para probar que "Ser el código de una fórmula demostrable" es expresable debemos remontar esa misma cadena de construcciones. Más específicamente, debemos probar que las siguientes propiedades son expresables:

0. Ser el código de una expresión. (Recordemos que "expresión" es cualquier secuencia finita de símbolos.)
1. Ser el código de la constante.
2. Ser el código de una variable.
3. Ser el código de un término.
4. Ser el código de una fórmula atómica.
5. Ser el código de una fórmula (en particular, de un enunciado).
6. Ser el código de una sucesión de fórmulas.
7. Ser el código de una demostración.
8. Ser el código de una fórmula que está al final de una demostración.

La idea general es que estas construcciones se obtienen mediante operaciones sintácticas y que la concatenación de números nos permite traducir esas operaciones sintácticas del lenguaje a operaciones numéricas (expresables en ese mismo lenguaje).
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 27 Junio, 2009, 07:07 pm
Tres relaciones numéricas que nos serán de mucha utilidad son: prefijo, sufijo y parte.

Asumimos que todos los números se escriben en sl sistema binario sin cero.

Un número \( x \) es prefijo de \( y \) si \( x \) aparece al comienzo de la escritura de \( y \). Por ejemplo, 112 es  prefijo de 11222211 y también de 1121111. Todo número es prefijo de sí mismo.

Un número \( x \) es sufijo de \( y \) si \( x \) aparece al final de la escritura de \( y \). Por ejemplo, 112 es  sufijo de 1122112 y también de 1111112. Todo número es sufijo de sí mismo.

Un número \( x \) es parte de \( y \) si \( x \) aparece en algún lugar dentro la escritura de \( y \). Por ejemplo, 112 es parte de 11112122.

Es fácil ver que \( x \) es prefijo de \( y \) si y sólo si \( x = y \) o bien existe \( z \) tal que \( y \) es la concatenación de \( x \) y \( z \) en ese orden. Por lo tanto la relación "\( x \) es prefijo de \( y \)" es expresable.

De la misma manera se prueba que las relaciones "\( x \) es sufijo de \( y \)" y "\( x \) es parte de \( y \)" son también expresables.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 30 Junio, 2009, 03:14 am
"Ser el código de una expresión" es una propiedad expresable:

Esto se debe a que "x es el código de una expresión" equivale a la conjunción de:

1. 1 es prefijo de x.
2. 2 es sufijo de x.
3. 22 no es parte de x.
4. 111111111111112 no es parte de x. (En el número inicial el 1 aparece 14 veces.)

Nótese que si 111111111111112 no es parte de x (el 1 catorce veces) entonces un número con una cantidad mayor de unos (y un 2 al final) tampoco es parte de x.

En la condición 4 el 1 aparece 14 veces porque hay 13 símbolos en el lenguaje por lo que 111111111111112 (el 1 catorce veces) no es el código de un símbolo. Si el lenguaje tuviera n símbolos, en la condición 4 aparecería n + 1 veces la cifra 1. Si el lenguaje tuviera una cantidad infinita numerable de símbolos la condición 4 se omitiría.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 30 Junio, 2009, 04:05 am
"Ser el código de la constante 0" es una propiedad expresable:

El código de la constante 0 es 112, que es la escritura en binario sin cero del número 8. Luego "x es el código de la constante 0" equivale a "x = SSSSSSSS0" (donde la S se ha escrito 8 veces).
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 30 Junio, 2009, 07:49 pm
"Ser el código de una variable" es una propiedad expresable:

Recordemos que los símbolos que usamos para escribir las variables, \( v \) y \( {}_| \), son, respectivamente, el 12º y 13º de nuestra lista y sus códigos, en consecuencia, son 1111111111112 y 11111111111112 (con 12 y 13 unos respectivamente).

Luego "x es el código de una variable" equivale a la conjunción de:

1. x es el código de una expresión.
2. El código de \( v \) es prefijo de x. (Es decir, la expresión de la que x es código comienza con \( v \).)
3. 211111111111112 (con 13 unos) es sufijo de x. (Es decir, la expresión de la que x es código termina con \( {}_| \).)
4. 212, 2112, 21112,..., 2111111111112 (la cantidad de unos va de uno a once) no son parte de x. (Es decir, en la expresión no aparece ningún otro símbolo más que \( v \) y \( {}_| \).)
5. 21111111111112 no es parte de x (el 1 aparece 12 veces). (Es decir, \( v \) aparece sólo una vez, al principio de la expresión.)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 01 Julio, 2009, 06:58 pm
"Ser el código de un término" es expresable:

Llegamos aquí a un punto delicado en la demostración.

Comencemos observando que la relación binaria "x es el código de un símbolo que aparece en la expresión de código y" es expresable porque equivale a la conjunción de:

1. y es el código de una expresión.
2. x = 12 o x = 112 o ... o x = 11111111111112. (En el último número la cifra 1 aparece 13 veces.)
3. x es un prefjo de y, o bien la concatenación de 2 con x es parte de y.

De ahora en adelante, para evitar que la notación oscurezca las ideas vamos a identificar a cada código con su expresión correspondiente y nos referiremos a relaciones entre expresiones en lugar de relaciones entre códigos de expresiones.

De esta manera, para decir que "x es el código de un símbolo que aparece en la expresión de código y" es expresable diremos que si s es un símbolo y E es una expresión entonces la relación "s aparece en E" es expresable. (Se trata del mismo concepto, sólo estamos aliviando un poco la escritura.)

Llamaremos expresión aritmética a una expresión en la que no aparezca el símbolo especial \( \otimes{} \). Es claro que "Ser una expresión aritmética" es expresable.

También es expresable la relación "H es una sucesión de expresiones aritméticas" ya que equivale a la conjunción de:

1. \( \otimes{} \) es prefijo de H.
2. \( \otimes{} \) es sufijo de H.
3. \( \otimes{}\otimes{} \) no es parte de H.

También es expresable la relación "E es una expresión aritmética que es miembro de la sucesión de expresiones aritméticas H" (o sea, la relación, "x es el código de una expresión aritmética que aparece en la sucesión de expresiones aritméticas que tiene código y" es expresable). Su expresión es la conjunción de:

1. E es una expresión aritmética.
2. H es una sucesión de expresiones aritméticas.
3. \( \otimes{} \)E\( \otimes{} \) es parte de H. (Traducido a una relación entre códigos: la concatenación del código de \( \otimes{} \) con x con el código de \( \otimes{} \) es parte de y.)

También es expresable: "E y F son miembros de H y alguna aparición de E en H precede a alguna aparición de F en H". La relación de precedencia se expresa diciendo que hay una parte de H que es una sucesión de expresiones aritméticas en la que \( \otimes{} \)E\( \otimes{} \) es un prefijo y \( \otimes{} \)F\( \otimes{} \) es un sufijo.

Continuará...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 02 Julio, 2009, 01:33 am
Continúo...

Recordemos que un término es una expresión que se obtiene a partir del 0 y de las variables por aplicaciones sucesivas de las tres operaciones sintácticas siguientes:

1. La operación que a partir de las expresiones E y F construye la expresión (E + F).
2. La operación que a partir de las expresiones E y F construye la expresión (E . F).
3. La operación que a partir de la expresión E construye la expresión S(E)  (donde S es el símbolo que representa a la función sucesor).

Veamos que las tres operaciones son expresables, es decir:

1. La función que, dados los códigos de las expresiones E y F, calcula el código de la expresión (E + F) es expresable. En efecto, esto se debe a que el código de (E + F) es la concatenación de los siguientes números (en el orden que se indican): el código del símbolo "(", el código de E, el código del símbolo "+", el código de F y el código del símbolo ")".

2. De forma similar se prueba que también es expresable la función que, dados los códigos de las expresiones E y F, calcula el código de la expresión (E . F).

3. Y de forma similar también es expresable la función que, dado el código de la expresión E, calcula el código de la expresión S(E).

Definición: Una sucesión generadora de términos es una sucesión de expresiones aritméticas tal que si E es una expresión de la sucesión entonces:

a) E es la constante 0 o es una variable. O bien,
b) Existen dos expresiones F y G que preceden a E en la sucesión tales que E = (F + G) (la igualdad debe entenderse en el sentido sintáctico, es decir, una igualdad símbolo a símbolo). O bien,
c) Existen dos expresiones F y G que preceden a E en la sucesión tales que E = (F . G). O bien,
d) Existe una expresión F que precede a E en la sucesión tal que E = S(F).

Es claro que una expresión es un término si y sólo se es la última expresión en una sucesión generadores de términos.

Vimos antes que:

1. "Ser una expresión aritmética" es expresable.
2. "Ser una variable o ser la constante 0" es expresable.
3. "Ser una sucesión de expresiones aritméticas" es expresable.
4. "Ser miembro de una sucesión de expresiones aritméticas" es expresable.
5. Dados dos miembros de una sucesión de expresiones aritméticas "Alguna aparición de uno de ellos precede en la sucesión a alguna aparición de la otra" es expresable.
6. Las operaciones que generan términos son expresables.
7. "Ser la última expresión en una sucesión de expresiones aritméticas" es expresable.

De todo esto se deduce que "Ser un término" es expresable.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 02 Julio, 2009, 03:07 am
Podemos generalizar de la siguiente manera el razonamiento que hicimos para probar que "Ser un término" es expresable:

Supongamos que tenemos ciertas expresiones aritméticas iniciales (que en el caso de los términos serían la constante 0 y las variables) y una cantidad finita de operaciones sintácticas permitidas (que no involucran al símbolo \( \otimes{} \)). Llamaremos expresión generada a cualquier expresión que, o bien es una expresión inicial, o bien se obtiene a partir de una cantidad finita de expresiones iniciales por aplicaciones sucesivas (una cantidad finita de veces) de las operaciones sintácticas permitidas. (Es fácil ver que toda expresión generada será necesariamente una expresión aritmética.)

En esta situación, así como antes hemos hablado de sucesiones generadoreas de términos podemos ahora hablar de sucesiones generadoras (o "sucesiones generadoras de expresiones generadas", si se me permite el trabalenguas).

Razonando como hicimos para los términos se puede probar que:

Principio de Generación: Si "Ser una expresión inicial" es expresable y también son expresables las operaciones sintácticas permitidas entonces "Ser una sucesión generadora" y "Ser una expresión generada" son también expresables.

(Este Principio de Generación es fundamental en la demostración y me atrevo a decir que, de una u otra forma, más explícitamente o menos explícitamente, aparece en todas las versiones de la demostración del Teorema de Gödel. En la demostración original de Gödel, el principio aparece en el hecho de que existe una función, que Gödel llama función \( \beta  \), que permite expresar sucesiones finitas de números.)

Recordemos que una fórmula atómica es una fórmula del tipo (t = s), donde t y s son términos. Dado que "Ser un término" es expresable, deducimos inmediatamente que "Ser una fórmula atómica" es expresable.

Por otra parte, las fórmulas se obtienen a partir de las fórmulas atómicas por aplicaciones sucesivas de los cuantificadores y conectivos lógicos. Aplicando a esta situación el Principio de Generación tenemos que "Ser una fórmula" es expresable.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 02 Julio, 2009, 03:22 am
Si tomamos como expresiones iniciales a los axiomas y como operaciones permitidas a las reglas de inferencia entonces las sucesiones generadoras son exactamente las demostraciones y las expresiones generadas son las fórmulas demostrables.

Es fácil ver, gracias a la concatenación, que las reglas de inferencia (pensadas como operaciones sintácticas) son expresables. Por lo tanto, si "Ser un axioma" fuera expresable el Principio de Generación nos diría que "Ser una demostración" y "Ser una fórmula demostrable" serían también expresables.

La pregunta es: ¿"Ser un axioma" es expresable? En el próximo comentario nos dedicaremos a responderla.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 02 Julio, 2009, 04:07 am
Antes de pasar a la cuestión de si "Ser un axioma" es expresable debemos hacer una pequeña digresión técnica acerca de las variables libres.

Notemos que la definición de "\( x \) aparece libre en la fórmula \( P \)" no es tan simple como decir que "\( x \) no esté precedida por el cuatificador \( \exists{x} \)" (recordemos que en nuestro lenguaje sólo usamos este cuantificador). Para convencernos de esto supongamos que \( P(x) \), \( Q(y) \) y \( R(x,y) \) sean fórmulas atómicas (es decir, sin cuantificadores) en las que aparecen solamente las variables indicadas en cada caso. Entonces:

En \( \exists{x}Q(y)\Rightarrow P(x) \) la variable \( x \) aparece libre.
En \( \exists{x}(Q(y)\Rightarrow P(x)) \) (agregamos solamente un par de paréntesis) la variable \( x \) aparece ligada ("ligada" es lo contrario de "libre").
En \( \exists{x}(Q(y)\Rightarrow P(x))\Rightarrow R(x,y) \) la variable \( x \) tiene una aparición ligada y otra libre.

En los tres casos \( x \) está precedida por el cuatificador \( \exists{x} \), pero la situación de \( x \) es distinta en cada fórmula.

Dejo como ejercicio para los lectores (ejercicio que se resuelve usando los métodos que hemos venido usando), por una parte dar una definición exacta de "\( x \) aparece libre en la fórmula \( P \)" y por otra parte escribir la demostración de que:

1. "Todas las apariciones de la variable x en la fórmula P son ligadas" es expresable (y, en consecuencia, también es expresable "Alguna aparición de x en P es libre").

2. La función que, dados el código de la fórmula P(x) y el código del término t, calcula el código de P(x/t), es expresable.

(A veces se deja como ejercicio a los lectores las demostraciones que son largas y tediosas de escribir con todo detalle. Debo ser honesto y advertirles que éste es precisamente el caso.)

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg92495.html#msg92495)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: enloalto en 02 Julio, 2009, 05:36 am
Hola a Gustavo, personalmente te agradezco que nos des estas clases que para personas como yo de otro país se nos haría muy difícil, he leido brevemente las 127 respuestas, y vi algo con códigos, yo estoy haciendo mi tesis en Geometría Fractal, y la primera parte que voy avanzando es precisamente el "espacio de códigos", llamado "Code Space", "Shif Space", "Subshift" quisiera saber si ese aspecto que veo tiene relación con lo que mencionas, es decir, ¿tiene alguna relación con la Geometría Fractal?te adjunto la parte que he hecho hace unas semanas, por falta de tiempo no he podido tipear lo que he avanzado, pero apenas lo hago lo haré. Muchas gracias por tu tiempo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 02 Julio, 2009, 03:46 pm
Muy interesante tu paper, Enloalto. No conocía el tema (ni la existencia de un tal Espacio de códigos) Da ganas de leerlo en detalle.
No tengo la menor idea si esto se relaciona con los Teoremas de Gödel.
Sigo con aliento contenido el diáfano tratamiento de Gustavo.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 02 Julio, 2009, 07:01 pm
Hola,

la primera parte que voy avanzando es precisamente el "espacio de códigos", llamado "Code Space", "Shif Space", "Subshift" quisiera saber si ese aspecto que veo tiene relación con lo que mencionas,

Todavía no pude leer tu paper con detenimiento, pero a simple vista parece haber una relación con las ideas que aparecen en esta demostración que estoy haciendo.

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 02 Julio, 2009, 07:22 pm
"Ser un axioma lógico" es expresable:

Recordemos que hay dos tipos de axiomas: los axiomas lógicos y los axiomas aritméticos. Es claro que "Ser un axioma" equivale a "Ser un axioma lógico o ser un axioma aritmético". Probaremos primero que "Ser un axioma lógico" es expresable. Luego lo veremos para los axiomas aritméticos.

Recordemos los axiomas lógicos:

Axiomas lógicos:

Por definición, un axioma lógico es cualquier fórmula que se obtenga de los esquemas siguientes. (Como ya dije en otro mensaje, estos esquemas definen en realidad un algoritmo que permite reconocer, dada una fórmula, si ésta es, o no, un axioma lógico.)

1. \( F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F) \), donde \( F \) y \( G \) son fórmuas cualesquiera.

2. \( F\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}H)\Rightarrow{}((F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}H)) \), donde \( F \), \( G \) y \( H \) son fórmuas cualesquiera.

3. \( (-F\Rightarrow{}-G)\Rightarrow{}(G\Rightarrow{}F) \), donde \( F \) y \( G \) son fórmuas cualesquiera.

4. \( \forall{x}F(x)\Rightarrow{}F(x/t) \).
Una explicación aquí: \( x \) respresenta una variable cualquiera y cuando escribimos \( F(x) \) entendemos que \( x \) es una variable libre en F, \( t \) es un término y \( F(x/t) \) es la fómrula que se obtiene reemplazando toda aparición de la variable \( x \) por el término \( t \). Una restricción: si \( t \) tiene variables, ninguna de éstas puede aparecer afectada por un cuantificador al efectuarse el reemplazo.

5. \( \forall{x}(F\Rightarrow{}G)\Rightarrow{}(F\Rightarrow{}\forall{x}G) \) siempre que \( x \) no aparezca libre en \( F \).

6. \( x = x \), donde \( x \) es una variable cualquiera.

7. \( x = y \Rightarrow{} y = x \), donde \( x \) e \( y \) son variables cualesquiera.

8. \( x = y \Rightarrow{} (y = z\Rightarrow{} x = z) \)

9. \( x = y \Rightarrow{} t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) = t(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde \( t \) es un término cualquiera.

10. \( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde \( F \) es una fórmula cualquiera.

"Ser un axioma lógico" equivale a la disyunción de "Ser una fórmula que corresponde al esquema 1", "Ser una fórmula que corresponde al esquema 2" y así sucesivamente hasta "Ser una fórmula que corresponde al esquema 10".

"Ser una fórmula que corresponde al esquema 1" es expresable, ya que "x es el código de una fórmula que corresponde al esquema 1" equivale a que existen u, v tales que vale la conjunción de:

1. u y v son códigos de fórmulas.
2. x es la concatenación de los siguientes números (en el orden indicado): u, el código de "\( \Rightarrow{} \)", el código de "(", v, el código de "\( \Rightarrow{} \)", u, el código de ")".

De la misma forma se prueba para los otros esquemas, por lo que "Ser un axioma lógico" es expresable.

(Algunos esquemas requieren que se cumplan ciertas condiciones sobre variables ibres o requieren el cálculo de P(x/t), por ese motivo es que hice la digresión técnica anterior. En cuanto a los esquemas 5 y 6, debe recordarse que, por definición, \( \forall{x}P(x) \) es la abreviatura de \( -\exists{x}-P(x) \).)

En el próximo comentario pasaremos a los axiomas aritméticos.

<< (http://<<)                >> (http://>>)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 04 Julio, 2009, 03:46 pm
"Ser un axioma aritmético" es expresable:

Vayamos lentamente.

Recordemos, para comenzar, que estamos suponiendo que se ha dado un sistema recursivo y omega-consistente de axiomas aritméticos tal que todo enunciado finitario verdadero es demostrable.

Para entender el tipo de razonamiento involucrado en esta parte de la demostración, supongamos, sólo a modo de ejemplo, que los axiomas aritméticos fueran los axiomas de Peano. Estos axiomas están dados por una cantidad finita de esquemas y, de modo similar a como se hace con los axiomas lógicos, no es difícil probar que "Ser un axioma de Peano" es expresable.

Aunque sería tedioso escribir todos los detalles, a estas alturas no es difícil convencerse de que si los axiomas aritméticos están dados, en general, por una cantidad finita de esquemas entonces "Ser un axioma aritmético" es expresable. (El primer detalle de una tal demostración sería definir exactamente qué es un "esquema").

Ahora bien, todo sistema de axiomas dado por una cantidad finita de esquemas es recursivo, pero hay sistemas recursivos que no se pueden expresar mediante una cantidad finita de esquemas. Por ejemplo, podríamos tomar como axiomas a todos los enunciados atómicos verdaderos. Éste es un sistema recursivo, pero que no puede describirse mediante una cantidad finita de esquemas. ¿Cómo podemos asegurar que "Ser un axioma aritmético" es, en todos los casos, expresable?

Recordemos que una propiedad (tanto referida a secuencias de símbolos como a números) es recursiva si existe un algoritmo que, dada una secuencia de símbolos (o un número, según sea el caso) puede determinar mecánicamente, en una cantidad finita de pasos, si la secuencia (o el número) verifica, o no verifica, la propiedad. Una definición similar puede darse para relaciones binarias, ternarias, etc.

El punto central aquí es el siguiente teorema:

Teorema: Toda propiedad numérica recursiva es expresable.

La demostración de este teorema es demasiado extensa y no cabe en este margen. Habría que iniciar un nuevo hilo dedicado sólo a él. Daré, de todos modos, algunos argumentos que apuntan a un esbozo de demostración.

Para comenzar, se necesitaría una definición precisa del concepto de algoritmo. Hay muchas formas de hacer esto: mediante Máquinas de Turing, mediante el calculo-lambda de Church, etc. Ahora bien, no importa cómo se haga, todas las definiciones tienen algunos puntos en común: hay entradas (datos iniciales), salidas (resultados) y, entre uno y otro, una cantidad finita de operaciones sintácticas permitidas.

La ejecución del programa (un cómputo del programa) consiste en aplicar sucesivamente, a partir de los datos iniciales, las operaciones permitidas hasta obtener el resultado final (si es que lo hay, porque el cómputo puede ser potencialmente infinito).

El Principio Generador viene entonces en nuestra ayuda. Aplicado covenientemente este principio nos dice que "Ser un cómputo" (secuencia generadora) y "Ser una salida del programa" (secuencia generada) son expresables. Más aún: la relación "y es la salida correspondiente a la entrada x" es expresable. Llegado a este punto es casi inmediato probar que toda propiedad recursiva es expresable.

Dado que "Ser un axioma aritmético" es, por hipótesis, una propiedad recursiva, entonces "Ser un axioma aritmético" es expresable.

Hay aquí un punto que debe destacarse: la recursividad de la hipótesis se refiere a los enunciados en sí, es decir, a las secuencias de símbolos, mientras que en el párrafo anterior nos referimos en realidad a la propiedad "Ser el código de un axioma aritmético", es decir, a una propiedad de los códigos.

Pero la función que asigna códigos a las expresiones es recursiva. Más exactamente, existe un algoritmo que, dada una expresión, perimte calcular su código, y hay otro algoritmo que, dado un número, determina si éste es, o no es, el código de una expresión (y, en caso de que lo sea, determina de qué expresión se trata). De modo que puede probarse que: "Ser un axioma" (en cuanto propiedad de las expresiones) es recursiva si y sólo si "Ser el código de un axioma" (en cuanto propiedad numérica) es recursiva.

Otro punto importante: acabamos de decir que "Ser el código de una expresión" es una propiedad recursiva. En realidad lo mismo sucede con todas las propiedades que hemos venido estudiando: "Ser el código de un término", "Ser el código de una fórmula", etc. ¿No se podría haber usado el teorema anterior para resolver de un solo golpe todos los pasos que hemos venido siguiendo: "Ser una variable", "Ser un término", etc.? La respuesta, definitivamente, es que sí. ¿Por qué no lo hicimos de esa manera entonces?

En "Gödel para todos" sí lo hemos hecho de esa manera. En el libro se demuestra el teorema general que he dado más arriba y de él se deduce todo lo demás. Esto tiene la ventaja de ocupar menos espacio (ventaja nada desdeñable al escribir un libro) pero además tiene la ventaja de que se ve fácilmente que la demostración se puede llevar a cabo sobre cualquier lenguaje formal, no importa cuál sea su sintaxis (siempre que se cumplan condiciones muy generales de recursividad).

En este foro quise hacer una demostración más explícita, donde se vea mejor el espíritu que está detrás de la prueba y que, dicho sea de paso, estuviera más cercana a la demostración original de Gödel (ya que Gödel mismo hizo una demostración paso a paso como la que vengo haciendo aquí, probando primero que "Ser una variable" es expresable, etc.)

Tenemos, en resumen, que "Ser una axioma aritmético" es expresable. En consecuencia, "Ser un axioma (lógico o aritmético)" es expresable.

Continuará...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 06 Julio, 2009, 04:48 pm
"Ser demostrable" es expresable:

Hemos visto que "Ser un axioma" es expresable. Gracias al Principio Generador podemos deducir que "Ser una demostración" es también expresable. Con más precisión, la relación "x es el código de una demostración" es expresable.

Por otra parte, "Ser la última expresión en una sucesión de expresiones aritméticas" es también expresable. Esto se debe a que "y es el código de la última expresión en la sucesión de código x" equivale a que "la concatenación de los tres siguientes números, en ese orden: el código de \( \otimes{} \),  el número y, el código de \( \otimes{} \), es sufijo de x".

Como consecuencia de todo esto tenemos que la relación "x es el código de una demostración de la fórmula de código y" (es decir, "la fórmula de código y es la última en la demostración de código x") es expresable. Dado que usarenos muchas veces esta relación, la indicaremos como Dem(x, y).

Destaco un hecho: Dem(x, y) es la abreviatura de una larga fórmula escrita en el lenguaje formal, en la que x e y son las únicas variables libres, cuyo significado es: "x es el código de una demostración de la fórmula de código y".

Al hablar de "significado" podría llegar a entenderse que hemos introducido un concepto no fiinitario, pero esto es sólo aparente porque la condición "x es el código de una demostración de la fórmula de código y" puede traducirse a condiciones puramente sintácticas entre los números x e y, verificables todas ellas mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Es decir, existe un algoritmo que, dados los números n y m, puede verificar en una cantidad finita de pasos si \( Dem(\overline{n}, \overline{m}) \) se cumple o no. (Donde \( \overline{n} \) y \( \overline{m} \) son los numerales correspondientes a los números n y m.)

"y es el código de una fórmula demostrable" se puede expresar entonces como \( \exists{x}Dem(x,y) \) (es decir, "existe una demostración de la fórmula de código y"). Por lo tanto "Ser el código de una fórmula demostrable" es expresable.

Nota: Que \( x \) es el código de una demostración, que \( y \) es el código de una  de una fórmula, y que \( y \) es el código de la última expresión en la sucesión de código \( x \) son todas propiedades recursivas, por lo que el hecho de que sean expresable se puede deducir del teorema general que dice que toda propiedad recursiva es expresable. Sin embargo, por sí sola, la propiedad "y es el código de una fórmula demostrable" no es recursiva (aunque sí expresable).

Nos habíamos propuesto el objetivo de probar que "Ser demostrable" es expresable y lo hemos logrado. Habíamos dicho, a modo de ejemplo, que queríamos que el lenguaje formal fuera capaz de decir "1 + 1 = 2 es demostrable". En efecto, si llamamos \( n_0 \) al código de S0 + S0 = SS0 entonces "1 + 1 = 2 es demostrable" equivale a \( \exists{x}Dem(x,y/\overline{n_0}) \).

Nota: Hemos probado que "Ser una fórmula demostrable" es expresable ¿Qué pasa con los enunciados? Recordemos que los enunciados son casos particulares de fórmulas y volvamos a "1 + 1 = 2 es demostrable", que se traduce como \( \exists{x}Dem(x,y/\overline{n_0}) \). En realidad esta traducción dice, correctamente, "\( \overline{n_0} \) es el código de una fórmula demostrable" y con eso es sificiente a todos los efectos ya que, fórmula o enunciado, lo que nos interesa decir es que "1 + 1 = 2 es demostrable". Por eso en el título de este comentario puse que "Ser demostrable" es expresable, sin indicar si me refería a fórmulas o a enunciados.

De este modo terminamos la primera parte de la demostración del Teorema de Gödel.

Nuestro objetivo ahora es introducir en el lenguaje la capacidad de autorreferencia. Es decir, la posibilidad de tener fórmulas que se refieran a sí mismas. O, con más exactitud, que se refieran a sus propias condiciones sintácticas (hace ya algún tiempo habíamos hablado de la diferencia entre la autorreferencia semántica y la autorreferencia sintáctica).

El lenguaje formal ya nos permite escribir enunciados que digan: "El código de tal o cual fórmula es el código de una fórmula demostrable".

Ahora queremos que el lenguaje nos permita escribir: "El código de este mismo enunciado es el código de una fórmula demostrable", o, más brevemente, "Yo soy demostrable".

El objetivo, en última instancia es, mediante la negación de la última afirmación del párrafo anterior, llegar a un enunciado que diga: "Yo no soy demostrable".

Para introducir esa autorreferencia sintáctica, la herramienta básica es una función llamada función diagonal. Queremos definir esta función y probar que es expresable. La expresabilidad puede probarse, o bien deduciéndola directamente del hecho de que la función es recursiva (como se hizo en "Gödel para todos"), o bien siguiendo el camino más largo y más explícito que hemos venido transitando. Seguiremos, desde luego, por el camino largo y explícito. Pero antes de llegar a la función diagonal en sí, necesitamos dos preliminares técnicos, a los cuales nos abocaremos en breve.

Continuará...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 08 Julio, 2009, 02:05 pm
La autorreferencia sintáctica.

Antes de entrar en los detalles técnicos de la definición de la función diagonal quiero explicar la idea que nos lleva a ella:

Nuestro objetivo es escribir en el lenguaje de la aritmética un enunciado cuyo significado sea "Mi código no es el código de un enunciado demostrable" (que podemos parafrasear como "Yo no soy demostrable").

Ya vimos que, dado un número n, podemos escribir en el lenguaje formal una afirmación que significa "El número n no es el código de una fórmula demostrable". La escritura es: \( -\exists{x}Dem(x,\overline{n}) \). (Donde \( \overline{n} \) es el el numeral que corresponde a n, es decir el nombre de n en el lenguaje formal.)

Como primera observación, notemos que el código de \( -\exists{x}Dem(x,\overline{n}) \) depende del valor de n elegido. Para lograr la autorreferencia, necesitamos hallar un número n tal que el código de \( -\exists{x}Dem(x,\overline{n}) \) sea el mismo número n. De esta manera, \( -\exists{x}Dem(x,\overline{n}) \) estará refiriéndose a su propio código.

Generalizando un poco, dada una fórmula \( P(x) \), queremos ver que existe (y, más aún, queremos ver cómo se puede calcular efectivamente) un número n tal que el código de \( P(x/\overline{n}) \) sea n. Habrá algunas complejidades técnicas en medio, pero ésta es la idea general.

Nota: Si g es una función, se llama punto fijo de esa función a un número n tal que g(n) = n. Visto de esta forma, podemos decir que estamos buscando un punto fijo de \( g(n) = c\'od(-\exists{x}Dem(x,\overline{n})) \).

Si identificamos a la función g con el conjunto de todos los pares (n,m) tales que g(n) = m, puntos en una enorme matriz, los puntos fijos están en la "diagonal" de esa matriz, que son aquellos de la forma (n,n). Por esta razón es que la palabra "diagonal" aparece en esta parte de la demostración.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 09 Julio, 2009, 02:46 pm
La función diagonal: la idea.

Queremos lograr que, de alguna manera, el lenguaje formal sea autorreferente, que haya enunciados que hablen de sí mismos. Antes de pasar a los detalles técnicos, quiero explicar la idea de cómo se logra esto.

Vamos a definir una función d(n), llamada función diagonal, de esta manera: si n es el código de la fórmula P(x) entonces d(n) es el código de P(n). (Donde P(n) es el modo informal de escribir \( P(x/\overline{n}) \).)

¿Para qué nos sirve esta función? Dada la fórmula P(x), escribamos la fórmula P(d(x)). Sea n el código de P(d(x)). Por definición de la función diagonal, d(n) el código de P(d(n)). Si llamamos m = d(n) entonces m es el código de P(m).

Si entendemos que P(m) dice "m cumple la propiedad P" y m es el código de P(m) entonces P(m) dice "Mi código cumple la propiedad P". Hemos logrado de esta forma la autorreferencia. (Como cód(P(m)) = m, tenemos entonces el punto fijo del que hablábamos en el comentario anterior.)

Lo que acabo de hacer no es más que un boceto, un modo informal de esntender la idea, ahora debemos hacer el dibujo correctamente, es decir, trataremos de llevar la idea esbozada a la práctica.

Observemos para empezar que para que P(d(x)) tenga un código, d(x) debe ser expresable en el lenguaje de la aritmética. Nuestros objetivos ahora son:

1. Definir correctamente la función diagonal.
2. Probar que es expresable (aquí aparecen los preliminares técnicos a los que me referí unos comentarios atrás).
3. Escribri el enunciado que diga: "Yo no soy demostrable".

Continuará...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 09 Julio, 2009, 03:39 pm
Comencemos con una observación: sintácticamente \( P(x) \), \( P(y) \), \( P(z) \),... son todas fórmulas diferentes (no tienen exactamente los mismos símbolos). Pero, si \( t \) es un término cualquiera, entonces \( P(x/t) \), \( P(y/t) \), \( P(z/t) \),... sí son todas, sintácticamente, la misma fórmula.

Fijemos una variable, digamos \( x \) (formalmente deberíamos escribir \( v_| \).) Si \( P(y) \) es una fórmula con \( y \) como única variable libre y \( t \) es un término cualquiera, entonces puede probarse que \( P(y/t) \) es equivalente a \( \forall{x}(x=t\Rightarrow{P}) \). (Que, a su vez, deberíamos escribir \( -\exists{x}-(x=t\Rightarrow{P(y/x)}) \).)

Más allá de las interpretaciones semánticas (es decir, más allá de pensar en el significado de las fórmulas) esta equivalencia puede probarse sintácticamente: si tomamos como premisa \( P(y/t) \) entonces  puede deducirse sintácticamente (a partir de los axiomas lógicos y las reglas de inferencia) \( \forall{x}(x=t\Rightarrow{P(y/x)}) \), y viceversa.

Definición: Si \( P(y) \) es una fórmula con una variable libre, llamaremos \( P[t] \) a la fórmula \( \forall{x}(x=t\Rightarrow{P(y/x)}) \).

Dado que son equivalentes, al definir la función diagonal usaremos \( P[\overline{n}] \) en lugar de \( P(x/\overline{n}) \). La ventaja que obtenemos es de tipo técnica.

Definamos ahora la función h(n,m) de la siguiente manera:

h(n,m) es la concatenación de estos números, en el orden indicado: el código de la expresión "\( \forall{x}(x= \)", el número m, el código de "\( \Rightarrow{} \)", el número n, el código del paréntesis ")".

Como x es la misma variable que fijamos antes (en realidad, \( v_| \)) entonces el código de "\( \forall{x}(x= \)" es un número fijo (una constante, en el sentido habitual de la palabra), por lo que es claro que h(n,m) es expresable. (En lugar de "\( \forall{x}(x= \)" deberíamos poner "\( -\exists{v_|}-(v_|= \)".)

Observemos qoe h(n,m) está definida para cualquier par de números (n,m), ahora bien, en el caso particular en que n sea el código de una fórmula P(x) (donde x es la variable que fijamos antes), y m sea el código de un término t, entonces h(n,m) es el código de P[t] (que es equivalente a P(x/t)).

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg93129.html#msg93129)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 09 Julio, 2009, 06:09 pm
Hola. El tesón de Gustavo es admirable.
Al parecer ha quedado un poco solo.
En mi caso personal he tenido problemas de tiempo, pero aún así sigo trabajando ''en las sombras'' en todo este asunto de Godel.
Intento contribuir con la implementacón concreta de algoritmos concretos para la PC, que funcionen, y que se vea claramente al correr los programas qué es lo que está pasando.
El primer programa que puse en Python servía para deducir si determinada expresión pertenecía o no al lenguaje, y si era o no una variable, un término, una fórmula, una sucesión de fórmulas, etc.
Ahora estoy tratando de implementar algoritmos para todo lo demás, y prestando atención a que estén correctamente escritos.

Muchas veces los programadores se contentan con su programa si ''les parece'' que está bien hecho, y no ha fallado al ponerlo a prueba con experimentos.
Pero con el tema de la metamatemática, y en particular el teorema de Godel, hay que tener además certeza formal de que los pasos del algoritmo conducen correctamente a la solución.

Por otra parte, también deseo que el programa se comunique en forma natural con el usuario, y que el resultado de los cálculos y análisis se presente en una forma entendible y legible por una persona, que no sea algo meramente maquinal.
La interface para hacer estas tareas ''visuales'' me llevó varios días, pero ya la terminé, y ahora estoy agregando todos los algoritmos que faltan, siguiendo los axiomas y reglas que está usando Gustavo acá en el foro, para ser coherentes.
En la parte ''visual'' se puede programar más relajadamente (más intuitivamente) que la parte puramente matemática, porque es sólo elegir un modo de presentar los resultados, y esto es ajeno al formalismo estrictamente matemático que se está debatiendo.

Espero terminarlo pronto para que todos puedan disfrutarlo.
El uso de Python me está ayudando a avanzar con rapidez y seguridad, así que me estoy volviendo un fan más de este lenguaje, que lo estoy aprendiendo al mismo tiempo que todo lo de Godel.

Es una humilde contribución, pero lo hago porque creo que hace falta ver estos conceptos en acción en la PC,  después de todo de eso se habla todo el tiempo, lo computable, axiomas dados como algoritmos, etc.
A mí mismo me hace falta para convencerme de cada uno de los pasos que se están dando.

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 09 Julio, 2009, 11:31 pm
Bueno, sin querer desalentar la utilización del computador en estos temas...Bueno, el caso es que en estos temas de teoría de la computación aparecen razonamientos sobre conjuntos infinitos (los cuales, obviamente no se pueden implementar en un computador).

Por ejemplo, el problema de la parada de la máquina de Turing, o la demostración de que el conjunto de las funciones recursivas totales no es recursivamente enumerable. Éstas son demostraciones que utilizan el método diagonal de Cantor. Creo que este tipo de demostraciones no las aceptaría un intuicionista. No son demostraciones constructivas ni finitistas.

Un saludo cordial.  :D
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 10 Julio, 2009, 06:35 am
De acuerdo, pero hay cosas que sí son finitistas, y las voy a programar.
Quiero entender dónde está la frontera de lo computable y lo no computable.
Además, las demostraciones de teoremas matemáticos supuestamente son computables.
Toda la matemática debiera ser computable.
Podría demostrar al menos algunos teoremitas sencillos con la computadora.

En realidad todos los teoremas matemáticos se pueden demostrar con reglas y axiomas finitistas,
o sea que se puede diseñar un programa que sea capaz de llevar a cabo cualquier demostración si uno se la pide.
Es decir, si existe la demostración de un teorema, la máquina puede llevarla a cabo, y en número finito de pasos, si es que estoy entendiendo bien todas estas cosas.

Los teoremas de Turing y sus equivalentes no son matemáticos, sino metamatemáticos.
Así que no me preocupa que no pueda probarse usando una computadora.

Aún en el terreno de las demostraciones hechas por una computadora, soy conciente de ciertas limitaciones prácticas.
Por ejemplo, aunque una demostración sea perfectamente realizable por una máquina, es posible que sea tan complicada que lleve millones de años de procesamiento. Eso podría pasar por ejemplo con una proposición lógica muy rebuscada, como las que dan la cota superior en el calculo de complejidad del problema de Satisfabilidad de orden \( k  \geq  3 \) (Un típ¡co problema de la clase NP).
Así que no voy a intentar hacer un programa que demuestre cualquier teorema, aún sabiendo de antemano si es demostrable, porque en ese caso, además de realizar un algoritmo correcto, debe ser eficiente, lo cual lleva otro tipo de trabajo.

Lo que estoy diseñando es una especie de calculadora metalógica, con la que uno puede jugar un poco, y hacer experimentos.
Acá en casa me estoy divirtiendo con el programita.
Y aquello que no sea finitista en el teorema de Godel... ya veremos qué pasa.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 10 Julio, 2009, 04:04 pm
Vaya, parece que se me pasó algún mensaje de advertencia de que había nuevas participaciones en el hilo y rinconmatematico ha dejado de enviarme mensajes de aviso. Ingenuamente creí que Gustavo había iniciado sus vacaciones de verano (!) y se había tomado un respiro. Así que me incorporo ahora con retraso.

Es impresionante la demostración que Gustavo está desarrollando. No he visto nunca nada parecido en cuanto al detalle y la claridad. Está haciendon algo muy parecido a la exposición original de Gödel pero con demostraciones mucho más detalladas. La idea de la expresión de los códigos en números binarios con 1 y 2 es genial; hace diáfanas las demostraciones.

Merece la pena seguir con detalle esta exposición. Intentaré ponerme al día.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 10 Julio, 2009, 05:08 pm
Ahora queremos que el lenguaje nos permita escribir: "El código de este mismo enunciado es el código de una fórmula demostrable", o, más brevemente, "Yo soy demostrable".

El objetivo, en última instancia es, mediante la negación de la última afirmación del párrafo anterior, llegar a un enunciado que diga: "Yo no soy demostrable".

Gustavo, se entiende perfectamente lo que quieres decir ahí: que si 'el código de este mismo enunciado es el código de una fórmula demostrable' es expresable, entonces 'el código de este mismo enunciado no es el código de una fórmula demostrable' es también expresable utilizando los mismos recursos expresivos que en la anterior más la negación. Pero conviene advertir que la segunda expresión no es la negación de la primera, porque el enunciado al que se refiere cada una no es el mismo.

Sabes que la expresión que dice de sí misma que es demostrable es la llamada 'sentencia de Henkin', de la que Loeb (o Löb) demostró en los cincuenta que es demostrable (y, por tanto, verdadera); la expresión que dice de sí misma que no es demostrable es la sentencia de Gödel, que, aunque no es demostrable, es también verdadera (siempre en la interpretación estándar). Por tanto, no es la negación de la anterior.

Sucede lo que en las oraciones:

'esta oración contiene exactamente seis palabras'

y

'esta oración no contiene exactamente seis palabras'

Ambas son verdaderas.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 10 Julio, 2009, 05:48 pm
Quiero entender dónde está la frontera de lo computable y lo no computable.

Está exactamente ahí.

Citar
Además, las demostraciones de teoremas matemáticos supuestamente son computables.

Sí, para todo teorema (para el que tengas una demostración, valga la redundancia) puedes diseñar un sistema del que sea un teorema y, por tanto, un programa que lo demuestre.
 
Citar
Toda la matemática debiera ser computable.

Eso no. Hay problemas (que siempre involucran un número infinito de casos, "mass problems" en inglés) que ningún algoritmo puede resolver: podemos definir clases de naturales tales que ningún programa es capaz de decidir para todo natural n si n pertenece a la clase en cuestión; por ejemplo, el conjunto de los códigos de máquinas de Turing que paran cuando se les da su propio código como input (el "halting set").

Date cuenta de que esto y lo anterior son dos cuestiones diferentes: aunque para todo teorema hay un programa que lo demuestra, no todos los problemas matemáticos son computables.

Citar
Los teoremas de Turing y sus equivalentes no son matemáticos, sino metamatemáticos.
Así que no me preocupa que no pueda probarse usando una computadora.

Yo no diría eso: los teoremas metamatemáticos son teoremas matemáticos, la metamatemática es una parte de la matemática; es decir, la matemática sin la metamatemática es la matemática en un sentido especial y restringido. Además, el teorema de Turing es demostrable mediante un programa igual que cualquier otro teorema matemático, tal como señalabas. Basta explicitar los axiomas y las reglas de inferencia que uno ha usado en la demostración, y eso permite crear un programa que la realiza.

Esto, sin embargo, no implica que exista un programa capaz de demostrar toda verdad matemática (lo que contradiría los resultados de Gödel, Church, Turing, Matijasevich, etc.). Ni siquiera implica que exista un programa capaz de demostrar todo cuanto la razón humana pueda eventualmente demostrar. Es la diferencia (en el orden de los cuantificadores) entre el enunciado:

'para todo teorema eventualmente demostrable existe un programa que lo demuestra'

que parece a todas luces verdadero, y el enunciado más fuerte:

'existe un programa que demuestra todo teorema eventualmente demostrable'

que es muy discutible.
 
Citar
Así que no voy a intentar hacer un programa que demuestre cualquier teorema

Muy sensato  ;)

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 10 Julio, 2009, 06:20 pm

Citar
Toda la matemática debiera ser computable.

Eso no. Hay problemas (que siempre involucran un número infinito de casos, "mass problems" en inglés) que ningún algoritmo puede resolver: podemos definir clases de naturales tales que ningún programa es capaz de decidir para todo natural n si n pertenece a la clase en cuestión; por ejemplo, el conjunto de los códigos de máquinas de Turing que paran cuando se les da su propio código como input (el "halting set").

Date cuenta de que esto y lo anterior son dos cuestiones diferentes: aunque para todo teorema hay un programa que lo demuestra, no todos los problemas matemáticos son computables.

Bueno, esto lo entiendo, sólo que me expresé mal.
En lo que estaba pensando era algo como "todos los teoremas que en matemática forman una demostración son demostrables con computadora", y a esa totalidad lo llamé "matemática"... Pero:

Citar
Los teoremas de Turing y sus equivalentes no son matemáticos, sino metamatemáticos.
Así que no me preocupa que no pueda probarse usando una computadora.

Yo no diría eso: los teoremas metamatemáticos son teoremas matemáticos, la metamatemática es una parte de la matemática; es decir, la matemática sin la metamatemática es la matemática en un sentido especial y restringido. Además, el teorema de Turing es demostrable mediante un programa igual que cualquier otro teorema matemático, tal como señalabas. Basta explicitar los axiomas y las reglas de inferencia que uno ha usado en la demostración, y eso permite crear un programa que la realiza.


Bueno, esto último que dijiste no lo tengo muy claro.
Creo que no estoy entendiendo cuáles son los límites de la matemática, a qué se considera matemática.
¿O es que esos límites no están claros?
Aunque por otro lado me olvidé de que Godel relaciona directamente la metamatemática con un sistema aritmético, y entonces ambas cosas son parte de un mismo tema de estudio...

Pero bueno. Si a la metamatemática le ponemos axiomas y reglas de inferencia, ¿seguimos hablando de lo mismo?
Hasta ahora lo que vengo entendiendo es que la metamatemática acepta una versión intuicionista de número natural, o de finitud, y unas reglas de inferencia bastante estrictas, que involucran el manejo de símbolos de un cierto lenguaje, y nada más.
Pero todo eso me parece que está como ''en el aire''.

Si yo formalizo la metamatemática en un sistema de símbolos, para estudiarla deberé recurrir a una meta-meta-matemátca, ¿o no? No creo que sea sano proceder de ese modo, porque así nunca le encuentra uno la punta al ovillo.
Después a alguno se le ocurre aceptar que le pongamos un sistema formal a la meta-meta-matemátca, y entonces para demostrar hechos sobre ella tendríamos que hacerlo con una meta-meta-meta-matemátca, y así sigue la historia.

¿O cómo es esto?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 10 Julio, 2009, 06:34 pm
Gustavo, se entiende perfectamente lo que quieres decir ahí: que si 'el código de este mismo enunciado es el código de una fórmula demostrable' es expresable, entonces 'el código de este mismo enunciado no es el código de una fórmula demostrable' es también expresable utilizando los mismos recursos expresivos que en la anterior más la negación. Pero conviene advertir que la segunda expresión no es la negación de la primera, porque el enunciado al que se refiere cada una no es el mismo.

Sucede lo que en las oraciones:

'esta oración contiene exactamente seis palabras'

y

'esta oración no contiene exactamente seis palabras'

Ambas son verdaderas.

Tu aclaración es perfecta.

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 10 Julio, 2009, 06:55 pm
Argentinator, yo diría que los límites de la matemática no están claros.

Hace ya unos años hubo un hilo en el foro general (creo) en el que se planteaba qué es la matemática. Yo propuse lo único que vislumbro, a saber, que matemáticas es todo aquello para lo que podemos demostrar teoremas. Según esto la lógica y la metamatemática serían también matemáticas.

Cuando propuse esa misma idea en sci.logic, Aatu Koskensilta me preguntó si, en el caso de que alguien demostrara como un teorema la existencia de Dios, yo consideraría que está haciendo matemáticas; y le dije que sí; y que además en ese caso aparecería en poco tiempo una multitud de matemáticos con demostraciones alternativas, más sencillas, involucrando otros axiomas, etc. Y se crearía toda una disciplina, a saber, la Teología Matemática.

A veces utilizo otra definición más personal de la matemática: aquello cuyo estudio que me provoca sudores.  :'(

En cuanto a la meta-meta-meta-...-matemática, me temo que eso es como tú te temes: la metateoría (o parte de ella) de un sistema puede formalizarse en otro sistema (con frecuencia, pero no necesariamente, estrictamente más potente) y así indefinidamente; a veces parte de la metamateoría de un sistema puede formalizarse en ese mismo sistema (es lo que Gustavo nos viene mostrando), pero nunca toda (es lo que el teorema de Gödel demuestra).

En concreto, ningún sistema consistente que contenga la aritmética de Peano puede demostrar su propia consistencia; Gustavo nos adelantó este resultado, que suele llamarse el segundo teorema de Gödel. Así que puedes partir de un sistema como el que Gustavo ha descrito (llámalo PA), que es sin duda consistente, y añadirle un axioma afirmando la consistencia de PA; tienes entonces el sistema PA*, más potente que PA pero que tampoco demuestra su propia consistencia; eso te permite construir PA**, etc.

Generalmente se considera que estos sistemas recurrentes se extienden a través de los ordinales conjuntistas hasta un cierto ordinal transfinito que definieron Church y Kleene. La idea de estas iteraciones parte de un artículo de Turing de 1939 y fue retomada por Feferman en los sesenta (creo); Franzén da una visión general en su 'Inexhaustibility. A Non-Exhaustive Treatment'.

Pero sí: dado un sistema consistente S, hay siempre otro sistema consistente S* que formaliza una parte mayor de la metateoría de S que S mismo.

¡Qué le vamos a hacer!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 10 Julio, 2009, 07:00 pm
En cuanto a la meta-meta-meta-...-matemática, me temo que eso es como tú te temes:

[...]

Generalmente se considera que estos sistemas recurrentes se extienden a través de los ordinales conjuntistas hasta un cierto ordinal transfinito que definieron Church y Kleene. La idea de estas iteraciones parte de un artículo de Turing de 1939 y fue retomada por Feferman en los sesenta (creo); Franzén da una visión general en su 'Inexhaustibility. A Non-Exhaustive Treatment'.

Bueno, pero entonces ¿hay algún ordinal donde toda esta recurrencia se termina?
Eso me daría algo de alivio por ahora.
 ???
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Numerarius en 10 Julio, 2009, 07:24 pm
Quiero entender dónde está la frontera de lo computable y lo no computable.

Está exactamente ahí.

Citar
Además, las demostraciones de teoremas matemáticos supuestamente son computables.

Sí, para todo teorema (para el que tengas una demostración, valga la redundancia) puedes diseñar un sistema del que sea un teorema y, por tanto, un programa que lo demuestre.
 
Citar
Toda la matemática debiera ser computable.

Eso no. Hay problemas (que siempre involucran un número infinito de casos, "mass problems" en inglés) que ningún algoritmo puede resolver: podemos definir clases de naturales tales que ningún programa es capaz de decidir para todo natural n si n pertenece a la clase en cuestión; por ejemplo, el conjunto de los códigos de máquinas de Turing que paran cuando se les da su propio código como input (el "halting set").

Date cuenta de que esto y lo anterior son dos cuestiones diferentes: aunque para todo teorema hay un programa que lo demuestra, no todos los problemas matemáticos son computables.

Citar
Los teoremas de Turing y sus equivalentes no son matemáticos, sino metamatemáticos.
Así que no me preocupa que no pueda probarse usando una computadora.

Yo no diría eso: los teoremas metamatemáticos son teoremas matemáticos, la metamatemática es una parte de la matemática; es decir, la matemática sin la metamatemática es la matemática en un sentido especial y restringido. Además, el teorema de Turing es demostrable mediante un programa igual que cualquier otro teorema matemático, tal como señalabas. Basta explicitar los axiomas y las reglas de inferencia que uno ha usado en la demostración, y eso permite crear un programa que la realiza.

Esto, sin embargo, no implica que exista un programa capaz de demostrar toda verdad matemática (lo que contradiría los resultados de Gödel, Church, Turing, Matijasevich, etc.). Ni siquiera implica que exista un programa capaz de demostrar todo cuanto la razón humana pueda eventualmente demostrar. Es la diferencia (en el orden de los cuantificadores) entre el enunciado:

'para todo teorema eventualmente demostrable existe un programa que lo demuestra'

que parece a todas luces verdadero, y el enunciado más fuerte:

'existe un programa que demuestra todo teorema eventualmente demostrable'

que es muy discutible.
 
Citar
Así que no voy a intentar hacer un programa que demuestre cualquier teorema

Muy sensato  ;)



Vaya. Es cierto que, por la tesis de Church-Turing, cualquier teorema que se demuestra en matemáticas debería ser calculable  por una función recursiva.

Ahora bien, teniendo en cuenta que el conjunto de las máquinas de Turing es infinito-numerable, entonces ¿cómo se demuestra mediante una función recursiva, un teorema acerca de las máquinas de Turing (por ejemplo el "Halting Problem"?

Un saludo cordial.  :)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 10 Julio, 2009, 07:28 pm
Ahora bien, teniendo en cuenta que el conjunto de las máquinas de Turing es infinito-numerable, entonces ¿cómo se demuestra mediante una función recursiva, un teorema acerca de las máquinas de Turing (por ejemplo el "Halting Problem"?

Un saludo cordial.  :)

Tengo la misma duda... Mi programa en Python tiene hambre de respuestas
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 11 Julio, 2009, 03:48 am
Hola Gustavo, yo te estoy siguiendo minuciosamente.

Tus últimas construcciones técnicas empiezan a despejar algunos de mis nubarrones.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Julio, 2009, 04:25 am
Definamos ahora la función g(n) del siguiente modo: \( g(n) = c\'od(\overline{n}) \). es decir, la función g le asigna a cada número n el código de su numeral (el código de su "nombre"). (Recordemos que \( \overline{n} \) se define como \( SS\ldots S0 \) donde la S aparece n + 1 veces.)

Queremos probar que g es expresable. Es decir, que la relación binaria "y = g(x)" es expresable.

Para hacerlo usaremos una variante del Principio Generador. La diferencia es que antes trabajamos con sucesiones de expresiones aritméticas y ahora trabajaremos con sucesiones de pares ordenados de expresiones aritméticas.

En el lenguaje formal al par ordenado de expresiones aritméticas \( (E_i,F_i) \) lo indicaremos como \( E_i\otimes{}\otimes{}F_i \). La sucesión de pares:

\( (E_1,F_1),(E_2,F_2),\ldots ,(E_k,F_k) \)

la escribiremos como:

\( \otimes{}E_1\otimes{}\otimes{}F_1\otimes{}E_2\otimes{}\otimes{}F_2\otimes{}\ldots \otimes{}E_k\otimes{}\otimes{}F_k\otimes{} \)

De manera similar a como lo hicimos para las sucesiones de expresiones aritméticas, se puede probar que:

1. "Ser un par ordenado de expresiones aritméticas" es expresable.
2. "Ser una sucesión de pares ordenados de expresiones aritméticas" es expresable.
3. La relación "El par ordenado de expresiones aritméticas (E,F) aparece en la sucesión H" es expresable.
4. La relación "Los pares ordenados de expresiones aritméticas (E,F) y (E',F') aparecen consecutivamente, en ese orden, en la sucesión H" es expresable.

Diremos que una sucesión de pares ordenados de expresiones aritméticas corresponde a la función g si se cumple que:

1. El primer par de la sucesión es (0,8). (Traducido, claro está, al lenguaje formal, es decir, la sucesión comienza con \( \otimes{}0\otimes{}\otimes{}SSSSSSSS0\otimes{} \). La elección del 8 se debe a que 8 = g(0).)
2. Si (x,y) aparece en la sucesión entonces (x,y) y (Sx,z) son consecutivos en la sucesión, donde z se obtiene de concatenar el código de S con y.

Es fácil ver que "Ser una sucesión de pares ordenados de expresiones aritméticas que corresponde a la función g" es expresable.

Por otra parte, una sucesión que corresponde a g es siempre de este tipo: (0,g(0)), (1,g(1)), (2,g(2)),..., (k,g(k)). Por lo tanto:

"y = g(x)" si y sólo si existe una sucesión que corresponde a g en la que aparece el par (x,y). Como todas estas condiciones son expresables, entonces g es expresable.

Nota: Podemos generalizar el razonamiento que hicimos para g y probar que si f es una función tal que el valor de f(0) es conocido y el procedimiento para calcular f(n + 1) a partir de f(n) es expresable, entonces f es expresable.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Julio, 2009, 04:42 am
La función diagonal

Hemos definido antes una función h(n,m), que puede calcularse para todo par (n,m), pero que en el caso particular en que n es el código de una fórmula P(x) y m es el código de un término t entonces h(n,m) es el código de P[t]. (En este párrafo y en todo lo lo que sigue, x representa la variable \( v_| \).)

P[t] es una cierta fórmula que se escribe a partir de t y P. Vimos antes cómo se define, basta recordar aquí que su característica principal es que P[t] es equivalente a P(x/t). Esta equivalencia es sintáctica, es decir, a partir de P[t] (por medio de axiomas lógicos y reglas de inferencia) se puede deducir P(x/t), y viceversa. Esto implica que P[t] es demostrable (a partir de un cierto conjunto de axiomas) si y sólo si P(x/t) es demostrable.

Vimos antes que la función h es expresable.

También hemos definido la función \( g(n)=c\'od(\overline{n}) \) y vimos que es expresable.

Definimos ahora la función diagonal d(n) del siguiente modo: d(n) = h(n,g(n)).

Es claro que la función d es expresable (esto se debe a que que \( d(x) = y \) si y sólo si \( \exists{z}(h(x,z) = y\wedge z = g(x)) \)).

Por otra parte, como g(n) es el código de un término, concretamente es el código del término \( \overline{n} \), tenemos que:

Si n es el código de una fórmula P(x) entonces d(n) es el código de \( P[\overline{n}] \).


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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 11 Julio, 2009, 12:37 pm
Vaya. Es cierto que, por la tesis de Church-Turing, cualquier teorema que se demuestra en matemáticas debería ser calculable  por una función recursiva.

Ahora bien, teniendo en cuenta que el conjunto de las máquinas de Turing es infinito-numerable, entonces ¿cómo se demuestra mediante una función recursiva, un teorema acerca de las máquinas de Turing (por ejemplo el "Halting Problem"?

Un saludo cordial.  :)

No, no es que todo teorema pueda demostrarse a través del cálculo de una función recursiva; no estoy diciendo que todo teorema sea un caso particular de cálculo de los valores de una función recursiva.

Es simplemente que si has demostrado un teorema puedes programar una máquina para que lo haga, basta con que reflexiones sobre los recursos que has empleado en la demostración y los reprresentes en un sistema formal axiomático; dado un sistema formal axiomático, existe siempre un programa que enumera sus teoremas.

Tomemos el teorema de Turing. Naturalmente Turing utilizó unos axiomas (explícitos o implícitos; es decir, unas proposiciones que asumió como verdaderas y que utilizó en la prueba) y unas leyes lógicas de inferencia. Estos axiomas pueden implicar conjuntos infinitos, incluso no numerables; lo único necesario es que encontremos un lenguaje de programación al que traducirlos. Todos esos axiomas y leyes lógicas pueden hacerse explícitos, y escribirse como un sistema formal. Y entonces podemos programar una máquina para que aplique esas leyes de inferencia a esos axiomas y derive el teorema de Turing.

Y así para cada teorema.

De esto, lógicamente, no puede darse una prueba matemática; se trata sólo de una conjetura extremadamente verosímil.

Naturalmente la máquina no estará realmente demostrando el teorema, sólo estará manipulando símbolos según las instrucciones recibidas. Pero aquellos que conozcan el significado de esos símbolos encontrarán en las manipulaciones de la máquina una prueba del teorema en cuestión. Las máquinas no tienen semántica, sólo sintaxis; para que lo que hacen se convierta en una demostración (o en un simple cálculo) es necesario que un ser con semántica aplique la clave y convierta las ristras de símbolos en pensamientos.

Pero claro, no existe el programa capaz de 'demostrar' todo teorema posible.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 11 Julio, 2009, 01:08 pm
En cuanto a la meta-meta-meta-...-matemática, me temo que eso es como tú te temes:

[...]

Generalmente se considera que estos sistemas recurrentes se extienden a través de los ordinales conjuntistas hasta un cierto ordinal transfinito que definieron Church y Kleene. La idea de estas iteraciones parte de un artículo de Turing de 1939 y fue retomada por Feferman en los sesenta (creo); Franzén da una visión general en su 'Inexhaustibility. A Non-Exhaustive Treatment'.

Bueno, pero entonces ¿hay algún ordinal donde toda esta recurrencia se termina?
Eso me daría algo de alivio por ahora.
 ???

Bueno, no exactamente. La situación es ésta: la iteración no puede hasta el primer ordinal no constructivo de Church-Kleene (que suele representarse como omega sub 1 elevado a CK). Pero este es un ordinal límite al que te puedes acercar indefinidamente pero que no puedes alcanzar mediante tus iteraciones.

Cuento un poquito más acerca de este ordinal y lo hago de manera muy informal.

Toma cualquier método de notación que te permita dar nombre (o 'construir') ordinales paso a paso desde 0. Cada uno de estos métodos se corresponde con una máquina de Turing y está representado en el cálculo lambda. Dado un método de estos, siempre habrá otro que te lleve más lejos (esto se llama a veces el teorema de Church-Kleene). El primer ordinal no constructivo de Church-Kleene es el menor ordinal que es inalcanzable por un método de construcción de ordinales paso a paso.

Deducimos que este ordinal existe porque hay sólo una cantidad enumerable de tales métodos (de tales máquinas de Turing) y cada uno de ellos sólo puede construir una cantidad enumerable de ordinales; pero hay una cantidad supernumerable de ordinales enumerables, de manera que debe haber un ordinal enumerable que sea inalcanzable por ninguno de esos métodos.

Se supone que al construir sistemas mediante iteración (añadiendo el axioma de consistencia de lo anterior), tienes que construir a la vez paso a paso los ordinales que recorres. Por tanto, no parece que la iteración pueda llevarse hasta el primer ordinal no constructivo. Sin embargo, esto no implica que vayas a encontrar un punto final en tu iteración: cualquiera puede ver que esa iteración de sistemas no puede tener un punto final; cada método se acerca indefinidamente a un ordinal límite sin alcanzarlo, pero además siempre habrá otros métodos de construcción que te lleven más y más lejos.

El que no haya un método para construir paso a paso todos los ordinales constructivos es fácil de ver. Primero: como cada uno de esos métodos sólo construirá una cantidad enumerable de ordinales, habrá siempre ordinales que no construye. Segundo: imagínate que tenemos un método capaz de construir todos los ordinales constructivos; hay dos casos posibles:

1. De estos ordinales hay un máximo: entonces podemos construir su sucesor; contradicción.
2. De estos ordinales no hay un máximo: entonces podemos construir el menor ordinal límite que los sobrepasa a todos, simplemente definiéndolo como la unión de todos los ordinales constructivos; de nuevo contradicción.

La clave está en que podemos ir siempre más allá de cuanto está algorítmicamente objetivado ante nuestros ojos. Este es el fenómeno de la 'inexhaustibilidad'.

Un saludo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 11 Julio, 2009, 01:30 pm
Gustavo, la demostración que has hecho de que la función diagonal es expresable es todo un lujo.

Generalmente te definen la función y te dicen que es obviamente recursiva; a continuación se refieren al teorema de que toda función recursiva es expresable y punto.

Imagino que has sustituido P(x/t) por P[t] porque la demostración de la expresabilidad de la función h(n, m) ofrece un camino más fácil para la demostración de que la función diagonal es expresable.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Julio, 2009, 03:22 pm
Imagino que has sustituido P(x/t) por P[t] porque la demostración de la expresabilidad de la función h(n, m) ofrece un camino más fácil para la demostración de que la función diagonal es expresable.

Exactamente. (El mérito se le debe atribuir a Raymond Smullyan.)

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Julio, 2009, 03:30 pm
Un último tecnicismo. El esquema lógico número 4 nos dice que toda fórmula del tipo:

\( \forall{x}P(x)\Rightarrow{P(x/t)} \)

es un axioma. Por otra parte, del esquema lógico número 3, que es:

\( (-Q\Rightarrow{-P})\Rightarrow{(P\Rightarrow{Q})} \)

se puede deducir que toda fórmula del tipo:

\( (Q\Rightarrow{P})\Rightarrow{(-P\Rightarrow{-Q})} \)

es demostrable.

De ambos hechos, deducimos que toda fórmula del tipo:

\( -P(x/t)\Rightarrow{-\forall{x}P(x)} \)

es demostrable. Luego, toda fórmula del tipo:

\( -P(x/t)\Rightarrow{\exists{x}-P(x)} \)

y también del tipo:

\( P(x/t)\Rightarrow{\exists{x}P(x)} \)

es demostrable.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Julio, 2009, 03:55 pm
El final de la demostración.

En todo lo que sigue, x es la variable \( v_| \).

Definimos P(z) como la fórmula \( -\exists{y}Dem(y,z) \). (Recordemos que \( Dem(y,z) \) expresa la relación "y es el código de una demostración de la fórmula de código z".)

Definimos Q(x) como \( \forall{z}(z=d(x)\Rightarrow{P(z)}) \).

Sea n = cód(Q(x)). Entonces \( d(n) = c\'od(Q[\overline{n}]) \). Llamamos m = d(n).

Los siguientes enunciados son equivalentes entre sí (esta equivalencia es sintáctica e implica que cualquiera de ellos es demostrable si y sólo si cualquiera de los otros lo es):

1. \( Q[\overline{n}] \)
2. \( Q(x/\overline{n}) \)
3. \( \forall{z}(z=\overline{m}\Rightarrow{P(z)}) \)
4. \( P[\overline{m}] \)
5. \( P(x/\overline{m}) \)

Llamemos G al enunciado \( P(x/\overline{m}) \), es decir, \( -\exists{y}Dem(y,\overline{m}) \).

Vamos a demostrar que ni G ni -G son demostrables.

Recordemos que hemos supuesto que se ha dado un sistema omega-consistente de axiomas aritméticos. (Que sea omega-consistente implica que es consistente.)

Si G es demostrable, entonces (por las equivalencias que mencionamos antes) \( Q[\overline{n}] \) es demostrable. Recordemos que el código de \( Q[\overline{n}] \) es m.

Sea k el código de una demostración de \( Q[\overline{n}] \), entonces \( Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado verdadero. La palabra "verdadero" se usa aquí en el sentido finitista, ya que \( Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado que expresa una propiedad de k y m que es verificable en una cantidad finita de pasos.

Como \( Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado finitista verdadero, entonces (por hipótesis) es demostrable. En consecuencia (por el tecnicismo que vimos antes) \( \exists{y}Dem(y,\overline{m}) \) es demostrable. Pero entonces -G es demostrable (ya que \( \exists{y}Dem(y,\overline{m}) \) es equivalente sintácticamente a -G). Esto contradice que el sistema es consistente, luego G no es demostrable.

Si -G es demostable entonces, por la consistencia del sistema, G no es demostrable. Luego, para todo k, \( -Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado finitista verdadero y, por lo tanto, demostrable. Por la omega-consistencia entonces \( \exists{y}Dem(y,\overline{m}) \) no es demostrable. Entonces -G no es demostrable. Esto contradice la hipótesis inicial. Por lo tanto, -G no es demostrable.

Vimos así que G no es demostrable, y que -G tampoco es demostrable. El sistema es, entonces, incompleto, Q.E.D.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Julio, 2009, 04:28 pm
Un comentario sobre la última parte de la demostración: ¿Dónde está la autorreferencia?

Hemos llamado m al código de \( Q[\overline{n}] \) y el enunciado G es \( -\exists{y}Dem(y,\overline{m}) \). Por lo tanto G dice "\( Q[\overline{n}] \) no es demostrable". Pero \( Q[\overline{n}] \) es equivalente a G, luego G es una afirmación de la que se deduce que ella misma no es demostrable.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Julio, 2009, 04:31 pm
Si el sistema de axiomas es omega-consistente entonces G es un enunciado verdadero y no demostrable. Pero si el sistema no es consistente, entonces G es un enunciado falso y demostrable (y -G es verdadero y también demostrable).
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Julio, 2009, 03:41 am
La versión de Rosser:

En 1936 John B. Rosser modificó la demostración de Gödel para que valiera para un sistema consistente, en lugar de un sistema omega-consistente. Veamos cómo lo hizo (para abreviar, esta vez omitiré algunos tecnicismos).

Definamos la función neg(x) del siguiente modo: neg(x) es la concatenación del código de "-" (símbolo de negación) con x. Si n es el código de una fórmula P entonces neg(n) es el código de -P. Es claro que neg es expresable.

Definamos P(z) como:

\( \forall{u}(Dem(u,z)\Rightarrow{\exists{w}(Dem(w,neg(z))\wedge w\leq{u})}) \)

Como antes, definimos Q(x) como:

\( \forall{z}(z=d(x)\Rightarrow{P(z)}) \)

Sea n = cód(Q(x)), luego \( d(n) = c\'od(Q[\overline{n}]) \).
Llamemos m = d(n).

Igual que hicimos antes, se prueba que \( Q[\overline{n}] \) es equivalente a \( P(x/\overline{m}) \).

Llamemos R al enunciado \( P(x/\overline{m}) \), es decir R es:

\( \forall{u}(Dem(u,\overline{m})\Rightarrow{\exists{w}(Dem(w,neg(\overline{m}))\wedge w\leq{u})}) \)

Podemos traducir a R como: "dada cualquier demostración de \( Q[\overline{n}] \) (que es un enunciado equivalente al propio R) existe una demostración de \( -Q[\overline{n}] \) que tiene un código menor que la demostración dada".

Más fácil: dada cualquier demostración de \( Q[\overline{n}] \) existe una demostración más corta de su negación.

Suponiendo que el sistema de axiomas es consistente, vamos a probar que ni R ni -R es demostrable.

Si R es demostrable, sea k el código de una demostración de k. Entonces \( Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado finitario verdadero y, por ende, demostrable.

Como R es demostrable, por aplicación del esquema lógico que permite reemplazar la variable u por el término \( \overline{k} \) tenemos que:
 
\( Dem(\overline{k},\overline{m})\Rightarrow{\exists{w}(Dem(w,neg(\overline{m}))\wedge w\leq{\overline{k}})}) \) es demostrable.

Por aplicación de la regla de modus ponens:

\( \exists{w}(Dem(w,neg(\overline{m}))\wedge w\leq{\overline{k}}) \) es demostrable.

Este último enunciado equivale a:

\( Dem(0,neg(\overline{m}))\vee Dem(\overline{1},neg(\overline{m}))\vee \ldots \vee Dem(\overline{k},neg(\overline{m})) \), que es también demostrable. Llamémoslo T.

Ahora bien, como el sistema es consistente entonces -R no es demostrable. Luego, \( -Dem(0,neg(\overline{m})) \), \( -Dem(\overline{1},neg(\overline{m})) \), \( -Dem(\overline{2},neg(\overline{m})) \),... son todos enunciados finitarios verdaderos y en consecuencia demostrables.

En consecuencia: \( -Dem(0,neg(\overline{m}))\wedge -Dem(\overline{1},neg(\overline{m}))\wedge  \ldots \wedge -Dem(\overline{k},neg(\overline{m})) \) es un enunciado finitista verdadero y demostrable. Pero este enunciado es la negación de T, luego el sistema no sería consistente. Por lo tanto, R no puede ser demostrable.

(Al agregar el inciso \( w\leq{\overline{k}} \) al existencial \( \exists{w}Dem(w,neg(\overline{m})) \) el enunciado se vuelve equivalente a la disyunción de una cantidad finita de enunciados y es por eso que ya no es necesaria la hipótesis de la omega-consistencia.)

Falta ver que -R no es demostrable. Supongamos que sí lo fuera y sea k el código de una demostración de -R.

Entonces \( Dem(\overline{k},neg(\overline{m})) \) es demostrable.

Luego,\( \exists{w}Dem(w,neg(\overline{m})) \) es demostrable.

Luego, \( \overline{k}\leq u\Rightarrow (\exists{w}Dem(w,neg(\overline{m}))) \) es demostrable y también es demostrable \( \overline{k}\leq u\Rightarrow \exists{w}(w\leq u) \).

En consecuencia, \( \overline{k}\leq u\Rightarrow (\exists{w}(Dem(w,neg(\overline{m}\wedge w\leq u)))) \) es demostrable.

Por otra parte, por la consistencia del sistema, R no es demostrable. De ello puede deducirse que:

\( u\leq \overline{k}\Rightarrow -Dem(u,\overline{m}) \) es demostrable.

Finalmente, entre las hipótesis de la versión de Rosser del teorema habíamos supuesto que \( \overline{k}\leq u\vee u\leq \overline{k} \) es demostrable. Se deduce así que:

\( -Dem(u,\overline{m})\vee \exists{w}(Dem(w,neg(\overline{m}\wedge w\leq u))) \)

es demostrable. Pero este enunciado es sintácticamente equivalente a R. Luego R sería demostrable, lo que contradice la hipótesis de la consistencia del sistema. Concluimos así que -R no es demostrable. Una vez más, Q.E.D.

Como antes, si el sistema es consistente, R es un enunciado verdadero y no demostrable. Pero si el sistema no es consistente entonces R es falso y demostrable.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 12 Julio, 2009, 08:22 pm
He fijado el presente hilo para que quede fácil de encontrar a todo el que lo busque  ;)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 12 Julio, 2009, 09:33 pm
Gustavo, dices que por hipótesis el sistema demuestra los enunciados finitistas verdaderos.

Como la demostración ha sido larga, es muy posible que no recuerde bien pero ¿por qué hipótesis? Quizá por esta:

Citar
Recordemos que hemos supuesto que se ha dado un sistema omega-consistente de axiomas aritméticos.

Pero ¿hemos demostrado que todo sistema aritmético omega-consistente demuestra todos los enunciados finitistas verdaderos? Tal vez sí pero no lo recuerdo.

Creo que me he perdido algo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Julio, 2009, 09:48 pm
Pero ¿hemos demostrado que todo sistema aritmético omega-consistente demuestra todos los enunciados finitistas verdaderos? Tal vez sí pero no lo recuerdo.

No lo hemos demostrado y en realidad no es cierto. Me refiero a las hipótesis del teorema, cuyo enunciado es: Todo sistema recursivo y omega-consistente de axiomas para el que todo enunciado finitista verdadero es demostrable, es incompleto.

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 12 Julio, 2009, 11:59 pm
Me refiero a las hipótesis del teorema, cuyo enunciado es: Todo sistema recursivo y omega-consistente de axiomas para el que todo enunciado finitista verdadero es demostrable, es incompleto.

Claro, ese era el tipo de sistemas para el que hacíamos la demostración.

Gracias.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 22 Julio, 2009, 04:26 pm
Dice Gustavo:

Citar
En todo lo que sigue, x es la variable \( v_| \).

Definimos P(z) como la fórmula \( -\exists{y}Dem(y,z) \). (Recordemos que \( Dem(y,z) \) expresa la relación "y es el código de una demostración de la fórmula de código z".)

Definimos Q(x) como \( \forall{z}(z=d(x)\Rightarrow{P(z)}) \).

Sea n = cód(Q(x)). Entonces \( d(n) = c\'od(Q[\overline{n}]) \). Llamamos m = d(n).

Los siguientes enunciados son equivalentes entre sí (esta equivalencia es sintáctica e implica que cualquiera de ellos es demostrable si y sólo si cualquiera de los otros lo es):

1. \( Q[\overline{n}] \)
2. \( Q(x/\overline{n}) \)
3. \( \forall{z}(z=\overline{m}\Rightarrow{P(z)}) \)
4. \( P[\overline{m}] \)
5. \( P(x/\overline{m}) \)

Llamemos G al enunciado \( P(x/\overline{m}) \), es decir, \( -\exists{y}Dem(y,\overline{m}) \).

En la equivalencia de los 5 enunciados me está costando probar que alguno de los dos primeros es equivalente a alguno de los otros tres. He reescrito algunas de las definiciones y teoremas desde la definición de \( P[t] \), pero aún así no logro situarme. ¿alguien podrá ayudarme?

Por cierto, la palabra "tecnicismo" no logra transmitir la elegancia e ingenio que hay detrás de esas soluciones. Me ha gustado mucho esta demostración que ha puesto Gustavo.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 22 Julio, 2009, 07:15 pm
Cristian, para darte cuenta de la equivalencia de las dos primeras fórmulas con la tercera no tienes más que recordar cómo han sido definidos Q(x) y m.

La equivalencia entre las tres primeras fórmulas es por definición: son tres maneras de llamar a la misma fórmula en el lenguaje del sistema.

Para la equivalencia entre la tercera y la cuarta, date cuenta de que la tercera fórmula viene a decir:

'si un número es el código de la diagonalización de (la fórmula cuyo código es) n entonces P vale de ese número';

es decir, dice que P vale de la diagonalización de n; y la diagonalización de n es m; luego la tercera fórmula equivale a P(m) (tomo 'm' como su propio numeral).

En realidad, sólo tienes que pasar de

'para todo x, si x=m, entonces P(x)'

a

'P(m)'.

El sistema descrito por Gustavo es claramente capaz de hacer esta deducción.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 23 Julio, 2009, 01:47 am
Gracias LauLuna, veré si encuentro el camino para \( Q[\overline{n}] \) equivalente a \( P[\overline{m}] \)


Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 23 Julio, 2009, 08:43 pm
Propongo un trato: yo hago la parte fácil y tú la que queda.

De  nuevo tomo 'n y m como sus propios numerales.

Supón Q(n).

Q(n) es por definición:

1. para todo x (x = d(n) -> P(x)).

Como hemos definido m = d(n), Q(n) es lo mismo que

2. para todo x (x = m -> P(x))

Eliminando el cuantificador universal en 2. tenemos:

3. m = m -> P(m)

Como 'm = m' es un axioma lógico, el sistema lo demuestra y tenemos:

4. m = m

Por Modus Ponens en 3. y 4. tienes:

5. P(m)

¡Venga!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 23 Julio, 2009, 09:55 pm
Te agradezco el esfuerzo, LauLuna, pero realmente ignoro qué es lo que has probado.

Partes de \( Q(n) \) pero debemos partir de \( Q[\bar{n}] \) que se define \( \forall{x}(x=\bar{n}\Rightarrow{Q(x)}) \)

Saludos.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 23 Julio, 2009, 10:26 pm
Tienes razón, Cristian.

He confundido Q(n) con Q[n].

Pero en realidad no hay gran diferencia. Puedes pasar de Q[n] a Q(n) por el método que he usado yo antes:

1. Q[n]
2. para todo x (x = n -> Q(x))
3. n = n -> Q(n)
4. n = n
5. Q(n)

De Q(n) a P[m] es muy fácil, dado que Q(n) es

     para todo x (x = d(n) -> P(x))

que es

     para todo x (x = m -> P(x))

que es

    P[m]

El camino inverso -es decir, desde los paréntesis a los corchetes- puede que tenga un poco más de dificultad.

Espero no haberme confundido de nuevo :(
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 24 Julio, 2009, 01:46 pm
Debo estar poniéndome viejo.
Gracias LauLuna. Salía con solo mirarlo un poco.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 31 Agosto, 2009, 01:50 am
10. \( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde \( F \) es una fórmula cualquiera.

Tengo una duda con este Axioma tal como está escrito.
Ocurre que Gustavo pone ese Axioma para una fórmula cualquiera,
mientras que en su libro Godel para todos ponen que la fórmula debe ser de tipo "atómica".
Quisiera estar seguro de cuál es la forma correcta.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 31 Agosto, 2009, 01:41 pm
10. \( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde \( F \) es una fórmula cualquiera.
Tengo una duda con este Axioma tal como está escrito.
Ocurre que Gustavo pone ese Axioma para una fórmula cualquiera,
mientras que en su libro Godel para todos ponen que la fórmula debe ser de tipo "atómica".
Quisiera estar seguro de cuál es la forma correcta.

Desde el punto de vista sintáctico (que es el que prevalece en ese punto de la demostración) los axiomas deben entenderse como indicación de qué fórmulas es lícito usar en las demostraciones formales.

Se puede probar (por inducción en la complejidad de las fórmulas) que si en el esquema citado sólo se toman fórmulas atómicas, entonces cualquier fórmula del tipo \( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde \( F \) es una fórmula cualquiera, es demostrable (y puede, por ende aparecer en cualquier demostración).

Por lo tanto, al definir el esquema citado, esencialmente es equivalente tomar "fórmulas atómicas" que "fórmulas cualesquiera" (equivalente en el sentido de que en ambos casos se habilita el uso de las mismas fórmulas).

De hecho, y ahora voy más allá de la pregunta, en realidad nos interesa que estén habilitadas las fórmulas del tipo \( s = t \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},s,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},t,z_{k+1}\ldots z_n) \), donde s y t son términos cualesquiera. Puede probarse (por inducción en la complejidad de s y t) que si se adopta el esquema 10 entonces toda fórmula de este último tipo es demostrable (y puede usarse en las demostraciónes formales, ya sea con fórmulas atómicas o cualesquiera).

En realidad, este último esquema no debe entenderse como "si s = t entonces se puede reemplazar s por t". Más bien debe leerse así: "si se puede probar que el término s es igual al término t entonces, si se puede probar que F vale para s, también se puede probar que F vale para t".

Saludos!

<< (http://<<)                >> (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,22263.msg98202.html#msg98202)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 31 Agosto, 2009, 05:02 pm
Bueno, gracias por la aclaración.

La cuestión es que aún estoy haciendo el programa en la PC que realiza todos estos cálculos.
Cuando tengo que verificar si cierta expresión es o no un Axioma, o si es o no el Axioma 10, hay una sola posibilidad, que uno tiene que elegir como "Axioma", y lo demás ...
Después quizá lo que estás diciendo de considerar \( s \) y \( t \) términos, es posible que uno pueda "demostrarlo", y no tomarlo como Axioma.

La duda viene porque no sé qué especificar como Axioma en el programa.
Yo como "humano" me puedo creer que entiendo que es más o menos lo mismo poner una cosa que otra más general.
Pero cuanto más general es el Axioma, más complicado es programarlo.
Porque se me hace difícil "explicarle" al programa lo que quiero hacer.

Citar
En realidad, este último esquema no debe entenderse como "si s = t entonces se puede reemplazar s por t". Más bien debe leerse así: "si se puede probar que el término s es igual al término t entonces, si se puede probar que F vale para s, también se puede probar que F vale para t".

Con esto me he confundido.
¿Un Axioma no es acaso una mera fórmula?
Ahí ya lo estás explicando como parte de una demostración, o algo por el estilo.
Si yo quiero entenderlo a nivel de meros "signos", ¿qué dice el Axioma 10?

Entiendo que \( F(z_1,...,z_n) \) es una fórmula que contiene a lo sumo a esas variables \( z_1,...,z_n \).

Ahora, supongamos que estoy analizando con un algoritmo si cierta fórmula es o no el Axioma 10.
Encuentro por ejemplo una expresión como esta:
\( x=y \Rightarrow{(F\Rightarrow{G})} \), donde \( x, y \) son variables y \( F, G  \) son fórmulas.
A continuación, ¿cómo hago para escribir \( F  \) como una fórmula con ciertas variables \( z_1,...,z_n \)?
O sea, lo que el programa recibe como dato de entrada es una fórmula \( F \) en la que ya se ha reemplazado alguna de las variables por \( x \). Tengo que "adivinar" o "reconstruir" la fórmula \( F \) antes de haber sufrido el reemplazo de \( z_j \) por \( x \).
Lo que he hecho en el programa es pensar que, en la fórmula \( F \), todas las ocurrencias de x corresponden a las ocurrencias de alguna variable \( z_j \) en la fórmula original. A esa variable la denoto con "t", por ejemplo, y así detecto la "estructura" orginal de \( F \).
Pero aquí ya estoy haciendo supuestos "heurísticos" de cómo funcionan las cosas.

Como sea, lo he tomado porque ese método de "reconstrucción" es un criterio que me parece "finitista".

Ahora debo analizar la expresión \( G \), para ver si coincide con lo "esperado".
Si reemplazo directamente \( x \) por \( y \), y comparo a ver si \( G \) coincide con \( F(z_1,...,z_{j-1},y,...,z_n) \) puedo obtener cosas muy extrañas.
Por ejemplo si una de las variables de \( F \) ya es la misma \( y \), como en  \( F(z_1,y)  \equiv z_1 = y+y \), y resulta que en realidad la fórmula \( F \) que he detectado es de la forma \( F(x,y) \), lo que tengo es que \( x \) ocupa el lugar de \( z_1 \).
Luego, tras el reemplazo que viene de "\( x=y \)", obtendría \( F(y,y) \), y si \( G \) coincide con eso, estaría obteniendo una coincidencia con el programa... y estaría diciendo que puedo "demostrar" que todo número es igual a su doble... mmmm.

Así que, para solucionar eso, he tomado un enfoque inverso.
He buscado las instancias de la variable \( y \) en la fórmula \( G \), y las he reemplazado por el signo indicador "\( t \)".
Ahora sí comparo \( F(x/t) \) y \( G(x/t) \), y obtengo que la "estructura" de ambas es la misma, observando que ambas tienen la misma forma, las mismas variables, y que el signo "\( t \)" aparece en ambas en los mismos "lugares".

Ese es el método que he hallado para evitar el reemplazo directo de \( x \) por \( y \), que conduce a errores si la variable \( y \) ya figuraba en \( F \).

Pero aún así, esos criterios que usé me parecen demasiado "sacados de la galera".
Probandolo con ejemplos, el método funciona bien, pero aún así, estoy algo "en el aire", sin tener clara la base teórica de todo esto del manipuleo de signos del lenguaje.

¿Hay algún modo de justificar mi procedimiento?
¿O tengo que cambiar mi procedimiento por algún otro?
¿Cómo, si no, detecto la "estructura original"  de una fórmula F, que depende de ciertas variables, para poder luego determinar si una fórmula corresponde o no al Axioma 10?

Con el Axioma 9 he tenido que aplicar un procedimiento análogo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 31 Agosto, 2009, 06:07 pm
Cuando tengo que verificar si cierta expresión es o no un Axioma, o si es o no el Axioma 10, hay una sola posibilidad, que uno tiene que elegir como "Axioma", y lo demás ...
.............
¿Un Axioma no es acaso una mera fórmula?

Un axioma es una mera fórmula. En el esquema 10 se puede tomar "fórmula atómica" o "cualquier fórmula", ambas opciones son correctas y la elección depende de la conveniencia (en este caso de lo que te resulte más fácil de programar). Lo que traté de explicar antes es por qué los axiomas se eligen como se eligen y por qué, en particular, es válido tomar una u otra opción para el esquema 10.

Saludos,

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 03 Septiembre, 2009, 10:39 pm
A ver si encuentro un ejemplo más concreto.
Por ejemplo, el siguiente: ¿satisface o no el Axioma 10?

\( (x'=x\Rightarrow{}(\exists{x}\exists{}{}x'S(x)=(x.x')\Rightarrow{}\exists{x}\exists{}{}xS(x)=(x.x))) \)

Tengo la fórmula \( F(x,x')\equiv{\exists{x}\exists{}{}x'S(x)=(x.x')} \).
Al "sustituir" \( x' \) por \( x \) obtengo la última fórmula \( G\equiv{}\exists{x}\exists{}{}xS(x)=(x.x) \).

Creo que acá la situación es distinta, porque he metido cuantificadores en las fórmulas.

La fórmula \( \exists{x}\exists{}{}x'S(x)=(x.x') \) "estimo" que es demostrable (que "existen"\( x,x' \) cumpliendo esa igualdad vendría de tomar \( x=1,x'=2 \)).
También, previamente puedo haber probado que \( x=x' \), lo cual es perfectamente posible en medio de alguna cadena de inferencias.
Pero esto no tiene nada que ver con el uso posterior de \( x, x' \), que aparecen afectadas por cuantificadores.

¿Está bien ahora que acepte "demostrado" \( G \), que es \( G\equiv{}\exists{x}\exists{}{}xS(x)=(x.x) \)?
Esto último es falso porque si existiera un tal x, cumpliría la ecuación cuadrática \( x^2-x-1=0 \), que no tiene soluciones enteras positivas.

Sin embargo, la expresión completa
\( (x'=x\Rightarrow{}(\exists{x}\exists{}{}x'S(x)=(x.x')\Rightarrow{}\exists{x}\exists{}{}xS(x)=(x.x))) \)
parece encuadrar en el Axioma 10.
Pero a mí me parece que a lo mejor sea demasiado general.

¿Estoy interpretando mal el Axioma 10, o hay que darle un enunciado más preciso?

Si seguimos la versión original del libro "Godel para todos", donde sólo se usan fórmulas atómicas, entonces no hay problemas con los cuantificadores.
Aunque a lo mejor el problema seguirá existiendo cuando quiera uno determinar si fórmulas como la de arriba son "demostrables".

En mi experiencia matemática, mezclar variables libres que después aparecen cuantificadas, son expresiones que están mal formadas.
Pero como estoy siguiendo paso a paso tu construcción, no estoy seguro del lugar en que debe hacerse alguna restricción o aclaración.
Y la verdad es que tampoco sé si hay que hacer tales restricciones, sino que quizá haya que interpretar las situaciones "peculiares" de otro modo, y que haya alguna manera de considerarlas válidas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 04 Septiembre, 2009, 05:52 pm
A ver si encuentro un ejemplo más concreto.
Por ejemplo, el siguiente: ¿satisface o no el Axioma 10?

\( (x'=x\Rightarrow{}(\exists{x}\exists{}{}x'S(x)=(x.x')\Rightarrow{}\exists{x}\exists{}{}xS(x)=(x.x))) \)

Esto es efectivamente un teorema, pero date cuenta de que es un condicional: sólo podrías obtener el consecuente (y luego el consecuente del consecuente) si pudieras demostrar x=x'; pero esto último no es un teorema.

La aparición de cuantificadores no modifica nada.

Espero que esto aclare algo las cosas.

Un saludo.


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 04 Septiembre, 2009, 09:56 pm
La verdad no me aclara mucho, porque pienso que podría ser muy "natural" obtener una igualdad del tipo \( x = x' \).

Podría ser que \( x=x' \) sea algo demostrable si vengo "deduciendo" cosas que se han definido anterioremente.

Pero eso depende de la teoría en que esté trabajando, o cómo venga la cadena de inferencias.
Me parece que usar las mismas variables del antecedente en el consecuente, pero ahora con cuantificadores, no es algo "confiable".

Sigo sin estar convencido de que fórmulas de ese tipo sean teoremas, o demostrables, o siquiera axiomas.

 :banghead:
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 05 Septiembre, 2009, 01:15 pm
¿No resulta a simple vista poco razonable que x=x' sea teorema de un sistema tan sensato como la aritmética de Peano?

Supongamos que es un teorema. Entonces, por los axiomas de la igualdad, tendríamos como teoremas todas las fórmulas de la forma

(1)     P(x) -> P(x')

De hecho, aplicando generalización dos veces en (1), tendríamos para cada predicado P:

(2)     para todo x, para todo x', P(x) -> P(x')

Sea P el predicado 'x=0'. Entonces, eliminado el cuantificador dos veces en (2), tendríamos:

(3)     0=0 -> 1=0

y, naturalmente:

(4)     1=0

con lo que el sistema sería inconsistente, puesto que tenemos un axioma que dice que el cero no es el sucesor de ningún número.

En cambio, ¿no es razonable que si hemos demostrados que dos cosas son iguales y hemos demostrado algo (lo que sea) de la primera, podamos demostrar eso mismo de la segunda?

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 05 Septiembre, 2009, 05:05 pm

Sí, es "razonable", pero a lo mejor las reglas dan demasiadas libertades.

El problema es que no estoy acostumbrado a usar expresiones cuantificadas de la manera en que he expuesto.
Me deja confuso porque toda la vida creí que no podía usar en una misma afirmación dos veces una misma variable de maneras distintas.

He estado buscando un razonamiento que me lleve a un "absurdo", partiendo de un teorema aritmético como:
\( \forall{x\forall{y}}(x+y=0\Rightarrow{x=y}) \)
y de ahí tratar de "usar" que \( x=y \) para demostrar el absurdo \( \exists{y\exists{y}}y+1=y.y \).
Pero peleándome con los Axiomas y las reglas no he podido lograrlo, lo cual hace que le tenga más confianza a las reglas, tal como están puestas.

Por otro lado Gustavo dice que el significado del Äxioma no es simplemente "reemplazar una variable por otra".

Ahora explico mejor de dónde vienen mis dudas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 05 Septiembre, 2009, 06:12 pm
El Axioma está escrito de la siguiente manera

\( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \)

Esto me hace pensar que ya tengo una fórmula F que consta de variables \( z_1,...,z_n \).
Luego, si \( x=y \), se reemplaza la variable \( z_j \) por \( x \) en el antecedente y por \( y \) en el consecuente.

En ese caso, pareciera que F tiene un "formato" en el que puede reemplazarse cualquier variable por cualquier otra.
Pero cuando se pone una variable entre paréntesis para F, ¿no significa que esta variable es libre en F?
¿Es \( z_j \) libre en \( F \)?
Gustavo ha puesto "fórmulas cualesquiera", y eso me genera bastantes dudas de qué es lo correcto tomar.

Por otra parte, yo puedo "construir" un Axioma a partir del esquema anterior, siempre y cuando yo sepa quién es la fórmula F.
Luego reemplazo en los lugares adecuados por \( x \) e \( y \), y ya está...
Pero ¿qué pasa si no tengo de entrada la fórmula F?
Si alguien me da una expresión cualquiera, y me pide verificar si cumple o no el Axioma 10, tengo que darme cuenta quién es la fórmula \( F \).
Tengo que "reconstruirla".

En la rutina de verificación, llego a reconocer que una expresión dada tiene variables \( x, y \) y fórmulas \( F \) y \( G \), en la forma:
\( (x=y \Rightarrow{F\Rightarrow{G}}) \)

El punto crucial viene cuando investigo la forma de F.
F tiene variables "concretas".
La única manera de "reconstruir" F es asumir que cada ocurrencia de la variable \( x \) en \( F \) provenía de "haber sustituido" alguna \( z_j  \) de \( F \) por \( x \).

A continuación tengo que verificar si \( G \) es la misma proposición \( F \), pero ahora en la posición de la variable hipotética \( z_j \) debe estar la variable \( y \).
Pero si reemplazo todas las ocurrencias de \( x \) en \( F \) por la variable \( y \),
se obtiene efectos muy extraños, que van más allá de la intuición básica del Axioma 10.

Lo que obtengo es una expresión G que no depende x, y si "reconstruyo" la fórmula, puede ocurrir que el "formato" de G sea distinto al de F.
O sea, G puede que incluso en G haya menos variables que en F.
El ejemplo que puse va en ese sentido.
La fórmula F del lazo izquierdo sería de la forma
\( F(x,y) \equiv{}\exists{}{x\exists{}{y}}(x.y=y+1) \)
mientras que la fórmula G tiene el formato:
\( G(x) \equiv{}\exists{}{x\exists{}{y}}(x.x=x+1) \)
 
Y acá está mi disyuntiva:
Si hago el "reconocimento" de fórmulas de manera que tengo en cuenta todas las variables "distintas" que aparecen tanto en F como en G, para luego comprobar si F y G corresponden a la misma fórmula salvo porque tienen una variable reemplazada por otra, resulta que la "rutina de análisis" concluirá que F y G son "fórmulas esencialmente distintas", tienen un formato distinto.

Por eso no me queda muy claro lo que Gustavo dice de que "no es reemplazar una variable por otra",
porque si tengo que aceptar que \( F(x,y) \) coincide con \( G(y) \),
entonces tengo que aceptar en la "rutina" que un "reemplazo directo" de \( x \) por \( y \) es lo (único) que me hace coincidr F(x,y) con \( G(y) \).

Soy capaz de hacer los dos tipos de análisis con la computadora.
El primero de ellos requiere apenas un paso más de verificación, que no resulta muy complicado.
Pero quiero entender si las reglas que puso Gustavo aceptan una forma más general.

Así que si Gustavo anda todavía por ahí, me gustaría preguntarle esto:
En el Axioma 10 las variables en \( F(z_1,...,z_n) \) deben ser libres, o tan solo deben "figurar" en la fórmula?
En este último caso, ¿cuándo se considera que una expresión de la forma siguiente satisface el Axioma 10?
\( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} G(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \)
¿Debo verificar exhaustivamente que \( F \) y \( G \) el mismo "formato", o basta conque sustituya \( x \) por \( y \), y verificar tan sólo si \( F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \) coincide caracter a caracter con \( G(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \).

Aunque si LauLuna sabe la respueta, no hace falta esperar la respuesta de Gustavo.  ;)


Otra cuestión es qué puede significar una expresión como
\( \forall{x\exists{x (x=x)}} \)

Porque algo como \( \exists{x\exists{x F(x)}} \) se entiende como una mera redundancia de cuantificadores...
¿Pero qué pasa cuando se mezclan universal y existencial con una misma variable?

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 06 Septiembre, 2009, 04:11 pm
O sea, G puede que incluso en G haya menos variables que en F.
El ejemplo que puse va en ese sentido.
La fórmula F del lazo izquierdo sería de la forma
\( F(x,y) \equiv{}\exists{}{x\exists{}{y}}(x.y=y+1) \)
mientras que la fórmula G tiene el formato:
\( G(x) \equiv{}\exists{}{x\exists{}{y}}(x.x=x+1) \)
 
Y acá está mi disyuntiva:
Si hago el "reconocimento" de fórmulas de manera que tengo en cuenta todas las variables "distintas" que aparecen tanto en F como en G, para luego comprobar si F y G corresponden a la misma fórmula salvo porque tienen una variable reemplazada por otra, resulta que la "rutina de análisis" concluirá que F y G son "fórmulas esencialmente distintas", tienen un formato distinto.

Si te entiendo bien, quieres decir que pasamos de un predicado binario F(x, y) a un predicado monario G(y). Eso no es problema: toma G(y) como G(y, y).

Citar
Por eso no me queda muy claro lo que Gustavo dice de que "no es reemplazar una variable por otra",
porque si tengo que aceptar que \( F(x,y) \) coincide con \( G(y) \),
entonces tengo que aceptar en la "rutina" que un "reemplazo directo" de \( x \) por \( y \) es lo (único) que me hace coincidr F(x,y) con \( G(y) \).

Yo diría que a nivel de programación sí se trata de sustituir variables.

Citar
Así que si Gustavo anda todavía por ahí, me gustaría preguntarle esto:
En el Axioma 10 las variables en \( F(z_1,...,z_n) \) deben ser libres, o tan solo deben "figurar" en la fórmula?

No hay ninguna restricción a la forma en que las variables pueden aparecer.

Citar
Otra cuestión es qué puede significar una expresión como
\( \forall{x\exists{x (x=x)}} \)

Porque algo como \( \exists{x\exists{x F(x)}} \) se entiende como una mera redundancia de cuantificadores...
¿Pero qué pasa cuando se mezclan universal y existencial con una misma variable?

Si cuantificas sobre una variable dos veces en la misma fórmula, simplemente tienes que recordar que a la hora de eliminar cuantificadores todas las ocurrencias de una misma variable que elimines puedes (y debes) sustituirlas por la misma constante. En el ejemplo que has puesto, da igual que cuantifiques sobre la misma variable o sobre dos variables distintas, porque el predicado es precisamente la igualdad. Pero considera este caso:

(1)    para todo x, existe y, x<y

(2)    para todo x, existe x, x<x

El problema ahora es que de (2) puedes pasar a

(3)     existe x, 0<0

Por esto es más razonable exigir de las fórmulas bien formadas que no cuantifiquen dos veces sobre la misma variable a no ser que el alcance de cada cuantificador sea diferente como en

(para todo x, x>0 v x=0) -> (existe un x, x>0 v x=0)

--

Me parece que sí que nos va a hacer falta Gustavo. Argumentaba yo en la respuesta 181 que x=x’  (ó x=y, para el caso) no es un teorema.

Lo que me pregunto ahora es: si eso es así ¿qué hace x=y en el antecedente de los axiomas lógicos 7, 8, 9 y 10 de la respuesta 33?

En la respuesta 34 planteé:

“me pregunto si en los axiomas lógicos para la igualdad 6-10 en lugar de usar metavariables para variables no deberíamos usar metavariables para términos cualesquiera.”

Gustavo me contestó que era suficiente usar metavariables para variables porque, a través del axioma 9, eso implicaba a términos cualesquiera.

No veo eso claro ahora. El axioma 9 usa otra vez una (indemostrable en el sistema) igualdad de variables como antecedente, de modo que no puede usarse para obtener la igualdad de términos que expresa el consecuente. Pero en cualquier caso una fórmula como

SS(0) = S(0)+S(0) -> (SS(0)>0 -> S(0)+S(0)>0)

no será jamás una instancia del axioma 10, porque los términos que en ella aparecen son constantes, no variables, y parece que debiera serlo.

El problema que percibo es, por tanto, que jamás vamos a demostrar la igualdad de dos variables distintas, de manera que las instancias de esos esquemas axiomáticos lógicos van a tener antecedentes que nunca son teoremas, lo que los va a dejar inservibles.

Por tanto, pregunto de nuevo: ¿no deberían los axiomas de la igualdad usar metavariables para términos cualesquiera?


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 06 Septiembre, 2009, 07:09 pm
Hola,

El Axioma está escrito de la siguiente manera

\( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \)

Esto me hace pensar que ya tengo una fórmula F que consta de variables \( z_1,...,z_n \).
Luego, si \( x=y \), se reemplaza la variable \( z_j \) por \( x \) en el antecedente y por \( y \) en el consecuente.

En ese caso, pareciera que F tiene un "formato" en el que puede reemplazarse cualquier variable por cualquier otra.
Pero cuando se pone una variable entre paréntesis para F, ¿no significa que esta variable es libre en F?

Me he perdido un poco con todas las disquisiciones. En principio puedo aclarar esto: en la fórmula \( x = y \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \Rightarrow{} F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \) todas las variables mencionadas se suponen libres.

La intención del axioma es ésta: si se puede probar que \( x = y \) (es decir, que tanto x como y representan en la deducción que se esté haciendo un mismo número) y se puede probar \( F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},x,z_{k+1}\ldots z_n) \) entonces se puede probar \( F(z_1, z_2,\ldots z_{k-1},y,z_{k+1}\ldots z_n) \).

Por inducción en la complejidad de los términos (y usando el axioma 9) se puede probar que la misma fórmula del axioma 10 vale si en lugar de x e y tomamos términos s y t cualesquiera.

El axioma 10 no se aplica al reemplazo de variables afectadas por cuantificadores. Es cierto que de \( \exists{x}P(x) \) se puede deducir \( \exists{y}P(y) \), pero en ello no interviene el axioma 10 sino el axioma 4 y la regla de generalización.

Saludos!

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Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 06 Septiembre, 2009, 07:28 pm
Gracias a ambos por sus aclaraciones.

Cita de: LauLuna
No veo eso claro ahora. El axioma 9 usa otra vez una (indemostrable en el sistema) igualdad de variables como antecedente, de modo que no puede usarse para obtener la igualdad de términos que expresa el consecuente. Pero en cualquier caso una fórmula como

SS(0) = S(0)+S(0) -> (SS(0)>0 -> S(0)+S(0)>0)

no será jamás una instancia del axioma 10, porque los términos que en ella aparecen son constantes, no variables, y parece que debiera serlo.

El problema que percibo es, por tanto, que jamás vamos a demostrar la igualdad de dos variables distintas, de manera que las instancias de esos esquemas axiomáticos lógicos van a tener antecedentes que nunca son teoremas, lo que los va a dejar inservibles.

Por tanto, pregunto de nuevo: ¿no deberían los axiomas de la igualdad usar metavariables para términos cualesquiera?

Yo tengo también dudas respecto a esto.
Pero yo haría la pregunta de un modo más general.
Si yo quiero expresar un teorema matemático del estilo:

"Sea \( x = 5 \), entonces \( x+2\cdoty \) es par"

¿Cómo se escribe y/o demuestra eso con las reglas del lenguaje?

Y en general, ¿cómo se trabaja con expresiones que empiezan diciendo "Sea x = n...", donde n es un número constante concreto?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 07 Septiembre, 2009, 12:53 am
Por inducción en la complejidad de los términos (y usando el axioma 9) se puede probar que la misma fórmula del axioma 10 vale si en lugar de x e y tomamos términos s y t cualesquiera.

¿Es decir, que de los axiomas 9 y 10 se deduce:

s=t -> (P(s) -> P(t)) 

donde P(t) es el resultado de sustituir s por t uniformemente en P(s)  ?

El axioma 9 nos permite deducir igualdades entre términos si antes hemos probado ciertas igualdades entre variables. Pero es que no veo cómo podríamos probar jamás una igualdad entre variables. No creo que haya variables x e y tales quer 'x=y' sea un teorema.

Por otra parte el axioma 9 nos permite deducir igualdad de términos que sólo se diferencian en variables que antes hemos demostrado iguales. Pero no veo cómo esas igualdades entre términos pueden aumentar la eficacia del axioma 10, dado que en el axioma 10 el antecedente sólo admite igualdades de variables.

Gustavo, perdona mi obcecación, pero es que no lo veo. Ayúdanos un poco más.

Argentinator,

los enunciados del tipo 'sea x=n, entonces ...' son simples condicionales con la forma 'x=n -> ...'.

Ahora bien, si lo que quieres decir es: 'supongamos que x=n, entonces...', entonces ya no se trata de enunciados sino de demostraciones mediante razonamiento hipotético. Esas demostraciones no existen en el sistema; son prescindibles; puede demostrarse que la lógica de primer orden es completa sin ese tipo de razonamiento.

Un saludo.

 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 07 Septiembre, 2009, 11:38 pm
Tengo otra duda de tipo general.

Supongamos una fórmula como la siguiente:

\( (x+s(0)=z)\Rightarrow{\exists{x}(x=x)} \)

Es una fórmula algo tonta, pero lo quiero ilustrar es que la misma variable x aparece en la misma fórmula en dos situaciones distintas.
Primero aparece en forma "libre" y después aparece "cuantificada".

Cuando analizo sintácticamente esa fórmula, debo considerar que x es "libre" en esa fórmula. ¿No?

Ahora bien. Al aplicar el Axioma 10 a esa fórmula, siendo x una variable libre, tendré que reemplazar todas sus ocurrencias por una cierta variable y.
¿Qué es lo que debo reemplazar? ¿Sustituyo todas las ocurrencias de x por y, o sólo sustituyo sus apariciones libres (dejando "sin tocar" las apariciones cuantificadas)?
O sea, ¿cuál de las siguientes dos expresiones correspondería al Axioma 10?

\( (x=y)\Rightarrow{}((x+s(0)=z)\Rightarrow{\exists{x}(x=x)})\Rightarrow{}((y+s(0)=z)\Rightarrow{\exists{x}(x=x)}) \)

\( (x=y)\Rightarrow{}((x+s(0)=z)\Rightarrow{\exists{x}(x=x)})\Rightarrow{}((y+s(0)=z)\Rightarrow{\exists{y}(y=y)}) \)


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 09 Septiembre, 2009, 10:14 pm
Argentinator, en la fórmula que ofreces la variable x está a la vez libre y ligada; evidentemente eso puede pasar en una fórmula si admitimos como fórmulas bien formadas fórmulas con variables libres.

Entiendo que el axioma 10 permite la sustitución en las ocurrencias libres y ligadas, de modo que tus dos fórmulas finales son, a mi entender, instancias del esquema axiomático 10. Pero Gustavo escribió recientemente que el axioma estaba pensado para aplicar la sustitución sólo a las variables libres.

Ahora bien, está claro que si se ha demostrado que dos términos son iguales, es lógicamente válido sustituir uno por otro en todas sus ocurrencias.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 11 Septiembre, 2009, 04:48 pm
Comento sobre la dificultad que venía señalando en el axioma 10: concretamente, el que el antecedente tuviera sólo metavariables para variables y no para términos cualesquiera.

En la respuesta 36 apuntaba yo a la manera de pasar de la igualdad entre variables como aparece en los axiomas 9 ó 10 a la igualdad entre términos cualesquiera. Me basaba en la regla Generalización.

Creo que mi observación no era correcta del todo (porque asumía que podemos probar x=y) pero iba en el buen camino. Creo que la respuesta correcta es ésta:

Para pasar de

(1)    x=y -> (Px -> Py)

a

(2)    s=t -> (Ps -> Pt)

Introducimos el cuantificador universal en (1) mediante la regla de Generalización:

(3)     para todo x, y, x=y -> (Px -> Py)

Eliminamos entonces el cuantificador a favor de los términos que nos interese introducir y tenemos (2).

Puede haber alguna complicación adicional si s ó t contienen variables libres. Pero en esencia es esto.

Por tanto, los esquemas axiomáticos que tienen en el antecedente una igualdad entre variables son útiles aunque nunca podamos probar una igualdad entre variables en el sistema.

Un saludo.


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 25 Julio, 2010, 04:02 am
Estimado Gustavo,

He estado leyendo "Godel para todos" y me ha llamado mucho la atención el tema. Debo reconocer que la claridad de las ideas allí plasmadas me ha permitido familirizarme con los conceptos básicos del teorema. En particular me interesa el tema de las implicancias filosóficas del teorema. En mi opinión el mismo no puede ser extrapolado fuera de la lógica matemática. Creo que la lógica clasica es totalmente impermeable al Teorema. Me gustaría saber la opinión del foro al respecto.

Saludos a todos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 25 Julio, 2010, 04:08 am
Tendrías que definir "lógica clásica".

Aún así, tengo entendido que la lógica sin aritmética, es consistente.
El problema viene al agregar los números naturales.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 25 Julio, 2010, 07:26 am
Confirmo lo dicho por argentinator. Por ejemplo, el sistema formal \( K_{\mathcal{L}} \) del cálculo de predicados es consistente. Además, todo teorema es una fórmula lógicamente válida (i.e. verdadera en cualquier interpretación) y reciprocamente. Es decir, satisface paladares intelectuales exquisitos.

Pero claro, en \( K_{\mathcal{L}} \) no hay matemáticas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 25 Julio, 2010, 04:08 pm
Hola,

He estado leyendo "Godel para todos" y me ha llamado mucho la atención el tema. Debo reconocer que la claridad de las ideas allí plasmadas me ha permitido familirizarme con los conceptos básicos del teorema.

Muchas gracias. Ésa es, precisamente, una de las principales intenciones del libro.

En particular me interesa el tema de las implicancias filosóficas del teorema.
En mi opinión el mismo no puede ser extrapolado fuera de la lógica matemática.

Yo no sería tan taxativo. En todo caso, sí estoy de acuerdo en que no puede ser extrapolado a la ligera. Pero inclusive las consecuencias filosóficas dentro de la matemática todavía están en discusión.

Creo que la lógica clasica es totalmente impermeable al Teorema.

No me queda claro el significado de esa frase. Por ejemplo ¿qué quiere decir "impermeable"?

Gracias nuevamente. Un saludo
Título: Gödel avanza sobre el bastión aristotélico
Publicado por: Elius en 28 Julio, 2010, 10:05 pm
Supongo que "impermeable" significa que en el ámbito de la lógica clásica no puede ser formulada una oración indecidible. Sin embargo, como G. Martínez y Gustavo mostraron en su libro, cualquier sistema que permita el uso de cadenas de caracteres, concatenación y substitución, tiene una oración de ese tipo.
Un ¿pequeño? desafío sería construir esa oración en el ámbito de la lógica aristotélica  ::).

Saludos!

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 30 Julio, 2010, 05:34 am

Hola Eluis. Depende de cómo definamos indecible. Yo creo que pueden darse ejemplos de oraciones indecibles, si por indecible entendemos a enunciados posibles que, por ende, no son ciertos no falsos. Sin embargo, creo que muchas veces se dice que existen oraciones indecibles cuando en realidad no tienen sentido. Un ejemplo de esto es dado en el libro, como "la paradoja del barbero" de Russell.

Lo que quise decir, es justamente, que el enunciado del Teorema de incompletud de Godel es algo que existe en lo abstracto en el (o debido quizás a la misma abstracción del) lenguaje formal, pero no es extrapolable a la realidad concreta. En la vida cotidiana no se presenta la paradoja de Russell.

Yo conjeturaría (aunque arriesgando a equivocarme) que esto es así porque al aplicar la razón a la realidad yo debo primero definir lo objetos (o los entes) y sus relaciones. En matemática se utilizan variables, lo cual permite establecer relaciones logicas entre variables (digamos burdamente entre "cajas negras") y no entre entenes concretos. Ahora bien, si establecemos relaciones lógicas entre entes concretos no surgen las paradojas.
La expresión "Mi número de godel no es el de un enunciado demostrable" es abstracta, no me dice "cual" enunciado es demostrable. No?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 30 Julio, 2010, 11:52 pm
Hola, Guillermo,
creo que las paradojas del lenguaje común, diario y prosaico (lengua pura y dura como dirían los españoles), son más numerosas, y frecuentes, que en los lenguajes formalizados. Justamente la novedad que trajo Gödel, fue que una paradoja muy antigua, atribuida a Eubúlides o a Epiménides, llamada también "del mentiroso" ("Los cretenses mienten siempre", y el autor era cretense), pudiera reflejarse en cierto modo en los sistemas formales.
Es cierto que difícilmente tengamos paradojas si hablamos de lo muy inmediato. Pero si generalizamos un poco, es difícil no caer en las paradojas de autoreferencia, como por ejemplo, un mensaje en un foro: "Estoy harto de la gente que se queja". Pero, ¿no es esto una queja, también?
También es cierto que las variables son una especie de "punto obscuro" de las matemáticas. Cuando niño, Bertrand Russell le exigía a su hermano mayor, que le estaba explicando álgebra elemental, que le dijera qué era realmente la "x". Pero el lenguaje común tiene oscuridades mayores, con aspiraciones de sencillez.

Es todo un tema!

Saludos!

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 31 Julio, 2010, 05:47 pm
Hola Elius, como estas?

Si efectivamente me parece que es todo un tema. Es cierto que podemos encontrar afirmaciones en el lenguaje común que pueden definirse como "paradojas". Ahora bien, no es el lenguaje (o intenta serlo) un reflejo de lo real? Yo creo que, al menos en un principio, el lenguaje es una expresión de los fenómenos (fenómeno en el sentido Kantiano) que percibimos, los cuales son una proyección de la realidad. Me parece que podemos encontrar paradojas en el lenguaje, siendo el teorema de Godel una paradoja muy particular (puede ser expresada en el lenguaje formal de la matemática), pero esto no significa que esta paradoja exista en la realidad sino que es una construcción del lenguaje mismo. Es decir, no está la paradoja en la estructura de nuestro lenguaje y no "ahi fuera" en lo real?

Esto está plasmado en el libro de Gustavo, en el primer capítulo donde se diferencia lo verdadero de aquello que puede demostrarse. Pues bien, justamente, en el lenguaje matemático podemos demostrar que hay expresiones que son indemostrables (a traves del teorema de godel), pero es esto real o estas expresiones son meras construcciones de nuestro entendimiento?

Si yo digo "mi gato es negro" no estoy haciendo una construcción. Esta expresión intenta ser un reflejo de lo real para lo cual utilizo mi pensamiento. Pero la expresión "Mi número de godel no es el de un enunciado demostrable" no es un reflejo de algo existente, sino una construcción totalmente mental. Es a partir de que nos alejamos de lo real cuando podemos encontrarnos con este tipo de problemas. Pero me parece que no son algo con entidad, sino más bien debilidades propias de nuestros sistemas de pensamiento, que surgen cuando utilizamos las reglas de la razón que aplicamos a los entes a abstracciones como variables, no crees?

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 31 Julio, 2010, 06:42 pm
Citar
siendo el teorema de Godel una paradoja muy particular

El Teorema de Godel no es una paradoja, sino un Teorema, como su nombre indica.

En una paradoja, una afirmación tiene un doble sentido, incompatible consigo misma.
Pero el Teorema de Godel no tiene un sentido doble, sino que muestra que hay una afirmación que es verdadera pero que no puede llegarse a ella con una cadena de silogismos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 01 Agosto, 2010, 01:30 am
Creo que la lógica clasica es totalmente impermeable al Teorema. Me gustaría saber la opinión del foro al respecto.

Recordad que es consecuencia del teorema de Gödel la incompletitud de la lógica de segundo orden.

Esto se demuestra así. Puesto que los axiomas de la aritmética de Peano de segundo orden son categóricos (es decir, definen la estructura de los naturales hasta isomorfismo), todas las verdades aritméticas son consecuencias lógicas suyas. Si ahora tuviésemos un sistema formal cuyas reglas de inferencia fueran capaces de extraer todas esas consecuencias de los axiomas, tendríamos un sistema correcto y completo para la aritmética, contradiciendo el teorema de Gödel.

Por tanto, no existe sistema deductivo capaz de extraer todas las consecuencias lógicas de un conjunto cualesquiera de sentencias de segundo orden. Es decir, la lógica de segundo orden (a diferencia de la lógica de primer orden o lógica de predicados) es incompleta con respecto a la relación de consecuencia lógica.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 01 Agosto, 2010, 04:30 pm
Hola Argentinator, como estas? 

El Teorema de Godel no es una paradoja, sino un Teorema, como su nombre indica.

En mi opinión el Teorema de Godel (nadie negó que sea un teorema) es uno que expresa una paradoja. De acuerdo con la real academia española: Paradoja “Figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción.”. De acuerdo con esta definición, en mi opinión la expresión “yo soy mentiroso” puede definirse como la expresión de una paradoja.

Por otro lado, no estoy de acuerdo con que una paradoja es una afirmación que tiene doble sentido (habría que definir que es ser “incompatible consigo mismo”). Existen muchas afirmaciones que tienen doble sentido (triples o muchos sentidos) y que no son paradojas. Basta escuchar la letra de una canción o leer un poema para toparse con ellas.

Pero el Teorema de Godel no tiene un sentido doble, sino que muestra (…)

Tampoco afirmé que la expresión final del teorema de Godel tenga un sentido doble, sino al contrario, que no lo tiene.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 01 Agosto, 2010, 04:38 pm
Hola LuALuna, como estas?

Debo reconocer que no he comprendido enteramente tu mensaje.  ??? Perdón, mis conocimientos versan sólo sobre filosófía y no matemática. Cual sería la diferencia entre "logica de primer orden" y "de segundo orden"?  ;D

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 01 Agosto, 2010, 06:38 pm
Hola Argentinator, como estas? 

El Teorema de Godel no es una paradoja, sino un Teorema, como su nombre indica.

En mi opinión el Teorema de Godel (nadie negó que sea un teorema) es uno que expresa una paradoja. De acuerdo con la real academia española: Paradoja “Figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que envuelven contradicción.”. De acuerdo con esta definición, en mi opinión la expresión “yo soy mentiroso” puede definirse como la expresión de una paradoja.

Por otro lado, no estoy de acuerdo con que una paradoja es una afirmación que tiene doble sentido (habría que definir que es ser “incompatible consigo mismo”). Existen muchas afirmaciones que tienen doble sentido (triples o muchos sentidos) y que no son paradojas. Basta escuchar la letra de una canción o leer un poema para toparse con ellas.

Pero el Teorema de Godel no tiene un sentido doble, sino que muestra (…)

Tampoco afirmé que la expresión final del teorema de Godel tenga un sentido doble, sino al contrario, que no lo tiene.


Bueno, he sido impreciso, es cierto, pero ocurre que no hay definición de "paradoja".

Sin embargo, el Teorema de Godel no es una paradoja.
Los típicos ejemplos de paradojas lógicas tienen algún tipo de circularidad (autorreferencia), o bien no pueden resolverse lógicamente: si se supone que es falsa, se llega a que es verdadera, y si se supone que es verdadera se llega a que es falsa. Luego, no puede ser ni verdadera ni falsa.

El Teorema de godel no tiene ese carácter, porque Godel construye una sentencia G que es "verdadera", sin duda sobre ello. Pero G no puede "demostrarse".

Eso no es una paradoja, es un hecho concreto.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 01 Agosto, 2010, 07:16 pm
O sea, digamos esto:

"No está claro qué diablos es una paradoja, pero de algo podemos estar seguros: sea lo que sea, no es un Teorema".

Nada a lo que se llame "Teorema" se lo puede llamar luego "paradoja".

Aunque hay malos ejemplos del uso del término en la matemática misma, como la "paradoja" de Banach-Tarski, que en realidad no es paradoja. Sino que que es un resultado inesperado, porque contradice la experiencia de la vida cotidiana, pero no hay ninguna contradicción matemática.

http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach-Tarski (http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach-Tarski)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: feriva en 01 Agosto, 2010, 07:59 pm

Hola, Argentinator. Como en un comentario me has dicho que hay que meter las narices en todas partes me he animado.

Vamos a plantear una cosa, aunque no sea el teorema de Gödel:

\( x=a \);  \( y=b \);  \(  c=\displaystyle\frac{a\cdot b}{y} \)

Conociendo los valores de \( a \) y \( c \), hallar el valor exacto de \( y \).

No se puede, ¿ves? Por qué, pues porque es una paradoja  :laugh:
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 01 Agosto, 2010, 08:46 pm
No veo la paradoja, es un problema que tiene una pregunta mal formulada.

Está presuponiendo que "hay uno y sólo un valor de y" posible para resolver esa ecuación, pero en realidad todo número distinto de 0 la satisface cuando a = c, y ningún valor de y la satisface si a es distinto de c. Después de todo, estás diciendo b = y. Si y es no nulo, entonces c = a b/y = a y/y = a.

No hay paradoja.

Las paradojas típicas son las del tipo de Russell (paradoja del mentiroso).
Sea P la proposición "Yo siempre miento".
¿Es verdadera o falsa?
Es una afirmación, así que lo que dice es Verdadero o Falso.
Pero es fácil demostrar que no puede ser ni una cosa ni la otra.

En la lógica de Frege (que permite definir cualquier conjunto en base a una "propiedad"), uno puede definir el conjunto \( X = \{R: R\not\in R \} \), o sea, X es el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos.
Se "supone" que para cualquier "objeto" R de la teoría de conjuntos, uno puede determinar si R pertenece o no a un conjunto dado A.
Sea R = X. ¿Pertenece ese R al conjunto X?

Una paradoja proviene de usar razonamientos con fundamentos lógicos incorrectos.
Ponen en evidencia un vicio general, no una contradicción aislada hecha a propósito en un ambiente del cual conocemos bien sus reglas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 01 Agosto, 2010, 09:38 pm
Cual sería la diferencia entre "logica de primer orden" y "de segundo orden"?  ;D

Hola, GuillermoC.

En lógica de primer orden o lógica elemental sólo se puede cuantificar sobre variables de individuo, no puedes cuantificar sobre variables de predicado. Así, por ejemplo, esta fórmula es de primer orden:

para todo x, y (x=y -> (Px -> Py))

pero esta es de segundo orden:

para todo P, x (Px v ¬Px)

En segundo orden podemos establecer el principio de inducción para todos los predicados porque podemos decir 'para todo predicado P...'. En cambio, en primer orden no podemos hacer eso; la consecuencia es que los axiomas de Peano expresados en primer orden no son categóricos, es decir, no determinan completamente la estructura de los naturales; es decir, admiten modelos no estándar. En cambio, los axiomas de Peano de segundo orden (la única diferencia está en el axioma de inducción) determinan completamente la estructura de los naturales.

En consecuencia, las verdades aritméticas en segundo orden son exactamente las consecuencias de los axiomas de Peano en segundo orden. Si un sistema formal pudiera derivar todas las consecuencias de esos axiomas tendríamos un sistema completo y correcto (por tanto, consistente) para la aritmética, contradiciendo el teorema de Gödel. No hay, pues, tal sistema; luego la lógica de segundo orden es incompleta con respecto a la relación de consecuencia lógica.

Ahí tenemos una consecuencia del teorema de Gödel que afecta a la lógica pura.

Creo que fue en el 2008 cuando publiqué un breve artículo sobre esto, escrito en colaboración con Alex Blum, en The Reasoner. Puedes encontrarlo (en inglés) en www.thereasoner.org

Quizá deba añadir que algún lógico (notoriamente el norteamericano W.V.O. Quine) ha negado a la lógica de segundo orden el carácter de lógica, llamándola 'teoría de conjuntos disfrazada'. Esta es ya una cuestión tremendamente sutil.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 01 Agosto, 2010, 10:39 pm
Citar
Quizá deba añadir que algún lógico (notoriamente el norteamericano W.V.O. Quine) ha negado a la lógica de segundo orden el carácter de lógica, llamándola 'teoría de conjuntos disfrazada'. Esta es ya una cuestión tremendamente sutil

Todo es una teoría de conjuntos disfrazada, o inclusive "inadvertida".

Esa es mi personal "visión", que persiste todo el tiempo.
Claro que las "visiones" no son Teoremas, pero bue... es lo que tengo por ahora.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: feriva en 02 Agosto, 2010, 07:20 am
No veo la paradoja, es un problema que tiene una pregunta mal formulada.

Era ironía, ::) , Argentinator, claro que no es una paradoja, como no lo es Gödel tampoco; la paradoja de los mentirosos y los que dicen la verdad no es comparable, por mucho que se diga, porque las matemáticas no tienen voluntad de mentir y porque además es que no se trata de eso, las matemáticas arrojan resultados medio un lenguaje. Lo que he puesto es simplemente un sistema indeterminado; similar en cocepto a la "paradoja" de indeterminación de Heisemberg " :laugh:
En cuanto a la paradoja del conjunto formado por el exterior de un conjunto, es que, claro... es el conjunto inventado por un político  :D que para justificar sus gestiones son capaces del imposible metafísico.
Me has recordado un problemilla que compuse yo con las leyes de Morgan que no me quedó mal, pero no sé dónde lo metí y ahora no me acuerdo de cómo era.

 Un saludo y buenos días (días aquí en España)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 02 Agosto, 2010, 07:25 am
Citar
Era ironía,

Me tomo todo al pie de la letra, soy demasiado "lógico", jeje  :)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 02 Agosto, 2010, 03:01 pm
En palabras del propio Gödel, en su memoria original: "La analogía entre este resultado y la paradoja de Richard salta a la vista, también hay una estrecha relación con la paradoja del "mentiroso", desde que la proposición indecidible [R (q), q] afirma precisamente que q pertenece a K, es decir, según (1), que [R (q); q] no es demostrable. Por tanto, estamos ante una proposición que afirma su propia indemostrabilidad". (La notación original es bastante diferente a la usada luego en las versiones que se hicieron para hacerla más accesible. Hay en la red una versión en inglés de esa memoria original; no recuerdo el sitio, pero tengo el doc, y si les interesa, se los envío).
Un teorema no es una paradoja, obvio, pero afirma que en el lenguaje objeto se produce una paradoja de demostrabilidad (una proposición que no es demostrable ni lo es su contraria). Dicho sea de paso, Gödel usa la palabra alemana correspondiente a "proposición", luego muy cuestionada por Quine, por basarse en cuestiones de significado, y no en nociones puramente sintácticas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: feriva en 02 Agosto, 2010, 04:13 pm
En palabras del propio Gödel, en su memoria original: "La analogía entre este resultado y la paradoja de Richard salta a la vista, también hay una estrecha relación con la paradoja del "mentiroso", desde que la proposición indecidible [R (q), q] afirma precisamente que q pertenece a K, es decir, según (1), que [R (q); q] no es demostrable. Por tanto, estamos ante una proposición que afirma su propia indemostrabilidad". (La notación original es bastante diferente a la usada luego en las versiones que se hicieron para hacerla más accesible. Hay en la red una versión en inglés de esa memoria original; no recuerdo el sitio, pero tengo el doc, y si les interesa, se los envío).
Un teorema no es una paradoja, obvio, pero afirma que en el lenguaje objeto se produce una paradoja de demostrabilidad (una proposición que no es demostrable ni lo es su contraria). Dicho sea de paso, Gödel usa la palabra alemana correspondiente a "proposición", luego muy cuestionada por Quine, por basarse en cuestiones de significado, y no en nociones puramente sintácticas.


Hoal, Elius. Puede que dijera eso Gödel, pero tiempo después el matemático Chaitin, según he leído, llevó esa paradoja al lenguaje formal matemático y en ese caso no había contradicción lógica, a diferencia de en el otro caso. En el leguaje matemático no es una paradoja.

Un saludo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 02 Agosto, 2010, 05:05 pm
Seguramente te refieres a la medida de complejidad descriptiva de Kolmogorov-Chaitin. En ella se hace uso de la paradoja de Richard (que es una formulación más precisa de la paradoja de Berry). Y, de nuevo, el teorema en el que Chaitin muestra sus resultados acerca de la complejidad descriptiva, no tiene nada de paradójico; hace uso de la paradoja de Richard.
Es muy discutido el tema de "resolver" o "reducir" una paradoja. La más antigua de ellas en el plano semántico, la del mentiroso, ha sido declarada "resuelta" infinidad de veces, pero en su formulación original, sigue siendo una paradoja. El filósofo pragmatista norteamericano Saul Kripke tiene una teoría (llamada de "puntos fijos") para que un lenguaje determinado pueda mantenerse libre de ella.
Las paradojas de Zenón de Elea sobre el movimiento también son interesantísimas, porque no es posible plantear una "solución" sin series infinitas. Éstas últimas fueron estudiadas recién en el siglo XVIII, e incluso hay quienes consideran que no son una "solución" satisfactoria.
Es que cualquier solución a una paradoja consiste en reformularla en otro lenguaje, en el cual dejan de ser paradojas. Entonces no resuelves el problema original: resuelves OTRO PROBLEMA, y consideras que el original es REDUCTIBLE al nuevo. En ese paso, hay siempre un resquicio para la discusión y la duda  ;).

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 02 Agosto, 2010, 08:44 pm
En efecto, el Teorema de Godel se ha basado en la paradoja del mentiroso.
Pero el Teorema de Godel por sí mismo no es una "paradoja", aunque el problema original del "mentiroso" aún sigue siendo una paradoja.
 ;)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: feriva en 02 Agosto, 2010, 10:05 pm

Hola, Elius. La paradoja de Zenon, la de la tortuga, se soluciona en un espacio expansivo que se expanda a mayor velocidad que la que lleva Aquiles (es que Zenon no conoció el descubrimiento de Hubble  :laugh: ).
 Pero eso es un ejemplo pasado a la física.
 Lo primer que hay que entender es que el infinito, en matemáticas, no es un número, si se le trata como a un número aparecerán "paradojas" que no son más que errores de concepto. Otra cosa es un número que tiende a infinito; que quiere decir sencillamente que es muy grande, pero es un número, un número que puede representar una cantidad indeterminada si así se quiere. El infinito no representa realmente una cantidad. Basta tomar una sucesión de números naturales y pensar en el "último". Si fuera un número natural, por definición, tendría que tener unas propiedades: tendrá una cierta divisibilidad o será primo, en cualquier caso, si es primo, será par o impar; ¿qué es el infinito, par o impar? Porque con la cantidad no hay problema, infinito más un número pequeño sigue siendo infinito, no se nota que le sumen nada, eso es como una gota de lluvia en el mar. Ahora bien, por grande que sea un número, basta sumarle sólo 1 para que cambie su multiplicidad.
 Como decía Argentinator en un comentario, los matemáticos de antes no veían las cosas como se ven hoy, seguramente muchos no habían pensado en esto que estoy diciendo de la paridad del infinito.
 Doy fe, además, de que era así, de que lo vieron muy distinto, porque yo tuve un padre muy viejo, nació en 1901 (se casó mayor). Era ingeniero de caminos.  Cuando llegué un día a casa (con cuatro o cinco años que tenía yo) con mi libro de teoría de conjuntos, le pareció algo así como una tomadura de pelo; en su época, no se estudiaban así las matemáticas. En otra ocasión se comentó aquí en el foro, por parte de unos físicos y algunos usuarios más, que Einstein no entendió su propia teoría.
 Un caso notable es la "paradoja" del hotel de los líos de "Gilda", que digo yo, el de las infinitas habitaciones. No es ninguna paradoja, es que Hibelrt saca el infinito matemático al mundo real, y eso no se puede hacer ni en fantasía; va a funcionar mal.
Claro: "que se pase cada uno a la siguiente habitación, que han venido más clientes"
 Está violando la definición de infinito. El infinito, lo dice su nombre, es el sinfín, el no se acaba, es lo interminable, no es un número; nadie necesita pasar a ninguna habitación, ése no es el infinito matemático,  es algo que sólo puede estar en nuestra cabeza, no está en el mundo físico.
Si se cambian de habitación, el que estaba en la "última" habitación, ¿qué va, de una par a una impar? No es eso el infinito. Y el propio Gödel también tendría sus dificultades para entender el infinito; sin duda, y el infinitésimo.

 Mira este número: 0,000....1, Hay en medio, defino, hay infinitos ceros. Buscamos el siguiente más pequeño, por ejemplo. Basta meter en medio un cero más, en principio; pero si hay inacabables números, inacabables, resulta que el número sigue siendo el mismo de antes; no tiene siguiente, no puede avanzar a un siguiente, no existe esa posibilidad. ¿Es eso paradójico? No, es abstracto, pertenece a la mente, cabe en la mente como concepto; pero si se saca al mundo físico... ese infinito se convierte enseguida en un abstracto falso.
Algo parecido pasa con el cero: el cero no es un número, ni tiene siguiente, simplemente está colocado al lado del uno.
 Estas cosas los antiguos no las tenían tan claras. Las "paradojas" nacen por la falta de las necesarias restricciones a la hora de enunciar los principios, porque los matemáticos son hombres y como tales no son perfectos, se llamen Gödel, Einstein o como se llamen. Las matemáticas no son las que mienten, son los hombres los que no entienden del todo las matemáticas ni el mundo físico; ni quizá su propia lógica.

Un saludo más.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 03 Agosto, 2010, 01:23 pm
En efecto, el Teorema de Godel se ha basado en la paradoja del mentiroso.
Pero el Teorema de Godel por sí mismo no es una "paradoja", aunque el problema original del "mentiroso" aún sigue siendo una paradoja.
 

Creo que esta es la forma correcta de decirlo: no hay nada paradójico en el teorema de Gödel, ni el en el metalenguaje ni en el lenguaje objeto; el que haya una fórmula indecidible en un sistema formal no es paradójico en absoluto.

Ahora bien, la prueba de Gödel se inspira en las paradojas en dos sentidos:

1. Formalmente: la autorreferencia del Mentiroso y la diagonalización cantoriana como aparece en la paradoja de Richard inspiran la prueba.


2. De una manera más sustancial: puede decirse que el resultado de Gödel es necesario para evitar una versión del Mentiroso; es la prueba que Gödel propuso en 1934: si el predicado de verdad aritmética fuese expresable en el lenguaje de la aritmética, habría una fórmula aritmética que diría d sí misma que no es verdadera (se construiría usando el lema diagonal, igual que la fórmula G de Gödel) y entonces tendríamos una paradoja. Sin embargo, el predicado de demostrabilidad en el sistema sí es expresable, luego ambos predicados no pueden ser el mismo: el conjunto de las fórmulas verdaderas y el conjunto de las demostrables no pueden ser el mismo. Si todas las fórmulas demostrables son verdaderas (si el sistema es correcto), entonces hay fórmulas verdaderas que no son demostrables.

Esta versión semántica del teorema había sido encontrada por Tarski en 1933 pero Gödel no conocía el escrito de Tarski.

En general, como reconoció Gödel, las paradojas permiten obtener resultados lógicos, matemáticos e incluso filosóficos que se apoyan precisamente en la necesidad de evitarlas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 05 Agosto, 2010, 07:35 pm
Citar
Quizá deba añadir que algún lógico (notoriamente el norteamericano W.V.O. Quine) ha negado a la lógica de segundo orden el carácter de lógica, llamándola 'teoría de conjuntos disfrazada'. Esta es ya una cuestión tremendamente sutil

Todo es una teoría de conjuntos disfrazada, o inclusive "inadvertida".

Hola, Argentinator,
tu afirmación me recuerda la observación de Raúl Orayen (llamada luego "la paradoja de Orayen") acerca de ser la teoría de conjuntos el dominio de interpretación de todas las teorías de orden 1, y a la vez, una teoría de orden 1. Y en este último caso, el dominio de interpretación sería el conjunto de todos los conjuntos, que es como decir el padre de todas las paradojas, o bien no tiene interpretación alguna.
¿No será la teoría de conjuntos lógica de segundo orden disfrazada?

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 05 Agosto, 2010, 07:39 pm

¿No será la teoría de conjuntos lógica de segundo orden disfrazada?


No sé, pero sospecho que no.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 05 Agosto, 2010, 09:04 pm
@Quine & Argentinator

¿Será la teoría de conjuntos el último fundacionismo?   ::)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 06 Agosto, 2010, 01:46 am
No sé quién es Quine  :-[

¿Fundacionismo = Fundamentos de la matemática?

La teoría de conjuntos no puede ser fundamento de nada.
Es lo mismo que decir que la geometría euclídea es fundamento de toda geometría.
Cambiando un par de axiomas cambia la teoría de conjuntos, y de la teoría estándar hay varios "modelos".
"Varios" = "multiplicidad" = "ambigüedad".

Si algo es ambiguo no "puede" (o "no debiera", digo yo) ser fundamento de la matemática.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 06 Agosto, 2010, 03:16 pm
Williard Van Orman Quine fue un lógico y filósofo norteamericano, de gran influencia en la 2da. mitad del siglo XX. Sus aportes aún tienen mucha vigencia, especialmente entre los filósofos llamados "pragmatistas". Lo menciono porque LauLuna lo citó ("la lógica de orden 2 es teoría de conjuntos disfrazada").
El fundacionismo es una de las posturas clásicas sobre la teoría del conocimiento: dogmatismo, fundacionismo, infinitismo. El fundacionismo plantea que hay un conjunto de ideas básicas evidentes por sí mismas, en las cuales debería basarse todo razonamiento (las "ideas claras y distintas" de Descartes. Disculpen que traiga esto a colación, pero puesto que la lógica ha sido el fundamento filosófico por excelencia del racionalismo, y aquí se habló acerca de que la teoría de conjuntos no es parte de la lógica, y
Todo es una teoría de conjuntos disfrazada, o inclusive "inadvertida".

...creo que viene al caso  ;D
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 06 Agosto, 2010, 05:14 pm
Claro, cuando dije eso, lo dije porque veo que todo el mundo usa la palabra "conjunto", incluso en metateoría. Se usan las ideas y propiedades de los conjuntos.

Pero eso no quiere decir que esté bien.
En realidad, yo en particular no estoy de acuerdo, creo que es un error.
Mas estamos debatiendo este tipo de cosas en otro thread.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 06 Agosto, 2010, 08:03 pm
Bueno, ahora entiendo tu postura, y además estoy de acuerdo.
Sucede que hay filósofos que no sólo son "pan conjuntistas" (todos es reductible a la teoría de conjuntos) sino que cuando se les menciona la paradoja de Orayen, o se les plantea si su posición es de un fundacionismo conjuntista, tienen actitudes como diciendo "eso no se puede decir".
¿Será eso una especie de ocultismo ilustrado?  :laugh:
¿Cuál es el otro thread?

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 06 Agosto, 2010, 08:59 pm
¿Cuál es el otro thread?

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,36072.0.html (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,36072.0.html)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 09 Agosto, 2010, 02:08 am
Era ironía,  , Argentinator, claro que no es una paradoja,  

¿Eras irónico por lo que dije?

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 09 Agosto, 2010, 02:09 am

"No está claro qué diablos es una paradoja, pero de algo podemos estar seguros: sea lo que sea, no es un Teorema". Nada a lo que se llame "Teorema" se lo puede llamar luego "paradoja".

Obviamente esto no tiene sentido, porque si no definimos A tampoco podemos decir que no es B… no? De todas maneras te entiendo:

Bueno, he sido impreciso, es cierto, pero ocurre que no hay definición de "paradoja". Sin embargo, el Teorema de Godel no es una paradoja. Los típicos ejemplos de paradojas lógicas tienen algún tipo de circularidad (autorreferencia), o bien no pueden resolverse lógicamente: si se supone que es falsa, se llega a que es verdadera, y si se supone que es verdadera se llega a que es falsa. Luego, no puede ser ni verdadera ni falsa. El Teorema de godel no tiene ese carácter, porque Godel construye una sentencia G que es "verdadera", sin duda sobre ello. Pero G no puede "demostrarse". Eso no es una paradoja, es un hecho concreto.

Claro, ahora entiendo bien lo que querías decir!!
Creo que en definitiva todo tiene que ver como cómo definamos lo que es una paradoja, pero ese tema no es importante. Lo importante es la diferencia que marcas:
Hay una diferencia entre la “paradoja” del mentiroso y el teorema de godel porque en este caso sabemos que una expresión es cierta pero no la podemos demostrar mientras que en el primer caso no es así.
Estoy totalmente de acuerdo, ambas cosas tienen algo diferente. Quizás denominé como “paradójico” algo porque tengo una idea diferente de lo que es una paradoja. Pero estoy de acuerdo con esto que decís.
Ambas cosas tienen algo diferente, pero también tienen algo en común: en ambos casos se construyen expresiones que no existen en la realidad, que contienen variables que no son definidas con anterioridad, razón por la cual no pueden definirse como verdades sino como expresiones sin sentido.
Si definimos la verdad como la igualdad entre lo real y el lenguaje, entonces la expresión del teorema de Godel no es una verdad, porque no expresa nada definible en la realidad.
Dicho de otro modo, vos decís que el teorema dice:
1)   Existe esta verdad Z
2)   Esta verdad no es demostrable.
Yo no creo que Z sea una verdad. Esto es algo que tienen en común la paradoja del mentiroso y el teorema de Godel. O no entiendo bien a Z, porque no veo que esta expresión sea “traducible” a la realidad. O vos podrías darme un ejemplo concreto, real, tangible de esa verdad sin utilizar variables?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 09 Agosto, 2010, 02:11 am
Según entiendo, el pragmatismo no es igual que el racionalimo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: GuillermoC en 09 Agosto, 2010, 02:13 am
Hola, GuillermoC.

En lógica de primer orden o lógica elemental sólo se puede cuantificar  

Muchas gracias Lau!! prometo leerlo con detenimiento.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 09 Agosto, 2010, 03:20 pm
Según entiendo, el pragmatismo no es igual que el racionalimo.
No, claro que no son iguales, ni siquiera compatibles.
Tampoco comparten el fundacionismo; el racionalismo es fundacionista, el pragmatismo pretende no serlo.
Pero este es un tema que nos llevaría lejos del Teorema de Gödel.  ::)
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 11 Agosto, 2010, 05:00 pm
Si definimos la verdad como la igualdad entre lo real y el lenguaje, entonces la expresión del teorema de Godel no es una verdad, porque no expresa nada definible en la realidad.
Dicho de otro modo, vos decís que el teorema dice:
1)   Existe esta verdad Z
2)   Esta verdad no es demostrable.
Yo no creo que Z sea una verdad. Esto es algo que tienen en común la paradoja del mentiroso y el teorema de Godel. O no entiendo bien a Z, porque no veo que esta expresión sea “traducible” a la realidad. O vos podrías darme un ejemplo concreto, real, tangible de esa verdad sin utilizar variables?

Si por Z entiendes la fórmula indecidible de Gödel (usualmente llamada G), entonces Z (en su interpretación usual) es sin duda una verdad aritmética, es decir, referente a los números naturales: afirma que no existe ningún número natural de una determinada clase CL definible en términos aritméticos.

Z (en su interpretación habitual) es verdadera si y sólo si no es formalmente derivable en el sistema en cuestión (en la aritmética de Peano de primer orden, digamos). Está claro que Z no es derivable en ese sistema si el sistema es consistente. Por último, está claro que la aritmética de Peano de primer orden es consistente. Luego Z es verdadera: la clase CL es vacía.

Existe la correspondencia entre el lenguaje (Z en su interpretación usual) y la realidad (la estructura de los naturales) que necesitamos para hablar de verdad.

Por tanto, Z es demostrable aunque no es demostrable en el sistema formal en cuestión.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 20 Agosto, 2010, 05:30 pm
Lau,
tu explicación me parece clara y convincente, salvo la última línea, que no digo que sea incorrecta, salvo que suena un poco paradójica.
Déjame ponerlo de este modo:

1. El lenguaje objeto es PA, del sistema formal con los axiomas de Peano.
2. En el metalenguaje se demuestra que en PA, existe una fórmula que, si es demostrada en PA, produce una contradicción, y lo mismo sucede con su negación. (Llamemos G a esta fórmula).
3. Se concluye en el metalenguaje que, si PA es consistente, G es indecidible (no es demostrable ella ni su contraria).
4. Puesto que G "dice" que G es indecidible, se concluye en el metalenguaje, que G es verdadera.
5. Puesto que G habla sobre la clase CL de nros. de demostraciones del nro. de G, expresa una relación numérica, un hecho totalmente abarcado por la aritmética.
6. La correspondencia se establece entre el hecho de 5 y el significado de G, dado en 4.

Yo diría que en el metalenguaje demostramos que G es indecidible en PA, y que G es verdadera. Hay una sutil diferencia entre demostrar que G es verdadera, y demostrar G directamente.

Cuéntenme qué piensan.

Saludos!

Elius
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 21 Agosto, 2010, 02:29 pm
Sí, Elius, es esencialmente como lo explicas, salvo que la fórmula usual G (en su interpretación metateórica) no dice que G es indecidible sino que no es demostrable en PA.

Pero demostrar que G es verdadera y demostrar G es absolutamente equivalente. Me atengo al esquema T de Tarski:

'G es verdadero si y sólo si G'.

Cierto es que para demostrar G utilizamos métodos metamatemáticos, esto es, demostraciones sobre un sistema formal PA, y ciertamente usamos recursos que PA no tiene. Pero G queda igualmente demostrada de todos modos.

Un saludo
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 23 Agosto, 2010, 03:24 pm
Lau,
¿la condición de verdadera o falsa no depende de la interpretación? En cambio la demostrabilidad es interna al sistema.
Respecto del esquema T de Tarski, es una controvertida (pese a su aparente "trivialidad" o carácter tautológico) propuesta que trasciende los sistemas formales, para internarse en la semántica y la teoría de modelos. Pero además, no dice "G es verdadero ssi G es demostrable".
De todas maneras, a lo que me refería, esto es, el "significado" de G, es

el código de G no está en relación deductiva con respecto a la clase de los códigos de los axiomas.

Demostrar que G es verdadera es justamente demostrar en el meta lenguaje que G no es demostrable en PA, ni lo es su negación si PA es consistente.

Saludos!

Elius


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 23 Agosto, 2010, 04:16 pm
Post Data:
Desde el metalenguaje puede demostrar que una proposición es verdadera o falsa, pero nunca demostrarla propiamente: esto sólo se puede hacer en el lenguaje objeto. En el caso de G, esto no es posible. Por eso, se puede demostrar que es verdadera, pero no demostrarla.

Saludos!

Elius
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: LauLuna en 23 Agosto, 2010, 09:06 pm
Elius,

la condición de verdadera de una fórmula sí depende de su interpretación, por eso he aclarado siempre entre paréntesis la interpretación a la que en cada momento me refiero.

Por otra parte, creo que confundes el concepto de 'deducir formalmente a partir de los axiomas de PA' con el de 'demostrar'. Si sólo fuese demostrable lo que es formalmente deducible de los axiomas de PA estaríamos apañados... Por ejemplo, el teorema de Goodstein es un enunciado aritmético demostrado pero indeducible en PA. Tal vez la culpa la tenga el lenguaje usual, en el que solemos hablar de que un sistema formal 'demuestra' (en lugar de decir 'deduce', 'deriva' o 'genera') sus teoremas.

Por otra parte, ten en cuenta que hay infinitos sistemas consistentes más fuertes que PA que son capaces de deducir G. Sea Con(PA) una fórmula aritmética que equivale (bajo su interpretación metateórica) a la consistencia de PA. Entonces PA+Con(PA) deduce G. Más fácil aún, PA+G deduce G. Etc. etc.

Además, una vez que hemos demostrado G por medios metamatemáticos, podemos sin duda axiomatizar los recursos que hemos empleado y construir un sistema que demuestra formalmente G.

Por eso, tu distinción entre demostrar G (debidamente interpretada) y demostrar que G (bajo determinada interpretación) es verdadera no parece tener mucho sentido, se mire por donde se mire. Sí tiene sentido el distinguir entre demostrar a secas y demostrar o deducir en un determinado sistema formal. A lo mejor en realidad es a esto último a lo que te refieres...

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 24 Agosto, 2010, 04:08 pm
Además, una vez que hemos demostrado G por medios metamatemáticos, podemos sin duda axiomatizar los recursos que hemos empleado y construir un sistema que demuestra formalmente G.

Tan fácil como eso, se puede hacer, pero tal como demuestra el teorema de Rosser, se puede construir una nueva proposición indecidible, con lo que subsiste la incompletitud, y el paso anterior habrá sido inútil. Esa irreductibilidad es lo que hace del teorema de Gödel algo relevante y actual. Si no, sería un dato más del pasado.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 24 Agosto, 2010, 04:16 pm
Sea Con(PA) una fórmula aritmética que equivale (bajo su interpretación metateórica) a la consistencia de PA. Entonces PA+Con(PA) deduce G. Más fácil aún, PA+G deduce G. Etc. etc.

Lau,
no olvides que PA+Con(PA) es inconsistente, de acuerdo al segundo teorema de incompletitud de Gödel.

Saludos!

Elius
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Garubi en 24 Agosto, 2010, 05:59 pm
Cita de: LauLuna
Z (en su interpretación habitual) es verdadera si y sólo si no es formalmente derivable en el sistema en cuestión (en la aritmética de Peano de primer orden, digamos). Está claro que Z no es derivable en ese sistema si el sistema es consistente.

Hola LauLuna

¿Cómo no va a ser derivable con los axiomas de Peano más la lógica de primer orden?
¿No es esto exactamente lo que hace Gödel, derivar -sin salir de ahí- el teorema?
Otra cuestión sería la de la evaluación de la verdad o falsedad del teorema, es decir, detectar cómo se ha construído, y evaluar la corrección sintáctica del teorema por medios mecánicos, es decir, con las reglas dadas y utilizadas en su formación.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 24 Agosto, 2010, 06:51 pm
Según he leído por ahí, Godel dijo que era posible construir explícitamente una sentencia que no era demostrable (o sea, la versión sintáctica del Teorema de Godel, no la que usa la definición recursiva de verdad).

Así que, supuestamente, siguiendo su construcción, es posible llegar a tal sentencia.

Lo que yo me pregunto es si la demostración de que esa sentencia particular no es demostrable... si es acaso una sentencia que usa exclusivamente elementos sintácticos.

Porque en tal caso se podría hacer un programa que construya esa sentencia, o que haga las cuentas.

Yo había empezado a programar todo esto, luego me cansé un poco y dejé... pero planeo continuar con la tarea,
y cuando tenga algo sólido, lo subo acá.
Mas, no me vendría mal alguna sugerencia o consejo...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 24 Agosto, 2010, 07:45 pm
@Garubi
No es derivable si la teoría es consistente, porque afirma que su propio número no es derivable de los nros de los axiomas. Es la versión aritmética de la paradoja de Epiménides (el cretense):
"Todos los cretenses mienten siempre".

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Garubi en 24 Agosto, 2010, 10:20 pm
Según he leído por ahí, Godel dijo que era posible construir explícitamente una sentencia que no era demostrable (o sea, la versión sintáctica del Teorema de Godel, no la que usa la definición recursiva de verdad).

Hola argentinator, ¿Cual usa una definición recursiva de verdad? Lo digo porque lo que yo había leído por ahí, es que la de verdad no es una noción expresable dentro del sistema, de lo que colijo que "verdad" es una "V" con que se etiquetan los axiomas y esquemas lógicos del sistema.

Citar
Así que, supuestamente, siguiendo su construcción, es posible llegar a tal sentencia.

Esto mismo pienso yo.

Citar
Lo que yo me pregunto es si la demostración de que esa sentencia particular no es demostrable... si es acaso una sentencia que usa exclusivamente elementos sintácticos.

Evidentemente (para mí), porque la demostración es la propia construcción de la sentencia, que es una secuencia de transformaciones válidas -y son todas reglas sintácticas- de las cadenas que expresan los axiomas y los esquemas lógicos. Estas llevan la "V" acoplada, así que no debería haber posibilidad de decir grandes "mentiras" durante la construcción paso a paso del teorema, haciéndolo a base de las transformaciones permitidas.

Lo difícil es claramente "orientar" los pasos hacia la obtención del teorema, pero creo que casi todos los jalones relevantes están en el libro de Guillermo y Gustavo, pero un poco desordenados.

Citar
Mas, no me vendría mal alguna sugerencia o consejo...

Voy a ordenar en la medida de lo posible mis delirios y visiones respecto a la "mecánica" a seguir, que las tengo, estoy deseoso de que alguien competente pueda utilizarlas de alguna manera, si tuviesen finalmente un uso.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Garubi en 24 Agosto, 2010, 11:11 pm
@Garubi
No es derivable si la teoría es consistente, porque afirma que su propio número no es derivable de los nros de los axiomas. Es la versión aritmética de la paradoja de Epiménides (el cretense):
"Todos los cretenses mienten siempre".

Hola Elius,

El teorema es cierto si la teoría es consistente, pero es indecidible en cualquier caso desde el sistema. La prueba de su certeza es su constructibilidad a partir de las manipulaciones permitidas, y la indemostrabilidad consiste en que no se le puede adosar un Verdadero o Falso.

Hasta aquí la que creo que es la postura más oficial, que comparto.

A partir de aquí, mis cábalas.

Su construcción no es objetable, no es más que una cadena de símbolos que se cuela al ponerlos unos a continuación de otros con unas reglas ciegas de combinación y de sustitución dadas. El problema lo tenemos nosotros y cualquier otra máquina al intentar asignarle el valor de verdad, no terminamos nunca.

Tú apelas a lo que dice de sí mismo, pero el teorema no habla. Dudo que podamos manejar una lógica distinta de la que manejamos, pero siempre podremos estudiar el fenómeno, la forma en que sucede. Tengo para mí que esto sucede mecánicamente, y que cabe la posibilidad de que del estudio del mecanismo que hace indecidible la verdad o falsedad del teorema en una computadora, se obtengan pingües beneficios para la comprensión del mundo, por no exagerar.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 25 Agosto, 2010, 11:00 pm
Tú apelas a lo que dice de sí mismo, pero el teorema no habla.

Les paso una versión del mecanismo de auto referencia, debida a W. v.O. Quine, "Lógica Matemática", Ed. Revista de Occidente:

El reemplazo de 'x' en
x
por la cita de
x
no es demostrable.


Ahora, reemplacen cada x  (pero no la que está entrecomillada) por la oración entera. El resultado se replica a sí mismo.

Compruébenlo con un editor de texto, o mejor, con un programa en HTML.

Saludos!

Elius
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Garubi en 26 Agosto, 2010, 09:10 am
Tú apelas a lo que dice de sí mismo, pero el teorema no habla.

Les paso una versión del mecanismo de auto referencia, debida a W. v.O. Quine, "Lógica Matemática", Ed. Revista de Occidente:

El reemplazo de 'x' en
x
por la cita de
x
no es demostrable.


Ahora, reemplacen cada x  (pero no la que está entrecomillada) por la oración entera. El resultado se replica a sí mismo.


Hola Elius,

¿Y qué problema hay en generar mecánicamente el enunciado que traes?
Estoy casi de acuerdo en que algo así es lo que ocurre, pero entiendo que los reemplazos que propones se ejecutan durante una verificación (la evaluación de su verdad o falsedad) del teorema, no durante su generación.

En el libro de G.M & G.P., G\( \forall{} \), se adivina este comportamiento al introducir lo que ellos llaman -cabalmente- la función diagonal, la sustitución de P(x) , donde P(x) es un enunciado con una variable libre, por P(P(x)).

de lo que da la impresión es de que quizás no sea posible realizar un programa que genere la fórmula de Gödel "inteligentemente", es decir, verificando sus propios pasos, pero entiendo que sí se puede hacer un programa que la genere a secas.

Un saludo.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 26 Agosto, 2010, 03:43 pm
@Garubi
No hay ningún problema, es sólo la comprobación del paso fundamental de la prueba.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 26 Agosto, 2010, 03:47 pm
Amigos, releyendo el libro de GM & GP, me surgió una duda paralizante: en el capítulo 6, pág. 154 de la 2da. ed. arg., se dice:
"Dado que la teoría que se obtiene de agregar ¬G es consistente..."
Pero el significado de G es: "No existe <demostración> de <G>", siendo <G> el nro. de Gödel de G, y <demostración> el nro. de Gödel de una demostración. Por lo tanto, ¬G significa que EXISTE una <demostración> de <G>. Pero si ese fuera el caso, la teoría resultante tiene a ¬G como axioma y a G como teorema, por lo cual es inconsistente.
Por el contrario, si aceptamos ¬G como axioma, pero asumimos que NO EXISTE una demostración de G, para evitar la contradicción, ¬G sería falsa.
Ya hice un comentario en este sentido en el blog del libro. ¿Alguien tiene alguna idea para aliviar la espera?

Saludos!

Elius
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 26 Agosto, 2010, 09:00 pm
Estuve pensando en este tema de introducir ¬G como axioma, y aunque resulte duro de aceptar, el sistema sigue siendo consistente. Porque si bien "dice" que hay una demostración, no es posible construirla, entonces es como si no dijera nada. Es como si se valiera de una "laguna legal" para decir sus cosas impunemente.

Ahora bien, bajo la interpretación usual (el dominio de los nros. naturales con las operaciones usuales de suma y producto), ¬G es falsa. ¿Hay alguna interpretación en la que es verdadera? Es decir, ¿tiene algún modelo ese sistema?

Precaución: si van a contestar "un modelo NO STANDARD", por favor, denme un ejemplo!

Saludos!

Elius


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 31 Agosto, 2010, 11:06 pm
Sigo pensando en este tema de la introducción como axiomas de G o bien ¬G (aparentemente estoy un poco solo en esto).
Ahora creo que si se introduce G, el sistema resultante es inconsistente, porque G afirma que no hay <demostración> de <G>, pero al ser axioma, el propio código <G> vale como una demostración de G. Sería como un oxímoron lógico matemático.
Y si se introduce ¬G, es w-inconsistente (omega, no encuentro el Látex para esa letra griega). Porque para todo k se puede demostrar G(k), pero el axioma nuevo dice que

Ey: y Dem <G>

(Verán que tampoco me funciona el Existe en látex: \exists{})

Qué piensan?

Saludos!

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 31 Agosto, 2010, 11:08 pm
Porque para todo k se puede demostrar G(k), pero el axioma nuevo dice que

Ey: y Dem <G>


Faltó decir que G(k) significa

k Dem <G>

Saludos!

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 31 Agosto, 2010, 11:10 pm
Porque para todo k se puede demostrar G(k), pero el axioma nuevo dice que

Ey: y Dem <G>


Faltó decir que G(k) significa

k Dem <G>

Saludos!



Errata:

k ¬Dem <G>

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Óscar Matzerath en 01 Septiembre, 2010, 06:40 pm
Hola,

Sigo pensando en este tema de la introducción como axiomas de G o bien ¬G (aparentemente estoy un poco solo en esto).
Ahora creo que si se introduce G, el sistema resultante es inconsistente, porque G afirma que no hay <demostración> de <G>, pero al ser axioma, el propio código <G> vale como una demostración de G. Sería como un oxímoron lógico matemático.
Y si se introduce ¬G, es w-inconsistente (omega, no encuentro el Látex para esa letra griega). Porque para todo k se puede demostrar G(k), pero el axioma nuevo dice que

Ey: y Dem <G>

(Verán que tampoco me funciona el Existe en látex: \exists{})

Qué piensan?

Saludos!



Si T es una teoría axiomática w-consistente (en particular consistente) que cumple las condiciones del teorema de Gödel y G es la sentencia de Gödel asociada, tanto T+G como T+¬G son consistentes. Esto no es complicado de ver si se tienen claros los conceptos básicos de lógica. Un teorema de lógica bien conocido dice que \( T+  \phi \) es consistente si y sólo si \( T \nvdash \neg \; \phi \). Como por el teorema de Gödel \( T \nvdash G \) y \( T \nvdash \neg \; G \) tenemos que tanto T+G como T+¬G son consistentes.

Esto parece algo contradictorio, como ya has comentado. ¿Qué está pasando aquí? Pues aunque parezca una tontería, lo que está pasando es simplemente que T+G es distinto de T. Me explico. Recuerda cómo se define la relación Dem. Esta relación hace referencia a los axiomas de T (no de T+G). Es decir, a efectos de la relación Dem, G no es un axioma. Por tanto seguimos teniendo \( T+G \nvdash \neg G \).
Ahora tenemos una nueva relación Dem' distinta de Dem, que sí tiene en cuenta el nuevo axioma G en su definición. Y a partir de esta relación podemos definir una sentencia de Gödel G' tal que \( T+G \nvdash G' \) y \( T+G \nvdash \neg G' \). Podemos ahora considerar nuevamente T+G+G' y tendremos una nueva sentencia de Gödel G'' indecidible en T+G+G' y podemos seguir iterando tanto como queramos (incluso un número transfinito de iteraciones). Este es un tema muy interesante, que por desgracia no he tenido tiempo de estudiar en condiciones.

Por otro lado, ¿qué pasa con T+¬G? Aquí tienes razón, el sistema es w-inconsistente, pero por el argumento dado antes T+¬G es consistente. Esto quiere decir que en los modelos de T+¬G (modelos de T donde ¬G es verdadero) existen naturales no estándar, es decir elementos que satisfacen Nat x, pero también x>0, x>1, x>2, x>3, etc. Es en este sentido en el que a veces se afirma que G es verdadera en la interpretación "natural" de T. Ya que en cualquier modelo de T donde G sea falsa, los naturales de T no coinciden con el modelo natural de N, es decir, lo que nosotros entendemos por naturales "de toda la vida".
 
Espero haberte aclarado algo.

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 03 Septiembre, 2010, 04:19 pm

Espero haberte aclarado algo.


Totalmente!  :aplauso:

Muchas gracias, Óscar.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Septiembre, 2010, 01:44 am
Lo difícil es claramente "orientar" los pasos hacia la obtención del teorema, pero creo que casi todos los jalones relevantes están en el libro de Guillermo y Gustavo, pero un poco desordenados.

Hola,

De hecho, los pasos fundamentales de la prueba fueron explicado en este mismo hilo, a lo largo de varias entradas, hace ya algunos meses.

Un saludo!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 14 Septiembre, 2010, 09:03 pm

Espero haberte aclarado algo.

Saludos

Óscar, espero no abusar de tu paciencia y disposición.
Dudas similares me ocurren cuando se introduce CONS o ¬CONS como axiomas. Sé que por el segundo teorema de Gödel de incompletitud, ninguna es deducible de los axiomas de PA. Pero, en las demostraciones que he leído, CONS no es deducible porque de otro modo podría deducirse G, y de allí ¬G, por lo tanto, PA sería inconsistente. ¿Cómo es que al introducir CONS como axioma no puede deducirse G ni ¬G?

Gracias de antemano.

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Óscar Matzerath en 14 Septiembre, 2010, 09:42 pm
Hola,


Óscar, espero no abusar de tu paciencia y disposición.

Para nada, pregunta lo que quieras.

Citar
Dudas similares me ocurren cuando se introduce CONS o ¬CONS como axiomas. Sé que por el segundo teorema de Gödel de incompletitud, ninguna es deducible de los axiomas de PA. Pero, en las demostraciones que he leído, CONS no es deducible porque de otro modo podría deducirse G, y de allí ¬G, por lo tanto, PA sería inconsistente. ¿Cómo es que al introducir CONS como axioma no puede deducirse G ni ¬G?

La situación es la misma de antes, si tienes una teoría T cuya sentencia de Gödel es G y añades Cons T como axioma, en la teoría T+Cons T (que es distinta de T), puedes demostrar Cons T (obviamente) y por la equivalencia a la que haces referencia puedes demostrar G. Pero ahora la teoría T+Cons T es una teoría distinta de T, con su sentencia de Gödel G' distinta de G. Lo que no puedes hacer ahora es demostrar G' ni Cons(T+Cons T) en T+Cons T.

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 15 Septiembre, 2010, 04:31 pm
Claro, y como en el caso de G como axioma,
Recuerda cómo se define la relación Dem. Esta relación hace referencia a los axiomas de T (no de T+G). Es decir, a efectos de la relación Dem, G no es un axioma.
en este caso, para la relación Dem, CONS no es un axioma, por lo tanto la demostración que puede hacerse de G cumple la relación <y> Dem' <G>, pero no <y> Dem <G>, que es lo que traería contradicciones.

Muy claro. Imagino que tienes postgrado en lógica, y si no es así, te damos un certificado aquí!

Gracias.

Saludos!

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Óscar Matzerath en 16 Septiembre, 2010, 11:19 pm
Hola,

Claro, y como en el caso de G como axioma,
Recuerda cómo se define la relación Dem. Esta relación hace referencia a los axiomas de T (no de T+G). Es decir, a efectos de la relación Dem, G no es un axioma.
en este caso, para la relación Dem, CONS no es un axioma, por lo tanto la demostración que puede hacerse de G cumple la relación <y> Dem' <G>, pero no <y> Dem <G>, que es lo que traería contradicciones.

Efectivamente.
Citar
Muy claro. Imagino que tienes postgrado en lógica, y si no es así, te damos un certificado aquí!


Precisamente en ello estoy.  :D

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 02 Octubre, 2010, 09:00 pm
Hola, he aquí mi duda:

En el libro de Gödel para todos, viene una axiomatización completa de primer orden de los numeros complejos. Se supone que no le afecta el teorema de GÖdel al ser completa,

Ahora bien , yo puedo definir en un lenguaje de primer orden "ser natural", como ," ser solución de sen (2pi*n+pi/2)=1, y la funcion seno se puede definir mediante operaciones con derivadas. Pero entonces ya si cumple los requisitos para "padecer" el teorema de Gödel, ¿no. Hemos definido los naturales mediante un enunciado de primer orden.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 08 Octubre, 2010, 01:08 pm
Ahora bien , yo puedo definir en un lenguaje de primer orden "ser natural", como ," ser solución de sen (2pi*n+pi/2)=1, y la funcion seno se puede definir mediante operaciones con derivadas. Pero entonces ya si cumple los requisitos para "padecer" el teorema de Gödel, ¿no. Hemos definido los naturales mediante un enunciado de primer orden.

Hola,

No se puede hacer en un lenguaje de primer orden, que no permite el uso de variables que representen funciones.

Un saludo,
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 18 Octubre, 2010, 08:44 pm
En el momento en qué en la teoría de primer orden de los números complejos (vease, por ejemplo, Gödel para todos), G.Martinez, G.Piñeiro, añadimos (los diferenciamos como subconjjunto dentro de los números complejos)  los números naturales, ¿estamos usando lógica de 2º orden, sea bien mediante sentencias tipo x=1 , x=1+1, x=1+1+1,etc...o mediante calculo diferencial?, y entonces le afecta el teorema de Gödel,sea cuál sea la forma de introducir los números naturales. ¿Es esto correcto?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 18 Octubre, 2010, 08:45 pm
En el momento en qué en la teoría de primer orden de los números complejos (vease, por ejemplo, Gödel para todos), G.Martinez, G.Piñeiro, añadimos (los diferenciamos como subconjjunto dentro de los números complejos)  los números naturales, ¿estamos usando lógica de 2º orden, sea bien mediante sentencias tipo x=1 , x=1+1, x=1+1+1,etc...o mediante calculo diferencial?, y entonces le afecta el teorema de Gödel,sea cuál sea la forma de introducir los números naturales. ¿Es esto correcto?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Garubi en 21 Noviembre, 2010, 08:54 pm
Creo que es una buena idea utilizar las expresiones regulares si se quieren abordar informáticamente los productos de Gödel desde el conjuntismo.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 02 Abril, 2011, 10:39 am
Hola

Supuesta la consistencia de una teoría aritmetica T, el teorema de Gödel (versión sintáctica) demuestra que el enunciado es verdadero pero no demostrable desde los axiomas. Sin embargo, no podemos afirmar que una sentencia es verdadera si no lo hemos demostrado. ¿En qué se basa (que obviamente no pueden ser los axiomas de T) la demostración de que es cierto dicha sentencia de Gödel?¿Es metamatemática?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 02 Abril, 2011, 11:52 am
Hola

Supuesta la consistencia de una teoría aritmetica T, el teorema de Gödel (versión sintáctica) demuestra que el enunciado es verdadero pero no demostrable desde los axiomas. Sin embargo, no podemos afirmar que una sentencia es verdadera si no lo hemos demostrado. ¿En qué se basa (que obviamente no pueden ser los axiomas de T) la demostración de que es cierto dicha sentencia de Gödel?¿Es metamatemática?

Hola Sailor Starruler. La respuesta a tu pregunta la dió Gustavo Piñeiro en la primer página de este hilo:

Citar
En su demostración, Gödel construye (dentro de la aritmética) una afirmación cuyo significado es: "Yo no soy demostrable". Si la afirmación es falsa, sería una falsedad demostrable. Luego, es verdadera y es entonces una verdad no demostrable.

Permiteme digerirla un poco.

1. Evidentemente, tanto los axiomas como los enunciados demostrables, afirman propiedades verdaderas de la Aritmética.

2. Supon que encuentras la manera de escribir una propiedad aritmética que es exactamente equivalente a una afirmación que dice "esta propiedad no es demostrable"

3. Independientemente de que esa afirmación sea o no demostrable, solo puede ser verdadera o falsa.

3.1 Si la afirmación "esta propiedad no es demostrable" es falsa, entonces esa afirmación es demostrable. Ergo, es falsa y demostrable (lo anoté en negrita). Entonces tienes una propiedad demostrable de la aritmética (ese enunciado), que es falsa. Lo que contradice 1.

3.2 Por lo tanto, el enunciado "esta propiedad no es demostrable" es verdadera, y por lo que ella misma afirma, no demostrable.

He allí el enunciado verdadero no demostrable por el que preguntas.

Respecto a la prueba de Gödel, Gustavo Piñeiro agrega:

Citar
La demostración en sí consiste esencialmente en ver que esa afirmación puede construirse dentro del lenguaje de la aritmética.

Es decir, el trabajo difícil ha sido lo que yo he anotado alegremente en 2.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 02 Abril, 2011, 02:30 pm
Gracias por las aclaraciones, pero no contestas a mi pregunta, yo se que (supuesta consistente la teoría) el enunciado es verdadero y no demostrable en los axiomas de dicha teoría.

Pero sabemos que es verdadera ,luego ha tenido que ser demostrada (no se puede saber de algo el ser verdadero si no hay una demostraciónotra cosa es que no pueda hacerse en ninguna axiomática), pero el proceso que tu describes se puede considerar una demostración, pero no se muy bien, si no se basa  en axiomas, en que se puede basar. ¿Es una demostración metamatematica?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 02 Abril, 2011, 10:48 pm
Lo que yo entiendo es lo siguiente:

* Dada una fórmula (en la lógica de 1er orden), ella es sólo una lista ordenada de símbolos.
* A ciertas fórmulas se les da un "calificativo", por ejemplo, el ser "bellas", el ser "demostrables" y el ser "verdaderas".
* Cada calificativo se lo define de un modo completamente diferente.
* En algunos casos ocurre que una fórmula es verdadera, pero no demostrable.

La noción de "demostrable" es algo que "se define explicitamente".
Gustavo ya ha dado la definición de "demostrable" a lo largo de todo este thread.
También ha dado la definición de "verdadero".

Ambas definiciones son bien distintas y no tienen por qué coincidir.

No hay que confundirlo con las nociones que uno pueda tener de qué cosas son demostrables y qué no.
Cuesta digerirlo, pero así es.

"Demostrable" es una noción sintáctica: quiere decir que, partiendo de ciertos fórmulas llamadas axiomas, aplicando ciertas reglas de transformación de unas sentencias en otras, se obtiene una nueva sentencia S. Así, S se dice "demostrable".
Si no hay modo de "transformar" los axiomas en el enunciado S, mediante las reglas de deducción previamente estipuladas, entonces el enunciado S es "no-demostrable".

Este tipo de tarea puede hacerse mecánicamente por una computadora, ya que consiste en la operación de tomar una "cadena de caracteres" (que en informática se llama STRING) y realizar operaciones allí para obtener otra "cadena de caracteres" distinta, a la cual he indicado con la letra S.
Si esto es posible de hacerse, S es demostrable.

Para la noción de verdadero se procede por un camino diferente. A ciertas fórmulas se les asigna un valor verdadero o falso, porque sí, por mero decreto. A partir de ahí se define recursivamente cuáles otras fórmulas serán verdaderas o falsas.
Toda tal fórmula tiene asociado un "valor de verdad".

Ocurre que, mientras hay fórmulas que no son demostrables, sin embargo tienen un valor de verdad asignado.

Esto ocurre porque la demostrabilidad y la verdad-falsabilidad se definen por vías diferentes.

Si revisás la construcción de Gustavo vas a ver claramente cómo define cada una.

Uno también podría usar palabras distintas: en vez de "demostrable" podría decir "verde" y en vez de verdad-falseable podría decir "violeta", y en ese caso el teorema de Godel diría esto:

* Existe una fórmula que es no-verde pero que es violeta.

Aquí ya deja de haber aparentes contradicciones entre lo demostrable y lo verdadero, porque hemos quitado del camino las palabras "demostrable" y "verdadero" las cuales tienen connotaciones subjetivas para nosotros, y hacen que nos confundamos.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 02 Abril, 2011, 11:38 pm
Gracias por las aclaraciones, pero no contestas a mi pregunta, yo se que (supuesta consistente la teoría) el enunciado es verdadero y no demostrable en los axiomas de dicha teoría.

Pero sabemos que es verdadera ,luego ha tenido que ser demostrada (no se puede saber de algo el ser verdadero si no hay una demostraciónotra cosa es que no pueda hacerse en ninguna axiomática), pero el proceso que tu describes se puede considerar una demostración, pero no se muy bien, si no se basa  en axiomas, en que se puede basar. ¿Es una demostración metamatematica?
Cuando hablamos del lenguaje formal PA, usamos un meta lenguaje. En ese meta lenguaje se "demuestra" que no es posible "DEMOSTRAR" en PA la sentencia G, si PA es \(  \omega \) consistente. Y que G es VERDADERA lo sabemos porque en el modelo standard de PA (la aritmética común, no formalizada) se puede comprobar que la demostración EN PA de G implica la demostración EN PA de ~G, con lo cual PA sería inconsistente.

Cuando se habla de demostración, hay que tener en cuenta los niveles de lenguaje; y cuando se habla de verdad, cuál es el modelo al que es relativa esa verdad. En matemática "verdad" es siempre "verdad en un modelo".


Saludos!

 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 03 Abril, 2011, 07:16 am
No son ciertas algunas cosas que has dicho. Si se ha determinado que cierta formula F es Verdadera, eso no es una demostracion de F.   
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 03 Abril, 2011, 07:19 am
Y tampoco es cierto que algo es verdadero si y solo si existe una demostracion de ese algo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 03 Abril, 2011, 07:24 am
Justamente me he tomado el trabajo de usar las palabras verde y violeta par que se entienda lo que es una demostracion. Las formulas no importa si las estas llamando verdes o 'demostrables'. Hay una definicion mecanica de 'verde'. Estas confundiendo ese 'verde' con otros tipos de conceptos que son distintos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 03 Abril, 2011, 08:54 am
Gracias por las aclaraciones, pero no contestas a mi pregunta, yo se que (supuesta consistente la teoría) el enunciado es verdadero y no demostrable en los axiomas de dicha teoría.

Pero sabemos que es verdadera ,luego ha tenido que ser demostrada (no se puede saber de algo el ser verdadero si no hay una demostraciónotra cosa es que no pueda hacerse en ninguna axiomática), pero el proceso que tu describes se puede considerar una demostración, pero no se muy bien, si no se basa  en axiomas, en que se puede basar. ¿Es una demostración metamatematica?

Hola Sailor. Tu duda fue mi duda alguna vez.

Como sabes, un enunciado es demostrable en un sistema axiomático cuando se sigue de los axiomas mediante las reglas de inferencia (puede escribirse con mucha más técnica definiendo primero "demostración").

¿Qué significa entonces que un enunciado sea "verdadero"?

1. Como bien sospechas la definición de verdadero es metaaxiomática.
2. Para los fines del teorema de Gödel, basta seber con precisión qué significa que un "enunciado aritmético" sea verdadero (no nos interesa el caso "para todo enunciado")
3. La definición de enunciado aritmético verdadero es precisa y unívoca, pero no se puede anotar en tres líneas porque involucra una construcción recursiva sobre los objetos del lenguaje formal.
4. La definición precisa de enunciado aritmético verdadero, la desarrolla Gustavo Piñeiro en este mismo hilo, desde el mensaje #83 (pag.5) en adelante.

Una vez establecida la diferencia entre el concepto de enunciado demostrable y el de enunciado verdadero, hay que usar también el llamado Teorema de Corrección, que dice simplemente que si en un sistema axiomático los axiomas son verdaderos entonces todos los teoremas (enunciados demostrables en ese sistema) serán también verdaderos.
Es interesante mencionar este teorema trival porque Gödel probó, justamente, que la inversa no se verifica (existen enunciados verdaderos no demostrables)

Una cosa interesante:
A priori podría parecer que tanto el concepto de "enunciado aritmético verdadero" como el de "enunciado demostrable" son metaaxiomáticos. Pero esto no es así.

El concepto de "enunciado aritmético verdadero" es inevitablemente metaaxiomático. No hay forma de expresar que un enunciado aritmético es verdadero, dentro de la teoría axiomática.
En cambio sí hay formas de expresar dentro de la teoría axiomática que un enunciado es demostrable. Lograr expresar algo del tipo "E es un enunciado demostrable" como propiedad aritmética ha sido uno de los grandes logros de Gödel.

Espero que esto aclare tus dudas.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 04 Abril, 2011, 03:02 am
Gracias por la respuesta, Cristian. He estado mirando lo escrito por Gustavo, pero no logro entre sus expertas afirmaciones la definición de demostrable. El resto de cosas las entiendo bien. Quizás es que yo incluyo en el proceso de demostración cualquier proceso que nos demuestre que una proposición es verdadera, aunque no sea a partir de los axiomas de la teoría. Precisamente ahi está mi duda. No obstante, creo que en el caso de la aritmetica de Peano, tenemos intuitivamente las propiedades de la suma (conmutativa, asociativa) y el producto (conmutativa, asociativa y distributiva sobre la suma), y es de ahi de donde viene la "demostración" en el sentido que le doy yo a la palabra

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Óscar Matzerath en 04 Abril, 2011, 09:49 am
Hola,

Una puntualización que suele ser fuente de muchos malentendidos:

Una vez establecida la diferencia entre el concepto de enunciado demostrable y el de enunciado verdadero, hay que usar también el llamado Teorema de Corrección, que dice simplemente que si en un sistema axiomático los axiomas son verdaderos entonces todos los teoremas (enunciados demostrables en ese sistema) serán también verdaderos.
Es interesante mencionar este teorema trival porque Gödel probó, justamente, que la inversa no se verifica (existen enunciados verdaderos no demostrables)

El teorema de corrección dice lo siguiente (sólo con sentencias para evitar complicaciones innecesarias): si \( \Gamma \vdash \varphi \) entonces \( \Gamma \models \varphi \). Es decir, si existe una demostración de \( \varphi \) con premisas en \( \Gamma \), entonces todo modelo de \( \Gamma \) es también modelo de \( \varphi \), esto es, para todo estructura M, si todas las sentencias de \( \Gamma \) son verdaderas en M, entonces \( \varphi \) también es verdadera en M. Hay que notar que esto es un teorema (trivial) de lógica de primer orden, y no hace ninguna referencia a la aritmética ni nada parecido, sirve para cualquier conjunto de sentencias de primer orden que se te ocurra.

Con esta forma, la inversa SÍ se verifica (también lo probó Gödel, en su tesis doctoral, un año antes de sus teoremas de incompletitud), y este es uno de los primeros resultados profundos de la lógica de primer orden: el teorema de completitud. Este teorema dice que si \( \Gamma \models \varphi \) entonces \( \Gamma \vdash \varphi \), es decir, si para toda estructura M donde todas las sentencias de \( \Gamma \) son verdaderas, \( \varphi \) también lo es, entonces existe una demostración de \( \varphi \) con premisas en \( \Gamma \).

Teniendo esto en cuenta, el hecho de que no exista una teoría completa y recursiva para la aritmética implica que cualquier axiomatización recursiva admite otras interpretaciones además de la natural, \( \mathbb{N} \), donde la sentencia de Gödel es falsa. Por ejemplo, esto quiere decir que hay estructuras donde todos los axiomas de Peano son verdaderos, pero la sentencia de Gödel es falsa (este es el punto de partida de la teoría de los modelos no estándar de la aritmética de Peano).

Por último, en los teoremas de incompletitud de Gödel es importante fijarse en la palabra recursiva, que es esencial y es lo primero que se suele olvidar la gente a la hora de enunciarlo. Existe una axiomatización completa de la aritmética: simplemente tomando como axiomas todas las sentencias de primer orden que son verdaderas en el modelo estándar \( \mathbb{N} \), lo que se conoce como la teoría de \( \mathbb{N} \), \( Th(\mathbb{N}) \). Por supuesto esta axiomatización no es recursiva, por lo que no incumple el teorema de incompletitud.

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 12 Agosto, 2011, 12:38 pm
Off-topic: Este hilo tiene larga data, y en un principio tuvo como protagonista indiscutible a Gustavo,
quien se encargó de la tarea de dar toda la demostración, junto con todas las definiciones previas, con gran detalle.

No quiero menospreciar la participación de los demás, ya que releyendo el thread he visto aportes muy interesantes de varios foristas.

No obstante, estoy seguro que muchas personas estarán interesadas principalmente en la demostración que realizó Gustavo.
Por eso me tomé la libertad de poner al pie de varios mensajes de Gustavo unas flechitas que enlazan mensajes más o menos consecutivos de los que Gustavo escribió.

Las flechitas sólo funcionan "hacia adelante" por ahora, y no están en todos los posts, sino sólo los más relevantes sobre la demostración del Teorema de Godel.
Presionando en esas flechas "hacia la derecha" se irán abriendo ventanas con los sucesivos posts en que Gustavo desarrolló su demostración.

Gustavo: no te pedí permiso porque no quería molestarte con este asunto, que es más bien "administrativo", jeje.

Los enlaces funcionan yendo a partir del más antiguo post de Gustavo en este thread.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 13 Octubre, 2011, 10:35 pm
Hola,

Una puntualización que suele ser fuente de muchos malentendidos:

Una vez establecida la diferencia entre el concepto de enunciado demostrable y el de enunciado verdadero, hay que usar también el llamado Teorema de Corrección, que dice simplemente que si en un sistema axiomático los axiomas son verdaderos entonces todos los teoremas (enunciados demostrables en ese sistema) serán también verdaderos.
Es interesante mencionar este teorema trival porque Gödel probó, justamente, que la inversa no se verifica (existen enunciados verdaderos no demostrables)

El teorema de corrección dice lo siguiente (sólo con sentencias para evitar complicaciones innecesarias): si \( \Gamma \vdash \varphi \) entonces \( \Gamma \models \varphi \). Es decir, si existe una demostración de \( \varphi \) con premisas en \( \Gamma \), entonces todo modelo de \( \Gamma \) es también modelo de \( \varphi \), esto es, para todo estructura M, si todas las sentencias de \( \Gamma \) son verdaderas en M, entonces \( \varphi \) también es verdadera en M. Hay que notar que esto es un teorema (trivial) de lógica de primer orden, y no hace ninguna referencia a la aritmética ni nada parecido, sirve para cualquier conjunto de sentencias de primer orden que se te ocurra.

Con esta forma, la inversa SÍ se verifica (también lo probó Gödel, en su tesis doctoral, un año antes de sus teoremas de incompletitud), y este es uno de los primeros resultados profundos de la lógica de primer orden: el teorema de completitud. Este teorema dice que si \( \Gamma \models \varphi \) entonces \( \Gamma \vdash \varphi \), es decir, si para toda estructura M donde todas las sentencias de \( \Gamma \) son verdaderas, \( \varphi \) también lo es, entonces existe una demostración de \( \varphi \) con premisas en \( \Gamma \).

Teniendo esto en cuenta, el hecho de que no exista una teoría completa y recursiva para la aritmética implica que cualquier axiomatización recursiva admite otras interpretaciones además de la natural, \( \mathbb{N} \), donde la sentencia de Gödel es falsa. Por ejemplo, esto quiere decir que hay estructuras donde todos los axiomas de Peano son verdaderos, pero la sentencia de Gödel es falsa (este es el punto de partida de la teoría de los modelos no estándar de la aritmética de Peano).

Por último, en los teoremas de incompletitud de Gödel es importante fijarse en la palabra recursiva, que es esencial y es lo primero que se suele olvidar la gente a la hora de enunciarlo. Existe una axiomatización completa de la aritmética: simplemente tomando como axiomas todas las sentencias de primer orden que son verdaderas en el modelo estándar \( \mathbb{N} \), lo que se conoce como la teoría de \( \mathbb{N} \), \( Th(\mathbb{N}) \). Por supuesto esta axiomatización no es recursiva, por lo que no incumple el teorema de incompletitud.

Saludos
En otro hilo surgió exactamente este tema, porque la formulación que hace Óscar (que es por supuesto correcta, y acorde con el main stream del pensamiento matemático moderno) es fuertemente contraintuitiva, y shockea bastante a las mentalidades afines al  constructivismo (y por qué no, tal vez nostálgicas del intuicionismo).
La forma tradicional, que no ha dejado de ser correcta, es enunciar el teorema de completitud de Gödel de la siguiente manera:

Toda fórmula lógicamente verdadera es demostrable en el cálculo puro de predicados, y toda fórmula demostrable del cálculo puro de predicados es lógicamente verdadera.

Como corolario, toda fórmula que es consecuencia lógica, en un modelo M de la teoría T, de un conjunto de fórmulas Gamma, es demostrable en el lenguaje de la teoría T a partir de Gamma:

\( M, \Gamma\vDash\varphi \) implica \( L,\Gamma\vdash\varphi \)

(Hoy en día se demuestra esto primeramente, y se saca la formulación original de Gödel como corolario para el caso en que Gamma es vacío.)

En esta formulación (si se quiere, histórica), la sentencia indecidible de Gödel (llamémosla SIG) es verdadera en el modelo estándar, pero no es consecuencia lógica de los axiomas de Peano (llamémoslos Ax(PA)):

\( M \vDash SIG \) pero \( M, Ax(PA)\not\vDash SIG  \)

Extensionalmente esto es posible, porque las sentencias de un determinado conjunto  pueden ser verdaderas en un modelo, pero ser independientes, es decir, no compartir ninguna relación.

Y por lo tanto

\( L, Ax(PA)\not\vdash SIG  \)

En modo alguno intento desautorizar o enmendar lo que planteó Óscar, sólo dar una formulación más tradicional, y a mi juicio, más cercana a la intuición.   ;).

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Diciembre, 2011, 12:37 am
Hola argentinator,

Tanto tiempo... "Pasaba" por el foro y vi este mensaje:

me tomé la libertad de poner al pie de varios mensajes de Gustavo unas flechitas que enlazan mensajes más o menos consecutivos de los que Gustavo escribió

Te agradezco mucho el trabajo que te has tomado.

Un saludo cordial,

G.P.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 12 Diciembre, 2011, 03:37 am
Bueno, ya que lo de Godel nunca lo termino de entender, por lo menos hago trabajo de oficina, que eso sí me sale  :D

Y a ver si pasás más seguido.
Ya Ivorra me estuvo machacando con el asunto de qué diablos es la metamatemática, lo cual es fundamental para creerse estos resultados de Godel.

Más allá de si me creo o no el proceder de la metamatemática, ahora por lo menos entiendo mejor qué se acepta en ese terreno.

Estuve haciendo unos programitas con todo esto, pero me llevó trabajo meter los axiomas en el programa, y lo dejé. Sin embargo siempre está la oportunidad de retomar el asunto.

De paso aprovecho para promocionar el blog del libro, que la gente debiera visitar:

http://godelparatodos.blogspot.com/ (http://godelparatodos.blogspot.com/)

Nos vemos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 14 Diciembre, 2011, 11:39 am
Hola de nuevo,

Sobre la metamatemática...

Citar
Debemos el concepto de metamatemática a Hilbert. Correspondiendo vagamente al venerable término "metafísica", la "metamatemática" vendría a ser una ciencia cuyo objeto habría de buscarse en el conjunto de la matemática. Ahora bien, esta metamatemática no sería una disciplina filosófica, a diferencia de la metafísica, sino matemática, una teoría matemática.
La dificultad que ofrece esta determinación de la metamatemática salta a la vista. Si la metamatemática es una teoría matemática cuyo objeto consiste en la totalidad de la matemática misma, habría de contenerse a sí misma como objeto. La dificultad se soluciona con sólo advertir que, en este contexto, las palabras "matemático" y "matemática" no se refieren a lo mismo. Se trata, más bien, de una teoría matemática constructiva que tiene como objeto a la matemática entera, en la medida que ésta se presenta como una teoría axiomática.

Paul Lorenzen (1971), Metamatemática, Editorial Tecnos, Madrid. (Las itálicas en la cita son del autor.)

Desde hace algún tiempo me ronda la idea de discutir en el foro una demostración diferente del Teorema de Gödel (diferente, quiero decir, de la que se muestra en este hilo). Es una demostración que desarrolla Raymond Smullyan en su libro "Para imitar a un pájaro imitador" y que creo que podría interesarte porque (hasta donde entiendo) los conceptos que involucra son más fáciles de programar que los que aparecen en la demostración clásica de Gödel.

Seguramente en unos días me atreveré a tomar aire y zambullirme en este proyecto.

Un saludo!

G.P. 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Fernando Revilla en 14 Diciembre, 2011, 12:39 pm
Seguramente en unos días me atreveré a tomar aire y zambullirme en este proyecto.

Por supuesto que será bienvenido.

Un saludo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 21 Diciembre, 2011, 08:34 pm
Es una demostración que desarrolla Raymond Smullyan en su libro "Para imitar a un pájaro imitador"
Hola, Gustavo,
pude conseguir en internet la versión en inglés:
http://www.filestube.com/9K0jU74buMm2iFVRVhzGT4/Smullyan-R-To-Mock-a-Mockingbird-Alfred-A-Knopf-1985-ISBN-0394534913-600dpi-T-257s.html

Curiosa la traducción al castellano del título, normalmente uno diría que lo más aproximado es "Burlar a un ruiseñor", que es un juego de analogía con el famoso best seller "Matar a un ruiseñor" (To kill a mockingbird). Probablemente hayan querido salvar el juego de palabras, porque la traducción literal de "mockingbird" es "pájaroburlador".

Otro libro que propone juegos para explicar el teorema es "Gödel, Escher, Bach", de Douglas Hofstadter, aunque es un poco denso, con sus aproximadamente mil páginas, y sus paralelismos con la música de Bach y los grabados de Escher... ¿Alguien lo leyó? ¿Qué opinión tienen de él y de los otros libros de Hofstadter referidos al tema ("Yo soy un bucle extraño", )?

Saludos!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 21 Diciembre, 2011, 08:54 pm
Hola Elius,

Gracias por el enlace, lo copié en el hilo donde he empezado a comentar ese libro de Smullyan.

Leí hace unos meses "Yo soy un bucle extraño" y me decepcionó bastante.

El famosísismo "Gödel, Escher y Bach" está muy bien, aunque conservo claramente la impresión de que a veces es demasiado reiterativo en sus explicaciones (por momentos el autor parece olvidar que el lector puede releer los pasajes difíciles, y que no es necesario que los vuelva a escribir).

Un saludo!
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 22 Diciembre, 2011, 12:46 pm
Agrego el enlace al hilo donde Gustavo está desarrollando su explicación del libro de Raymond Smullyan "Juegos para imitar a un pájaro imitador", que contiene, entre otros temas, una aproximación a través de la lógica combinatoria al Teorema de Gödel:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,52949.msg210863.html#msg210863

Saludos

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 25 Noviembre, 2013, 08:49 pm
Retomo este hilo para hablar sobre el segundo teorema de incompletitud de Gödel, al que me referí muy brevemente tiempo atrás:
 
3. Se puede probar además que existe un enunciado P cuyo significado se puede interpretar como: "el sistema de axiomas es consistente" y que es indecidible (es decir, ni P ni -P son demostrable en el sistema). Ésta afirmación es el llamado Segundo Teorema de Gödel.

…porque desde entonces he estado estudiando la cuestión y me he dado cuenta de que el tema es mucho más complejo de lo que yo había pensado en primera instancia.

En su artículo original Gödel deduce el segundo teorema de incompletitud como un corolario del primero y esta demostración de Gödel es reproducida casi literalmente en muchísimos libros (incluido “Gödel para Todos”).

Mi intención al retomar este hilo es, en primer lugar, argumentar que la demostración que dio Gödel para su segundo teorema no es correcta, es decir, lo que Gödel afirma haber demostrado es verdaderamente cierto, pero no es correcta la justificación que él da. En segundo lugar, quiero dar una demostración correcta y tan completa como sea posible del segundo teorema de incompletitud.

Mi intención última es que (al menos un resumen de) estas reflexiones sean incluidas en alguna edición posterior (“aumentada y revisada”) de “Gödel para Todos”, en el caso de que una tal edición se concrete alguna vez. Admito finalmente que expongo estas ideas aquí, en este exigente foro, a modo de “banco de pruebas” de las mismas.

En breve comenzaré la exposición.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 26 Noviembre, 2013, 04:11 pm
Antes de explicar la demostración que da el propio Gödel para su segundo teorema de incompletitud voy a recordar algunos de los pasos fundamentales de la demostración del primer teorema (los detalles fueron escritos años atrás en este mismo hilo). Esto resulta conveniente ya que la demostración que da Gödel para el segundo teorema se basa en lo que voy a explicar a continuación:

1) Fijamos en primer lugar un lenguaje de primer orden para la aritmética.

2) Suponemos que se ha dado un sistema recursivo y consistente de axiomas aritméticos que permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos (los axiomas de Peano de primer orden, por ejemplo, supuesto que sean consistentes, cumplen estas hipótesis).

3) A cada fórmula (en particular, a cada enunciado) y a cada sucesión de fórmulas (en particular, a cada demostración basada en los axiomas dados) le asignamos un número natural, llamado su número de Gödel o su código.

4) Probamos que existe una fórmula \( Dem(x,y) \) que expresa la relación “\( x \) es el código de una demostración del enunciado de código \( y \)” (por “demostración” debe entenderse “demostración basada en los axiomas dados”).

5) Probamos que existe un enunciado \( G \), cuyo código es un número \( g \) y que es sintácticamente equivalente al enunciado \( \sim \exists x Dem(x,\bar{g}) \).

Dos aclaraciones sobre el punto 5:
a) “Sintácticamente equivalentes” quiere decir que la equivalencia entre ambos enunciados puede probarse usando exclusivamente los axiomas y reglas de inferencia que dimos antes (años atrás) para la lógica de primer orden.
b)   \( \bar{g} \) es la abreviatura de \( SS\ldots S0 \), donde la \( S \) (la función sucesor) aparece \( g \) veces. En otras palabras, \( \bar{g} \) es la abreviatura del “nombre” del número \( g \) en el lenguaje formal mencionado en el punto 1.

6) El enunciado \( \sim \exists x Dem(x,\bar{g}) \) puede interpretarse semánticamente como “El enunciado \( G \) no es demostrable a partir de los axiomas dados”, y como este enunciado es equivalente a \( G \) entonces podemos interpretar que \( G \) dice “\( G \) no es demostrable” (éste es el famoso enunciado que dice “Yo no soy demostrable”). (A veces no aclaro “demostrable a partir de los axiomas dados” para no ser pesado y reiterativo, pero siempre debe darse por sobreentendida esa aclaración).

7) Hemos probado también que ni \( G \) ni \( \sim G \) son demostrables a partir de los axiomas dados. Para probar que \( \sim G \) no es demostrable es necesario suponer que los axiomas son \( \omega - \)consistentes, una hipótesis que es más fuerte que la de la simple consistencia, pero para probar que \( G \) no es demostrable basta con la consistencia.

Vamos a probar a continuación que \( G \) no es demostrable a partir de los axiomas dados.

Supongamos que \( G \) sí fuese demostrable; entonces existiría un número \( k \) que es el código de una demostración de \( G \). Por lo tanto el enunciado \( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) sería verdadero y finitista (su verdad es verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos), y por ende, por hipótesis, es demostrable. No es difícil probar sintácticamente que, en consecuencia, \( \exists x Dem(x,\bar{g}) \) también es demostrable.

Pero por otra parte, como \( G \) es sintácticamente equivalente a \( \sim \exists x Dem(x,\bar{g}) \) entonces, que \( G \) sea demostrable implica que \( \sim \exists x Dem(x,\bar{g}) \) también es demostrable.

Hemos probado así que:   
\(  \exists x Dem(x,\bar{g}) \) es demostrable
\( \sim \exists x Dem(x,\bar{g}) \) es demostrable
Esto contradice la consistencia de los axiomas, luego, \( G \) no es demostrable.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 26 Noviembre, 2013, 04:19 pm
Expresamos la consistencia
La consistencia de un sistema de axiomas puede ser expresada mediante muchos enunciados aritméticos diferentes. Por ejemplo, la definición nos dice que un sistema de axiomas es consistente si y sólo si no existe un enunciado \( P \) tal que \( P \) y \( \sim P \) sean a la vez demostrables a partir de esos axiomas. Adoptemos estas abreviaturas:

a) Llamemos \( neg(x) \) a alguna función tal que si \( x \) es el código de un enunciado \( P \) entonces \( neg(x) \) es el código de \( \sim P \). Según la codificación definida antes en este mismo hilo, \( neg(x) \) consiste en concatenar a izquierda de \( x \) el código del símbolo de la negación, para otras codificaciones la definición sería diferente.
b) Abreviemos como \( Teo(y) \) la fórmula \( \exists x Dem(x,y) \), es decir, \( Teo(y) \) expresa la relación “\( y \) es el código de un enunciado demostrable”.

Por lo tanto, la consistencia del sistema puede ser expresada mediante el enunciado:
\( \sim \exists x (Teo(x)\land Teo(neg(x))) \)

Por otra parte, puede probase que en un sistema inconsistente todo enunciado es demostrable; en otras palabras, un sistema es consistente si y sólo si existe algún enunciado que no es demostrable a partir de él. Luego, la consistencia también puede expresarse así:
\( \exists x (Enunc(x) \land \sim Teo(x)) \) (donde \( Enunc(x)  \) expresa la propiedad “\( x  \) es el código de un enunciado”).

Pero también… recordemos que estamos suponiendo que el sistema de axiomas permite demostrar todos los enunciados finitistas verdaderos, en particular permite demostrar el enunciado \( \sim (\bar{1}=0) \). Luego, la consistencia también puede expresarse así:
\( \sim Teo(\bar{n_0}) \), donde \( n_0 \) es el código de \( \bar{1}=0 \).

En este último punto, el enunciado \( \bar{1}=0 \) puede ser reemplazado por la negación de cualquier enunciado finitista verdadero; en consecuencia tenemos que hay infinitos enunciados aritméticos que expresan la consistencia del sistema de axiomas. Un primer punto sobre el que invito a reflexionar es éste: aunque todos los enunciados que hemos dado son, en cierto nivel, semánticamente equivalentes (todos expresan que el sistema es consistente), no queda para nada claro que sean sintácticamente equivalentes (tomando los axiomas de la lógica de primer orden expresados en el lenguaje de la aritmética).
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 26 Noviembre, 2013, 05:59 pm
La demostración de Gödel
He aquí la demostración que da Gödel para su segundo teorema de incompletitud.

Antes hemos probado que: “si el sistema de axiomas es consistente entonces \( G \) no es demostrable”. Ahora bien, el enunciado que dice “\( G \) no es demostrable” es el propio \( G \); por otra parte, sea \( CON \) cualquiera de los enunciados aritméticos que expresan la consistencia del sistema. Hemos probado entonces que vale \( CON \to G \).

Ahora bien, toda la deducción que lleva de \( CON  \) a \( G \), dice Gödel, se basa exclusivamente en argumentos sintácticos. Es decir, es posible traducir la demostración que hicimos antes de que \( G \) no es demostrable a una sucesión de fórmulas de primer orden que comienza con \( CON  \) y termina con \( G \) y en la que cada fórmula es un axioma o bien se deduce de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia.

En consecuencia, la validez de \( CON \to G \) puede ser verificada algorítmicamente en una cantidad finita de pasos. En otras palabras, \( CON \to G \) es un enunciado finitista verdadero y, por hipótesis, es entonces demostrable a partir de los axiomas dados.

Supongamos entonces que \( CON  \) fuera demostrable, como \( CON \to G \) es demostrable entonces (por la regla del modus ponens) \( G \) sería demostrable; esto contradice lo que probamos antes, luego \( CON  \) no es demostrable. QED.

Ésta es, esencialmente, la demostración de Gödel. En lo que sigue voy a dar algunos argumentos que, aunque quizás no lo prueben rigurosamente, sí me hace dudar fuertemente de su validez. En concreto, sí es verdad (y lo probaré más adelante) que \( CON \to G \) es demostrable a partir del sistema de axiomas (al menos para algunas versiones de \( CON  \)), pero creo que no es correcto el modo en que Gödel lo justifica. Hablaré de eso en lo que sigue. 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 26 Noviembre, 2013, 09:31 pm
¿Por qué desconfío de la demostración de Gödel?
Gödel dice que todo el desarrollo que lleva de \( CON \) a \( G \) (en realidad, de \( \sim G \) a \( \sim CON \)) puede traducirse a una sucesión de fórmulas que constituye una demostración aritmética según la lógica de primer orden. Ese desarrollo, recordemos, comienza así:

“Supongamos que \( G \) sí fuese demostrable; entonces existiría un número \( k \) que es el código de una demostración de \( G \). Por lo tanto el enunciado \( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) sería verdadero y finitista (su verdad es verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos), y por ende, por hipótesis, es demostrable.”

¿Cómo se traduce esto sintácticamente, es decir, como se lo convierte en una demostración aritmética formal de primer orden?
 
“\( G \) es demostrable” se expresa así: \( \exists x Dem(x,\bar{g}) \). De esto hemos deducido que vale \( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) para algún \( k \). Pero para traducir esto a una deducción sintáctica necesitaríamos que el siguiente esquema sea válido en la lógica de primer orden (es decir, que sea deducible de los axiomas de la lógica de primer orden):

\( \exists x Dem(x,\bar{g})\to Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) para algún \( k \).

O sea, debería valer que: \( \exists x P(x)\to P(\bar{k}) \) para algún \( k \)., Lo que equivale a decir que si \( \exists x P(x) \) es demostrable a partir de los axiomas entonces \( P(a) \) es demostrable para algún \( a \) en el modelo estándar de los axiomas de Peano, hecho que es falso en general. Tal vez sí sea cierto para el caso particular en que \( P(x) \) sea \( Dem(x,\bar{g}) \), pero para probarlo, en caso de que sea cierto, debería apelarse seguramente a la maquinaria de la teoría de modelos, o al menos de la teoría de conjuntos, y ya no queda claro que pueda traducirse a una demostración aritmética formal de primer orden.

Otro argumento me fue señalado alguna vez por un lector de “Gödel para Todos” y diría así.
Hagamos la siguiente deducción “a lo Gödel”:

Hemos probado que \( \sim G\to \sim CON \) es demostrable. Por otra parte, ya hemos dicho que si un sistema de axiomas no es consistente entonces todo enunciado es demostrable a partir de esos axiomas, y esto puede probarse sintácticamente. Sea \( Q \) un enunciado finitista verdadero cualquiera, luego vale \( \sim CON\to \sim Q \) y este enunciado es demostrable en el sistema (porque su validez es verificable algorítmicamente).
Luego:

\( \sim G\to \sim CON \) es demostrable
\( \sim CON\to \sim Q \) es demostrable

En consecuencia, \( \sim G\to \sim Q \) es demostrable (esto es fácil de probar) y entonces \( Q\to G \) es demostrable. Finalmente, como \( Q \) es demostrable (ya que es finitista y verdadero) entonces deducimos que \( G \) es demostrable, lo cual es falso.

¿Cuál es el error en este razonamiento? Llamo su atención sobre el hecho de que \( \sim G\to \sim CON \) sí es demostrable en el sistema (lo probaremos después), de modo que el error, creo yo, tiene que estar en el modo en que justificamos que \( \sim G\to \sim Q \) es demostrable. Es decir, es falso que si la validez de una demostración aritmética que comienza con \( P \) y termina con \( Q \) es verificable algorítmicamente entonces necesariamente \( P\to Q \) deba ser demostrable en el sistema. Por lo tanto, aunque es verdad que \( CON\to G \) es demostrable en el sistema, la justificación que da Gödel para ese hecho no sería correcta. 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 27 Noviembre, 2013, 12:03 am
Hola, Gustavo.

En primer lugar, creo que hay que "romper una lanza" por Gödel.

En la versión que tengo de su artículo de 1931 (Sobre sentencias formalmente indecidibles...) el segundo teorema de incompletitud aparece como Teorema XI, y Gödel dice:

Citar
La prueba (meramente esbozada) es la siguiente: ...

y luego termina:

Citar
Los resultados en toda su generalidad serán formulados y probados en una continuación de próxima aparición. En ese trabajo presentaremos también la prueba detallada del teorema XI, que aquí sólo fue esbozada.

Dicha continuación nunca se publicó. En su segundo trabajo sobre incompletitud, de 1934, el segundo teorema ni siquiera aparece enunciado como teorema, sino como una mera observación al final de la sección 5, donde dice (modifico un poco las fórmulas que cita porque sólo me interesan las palabras):

Citar
Los razonamientos más bien simples empleados en esta prueba pueden ser calcados en la lógica formal para obtener una deducción de Con \( \rightarrow \lnot G \), donde Con  es una fórmula del sistema que expresa la sentencia [no se puede deducir una contradicción]. Entonces, si también fuese deducible Con, podríamos [...] inferir G, en cuyo caso, como ya se ha visto, el sistema contendría una contradicción.

Como digo, he alterado un poco las fórmulas que escribe Gödel, porque lo único que quiero destacar es que Gödel insiste en que simplemente está dando un esbozo de la prueba, y todo lo que dice en dicho esbozo es correcto, aunque lo que dice no lo justifica, pero creo que no hay duda de que él mismo es consciente de ello, por lo que no puede decirse que su justificación no es correcta. No porque sí que lo sea, sino porque no pretende ser una justificación. Concretamente, Gödel no pretende justificar en ningún momento su afirmación de que toda la prueba finitista del (primer) teorema de incompletitud es formalizable en cualquier teoría aritmética. Lo afirma diciendo que "se puede demostrar", pero no lo demuestra.

¿Por qué desconfío de la demostración de Gödel?

A esto quería llegar: no creo que pueda hablarse de "la demostración" de Gödel.

Dicho esto, queda planteado el problema de proporcionar una prueba que justifique la afirmación de Gödel al respecto.

Gödel dice que todo el desarrollo que lleva de \( CON \) a \( G \) (en realidad, de \( \sim G \) a \( \sim CON \)) puede traducirse a una sucesión de fórmulas que constituye una demostración aritmética según la lógica de primer orden. Ese desarrollo, recordemos, comienza así:

“Supongamos que \( G \) sí fuese demostrable; entonces existiría un número \( k \) que es el código de una demostración de \( G \). Por lo tanto el enunciado \( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) sería verdadero y finitista (su verdad es verificable algorítmicamente en una cantidad finita de pasos), y por ende, por hipótesis, es demostrable.”

¿Cómo se traduce esto sintácticamente, es decir, como se lo convierte en una demostración aritmética formal de primer orden?
 
“\( G \) es demostrable” se expresa así: \( \exists x Dem(x,\bar{g}) \). De esto hemos deducido que vale \( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) para algún \( k \). Pero para traducir esto a una deducción sintáctica necesitaríamos que el siguiente esquema sea válido en la lógica de primer orden (es decir, que sea deducible de los axiomas de la lógica de primer orden):

\( \exists x Dem(x,\bar{g})\to Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) para algún \( k \).

Esto último es falso, sin duda alguna, pero no es exactamente la formalización del argumento que prueba el primer teorema de incompletitud. Estás hablando de la implicación que parte de "G es demostrable" y llega a \( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) es demostrable. La formalización de la hipótesis es ciertamente \( \exists x Dem(x,\bar{g}) \), como bien dices, pero la formalización de la consecuencia no sería la que indicas (\( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \)), sino la sentencia que afirma que existe un \( k \) tal que \( Dem(\bar{k}, \bar{g}) \) es demostrable.

Formalizar esa sentencia requiere un poco de trabajo. Para empezar habría que formalizar la función que a cada número \( k \) le asigna el número de Gödel de \( \bar k \), etc.

O sea, debería valer que: \( \exists x P(x)\to P(\bar{k}) \) para algún \( k \)., Lo que equivale a decir que si \( \exists x P(x) \) es demostrable a partir de los axiomas entonces \( P(a) \) es demostrable para algún \( a \) en el modelo estándar de los axiomas de Peano, hecho que es falso en general. Tal vez sí sea cierto para el caso particular en que \( P(x) \) sea \( Dem(x,\bar{g}) \), pero para probarlo, en caso de que sea cierto, debería apelarse seguramente a la maquinaria de la teoría de modelos, o al menos de la teoría de conjuntos, y ya no queda claro que pueda traducirse a una demostración aritmética formal de primer orden.

No, no es cierto ni en ese caso en particular. Basta tener en cuenta que si una teoría (aritmética recursiva) T es consistente, también lo es T + \( \lnot \) G, luego esta teoría tiene un modelo en el cual existe un \( x \) que demuestra G, es decir, en tal modelo es verdadero \( \exists x Dem(x,\bar{g}) \), pero no existe ningún natural "de verdad" que cumpla \( Dem(\bar k,\bar{g}) \), porque eso significaría que \( G \) es demostrable en T, y no lo es. Como en este modelo se cumple la hipótesis de la implicación que planteas, pero no la conclusión, resulta que dicha implicación no es demostrable.

Otro argumento me fue señalado alguna vez por un lector de “Gödel para Todos” y diría así.

Este argumento me resulta confuso. Quiero decir que no sé muy bien qué pretende probar y bajo qué supuestos.

Hagamos la siguiente deducción “a lo Gödel”:

Hemos probado que \( \sim G\to \sim CON \) es demostrable.

No entiendo lo de "hemos probado". Esto es cierto (como bien dices luego), pero a partir de ahí el segundo teorema de incompletitud es inmediato.

Por otra parte, ya hemos dicho que si un sistema de axiomas no es consistente entonces todo enunciado es demostrable a partir de esos axiomas, y esto puede probarse sintácticamente. Sea \( Q \) un enunciado finitista verdadero cualquiera, luego vale \( \sim CON\to \sim Q \) y este enunciado es demostrable en el sistema (porque su validez es verificable algorítmicamente).

No, no, la afirmación  \( \sim CON\to \sim Q \) no es necesariamente válida, luego su validez no es verificable ni algorítmica ni no algorítmicamente.

La hipótesis \( \sim CON \) significa que la teoría considerada es contradictoria, y si eso es cierto, toda afirmación (en particular \( \sim Q \)) es demostrable en la teoría, pero esa implicación no es la que dices. No es "Si la teoría es contradictoria entonces se cumple no Q", sino "Si la teoría es contradictoria en ella se puede demostrar no Q", y la forma de expresar eso no es la implicación que pones, sino \( \sim CON\to \exists x\,\mbox{Dem}(x,\bar q) \), donde \( \bar q \) es el número de Gödel de \( \sim Q \). Lo que sigue a partir de ahí ya no está justificado.

¿Cuál es el error en este razonamiento? Llamo su atención sobre el hecho de que \( \sim G\to \sim CON \) sí es demostrable en el sistema (lo probaremos después), de modo que el error, creo yo, tiene que estar en el modo en que justificamos que \( \sim G\to \sim Q \) es demostrable.

No. El error es que la afirmación que dices que es algorítmicamente demostrable no es siquiera necesariamente verdadera.

Es decir, es falso que si la validez de una demostración aritmética que comienza con \( P \) y termina con \( Q \) es verificable algorítmicamente entonces necesariamente \( P\to Q \) deba ser demostrable en el sistema.

No sé si entiendo bien esta afirmación. Si dices que tenemos una demostración aritmética (entiendo que esto significa una demostración en una teoría aritmética prefijada) que empieza por P y termina con Q, lo que tenemos, es (literalmente) una demostración aritmética de que \( P\to Q \). Entonces no entiendo por qué dices que  \( P\to Q \) no es demostrable en el sistema. Si lo entiendo bien, la premisa es exactamente lo mismo que la conclusión que niegas. Si estoy liándome necesitaría que me aclararas el sentido de esta frase.

Por lo tanto, aunque es verdad que \( CON\to G \) es demostrable en el sistema, la justificación que da Gödel para ese hecho no sería correcta. 

No veo ninguna relación entre lo anterior y el esbozo de Gödel.

Por otra parte, aunque (supongo) podría probarse el segundo teorema de incompletitud siguiendo las directrices de Gödel, es decir, formalizando literalmente la prueba del primer teorema de incompletitud, cuando uno se pone a hacerlo se da cuenta de que es tediosísimo (y hay que enfrentarse a sutilezas, como formalizar bien la implicación que hemos discutido al principio), pero afortunadamente también se da cuenta de que basta formalizar algunas propiedades del concepto lógico de demostración. Concretamente, basta formalizar las condiciones de Hilbert-Bernays:

http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E2%80%93Bernays_provability_conditions (http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%E2%80%93Bernays_provability_conditions)

La única que da guerra es la segunda. A partir de ellas la prueba del segundo teorema de incompletitud es ya muy sencilla.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 27 Noviembre, 2013, 01:35 am
Estimado Carlos,

Más allá de la distinción entre "esbozo" o "demostración incompleta", me parece que estamos de acuerdo en que en su artículo Gödel no da una demostración completa y satisfactoria de su segundo teorema. Admito, en defensa de Gödel, que él es el primero en decirlo.

Mi intención era dar, además, una demostración completa del segundo teorema, pero veo que ya la has referido en el enlace y que, en tu opinión, salvo probar la segunda condición de Hilbert-Bernays, todo lo demás es "muy sencillo". Me parece, entonces, que no vale la pena que continúe por ese camino y en consecuencia doy por terminada mi intervención.

Saludos cordiales,

G.P.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 27 Noviembre, 2013, 01:58 am
Por cierto... en mi comentario anterior me faltó decir algo importante:

Como dije al principio, buscaba en este foro un "banco de pruebas" para mis ideas, y ciertamente lo obtuve, agradezco a Carlos por eso.  :aplauso:

Ahora sí, ya no me queda nada por decir... de modo que me retiro.

Gracias y saludos,

G.P.
 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 27 Noviembre, 2013, 12:18 pm
Más allá de la distinción entre "esbozo" o "demostración incompleta", me parece que estamos de acuerdo en que en su artículo Gödel no da una demostración completa y satisfactoria de su segundo teorema.

En efecto.

Mi intención era dar, además, una demostración completa del segundo teorema, pero veo que ya la has referido en el enlace y que, en tu opinión, salvo probar la segunda condición de Hilbert-Bernays, todo lo demás es "muy sencillo". Me parece, entonces, que no vale la pena que continúe por ese camino y en consecuencia doy por terminada mi intervención.

Bueno, en el enlace sólo están enunciadas las condiciones de Hilbert-Bernays. No hay nada demostrado. Y lo de "muy sencillo" hay que entenderlo en términos relativos, es decir, en el sentido de que, para alguien que haya asimilado bien la demostración del primer teorema de incompletitud, la gran dificultad que presenta la demostración del segundo es formalizar ciertos resultados en cualquier sistema aritmético que al final pueden reducirse a las condiciones de Hilbert-Bernays. Hecho esto, la demostración del segundo teorema de incompletitud es "tan sencilla" como la del primero (como la parte final que supone construir la sentencia de Gödel y probar que es indecidible contando ya con todos los preliminares sobre numeración de Gödel, recursión, etc.). Pero en términos absolutos no creo que sea justo decir que ni una ni otra son sencillas.

En cualquier caso, que yo haya calificado de sencilla la prueba no me parece razón para que renuncies a tu exposición, dado que puede haber otras personas interesadas que no conozcan la prueba y que discrepen de mi calificación subjetiva en caso de que trataran de estudiarla por sí mismas. Pero, naturalmente, tú tienes la última palabra sobre el asunto.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 27 Noviembre, 2013, 10:04 pm
En cualquier caso, que yo haya calificado de sencilla la prueba no me parece razón para que renuncies a tu exposición, dado que puede haber otras personas interesadas que no conozcan la prueba y que discrepen de mi calificación subjetiva en caso de que trataran de estudiarla por sí mismas.
Tal vez lo haga, ya veré, sobre todo porque no voy a basarme en la condiciones de Hilbert-Bernays, sino en otras.

Pero por ahora me gustaría solamente repetir el segundo de los argumentos que di antes, no tanto para insistir en su validez, sino para que al menos se entienda qué dice. (Quiero aclarar además que  mi crítica, en todo caso, no se refiere tanto a Gödel mismo quien, en efecto, sólo dijo que estaba dando un esbozo de su demostración, sino a los libros que han repetido ese razonamiento sin detenerse a reflexionar cuidadosamente en él; me incluyo sin reservas en esa crítica).

El argumento que di antes intenta presentar una refutación por el absurdo del razonamiento de Gödel. Esencialmente mi argumento dice así: “Si la demostración de Gödel fuese correcta entonces se llegaría a un absurdo”. Paso a explicarlo una vez más, espero que esta vez con más claridad.

Sólo por simplicidad esta vez voy a fijar una teoría aritmética específica, los axiomas de Peano de primer orden (PA), y para mayor claridad voy a referir todo el razonamiento a esa teoría en particular. Es decir, voy a suponer que \( CON \) es un enunciado aritmético que expresa la consistencia de PA y que \( G \) es el enunciado aritmético que dice esencialmente que “\( G \) no es demostrable en PA”.

Yo digo que la demostración de Gödel para su segundo teorema de incompletitud se basa en esta afirmación:

“Si \( P \) y \( Q \) son enunciados aritméticos tales que hay una demostración formal que comienza con \( P \) y termina con \( Q \) entonces el enunciado \( P\to Q \) es demostrable en PA”. (Voy a llamar a esta afirmación la “Hipótesis de Gödel”, HG).

Gödel afirma esta hipótesis para un conjunto más amplio de teorías, que incluye a PA como caso particular, pero ya dije que me referiré solamente a PA. Aclaro además que por “demostración formal que comienza con \( P \) y termina con \( Q \)” entiendo una sucesión de fórmulas aritméticas que comienza con \( P \) y termina con \( Q \) y en la que cada fórmula, excepto eventualmente la primera (\( P \)), o bien es un axioma (de PA o de la lógica de primer orden), o bien se deduce de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia de la lógica primer orden.

¿Cómo demuestra Gödel su segundo teorema? Él dice que el razonamiento que, en la demostración del primer teorema, llevó de  \( \sim G \) a \( \sim CON \) puede transformarse en una demostración formal, es decir, que existe una demostración formal (en el sentido que definí antes) que comienza con \( \sim G \) y termina con \( \sim CON \). Luego, por HG, \( \sim G \to \sim CON \) es demostrable en PA. (La demostración de Gödel continúa, pero éste que acabo de describir es el paso fundamental.)

Mi intención es probar que, o bien HG es falsa, o bien no existe una demostración formal que comience con \( \sim G \) y termine con \( \sim CON \). Desde luego esto no negaría la validez del segundo teorema de incompletitud, pero  sí quitaría validez a la demostración de Gödel.

Ahora yo digo esto: Sea \( \sim Q \) un enunciado aritmético cualquiera. Sabemos que si PA fuera inconsistente entonces \( \sim Q \) sería demostrable en ella. La demostración de este hecho puede traducirse a una demostración formal que lleva de \( \sim CON \) a \( \sim Q \) (de hecho, parece ser una demostración más sencilla que la que lleva de \( \sim G \) a \( \sim CON \)). Dado que éste que acabo de enunciar es el punto crucial, me detendré un poco en él y voy a mostrar a grandes rasgos cuáles serían los pasos de la demostración que lleva de \( \sim CON \) a \( \sim Q \), para ello tomamos como \( CON \) la traducción aritmética de “No existe \( P \) tal que \( P \) y \( \sim P \) sean ambos demostrables en PA” (ya mostré antes ese enunciado). Los pasos de la demostración son:

(1) Supongamos que vale \( \sim CON \).
(2) Luego existe \( P \) tal que \( P \) y \( \sim P \) son ambos demostrables en PA (la traducción formal de este paso parece similar al paso que se da en la demostración que va de \( \sim G \) a \( \sim CON \) al elegir un k que sea el código de una demostración de \(  G \)).
(3) Luego \( P\land \sim P \) es demostrable en PA.
(4) La deducción formal que lleva de \( P\land \sim P \) a \( \sim Q \) es bien conocida.

Por HG entonces \( \sim CON \to \sim Q \) es demostrable en PA.

Tenemos así que si HG vale y existen las demostraciones formales indicadas entonces:
\( \sim G \to \sim CON \) es demostrable en PA
\( \sim CON \to \sim Q \) es demostrable en PA

Luego:
\( \sim G \to \sim Q \) es demostrable en PA
\( Q \to G \) es demostrable en PA.

Tómese como \( Q  \) cualquier enunciado que en efecto sea demostrable en PA, deducimos así que \( G \) es demostrable. Absurdo. Luego, o bien HG es falsa o bien no existen las demostraciones formales cuya existencia hemos afirmado, y en consecuencia la demostración de Gödel no vale.

Si estoy equivocado, pregunto: ¿por qué sí hay una demostración formal que va de \( \sim G \) a \( \sim CON \), pero no de \( \sim CON \) a \( \sim Q \)?
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 27 Noviembre, 2013, 11:22 pm
Yo digo que la demostración de Gödel para su segundo teorema de incompletitud se basa en esta afirmación:

“Si \( P \) y \( Q \) son enunciados aritméticos tales que hay una demostración formal que comienza con \( P \) y termina con \( Q \) entonces el enunciado \( P\to Q \) es demostrable en PA”. (Voy a llamar a esta afirmación la “Hipótesis de Gödel”, HG).

[...]

Aclaro además que por “demostración formal” entiendo una sucesión de fórmulas aritméticas que comienza con \( P \) y termina con \( Q \) y en la que cada fórmula, excepto eventualmente la primera (\( P \)), o bien es un axioma (de PA o de la lógica de primer orden), o bien se deduce de fórmulas anteriores por aplicación de las reglas de inferencia de la lógica primer orden.

Pero eso no es una hipótesis de ninguna clase. Eso se llama teorema de deducción y es un teorema elemental de la lógica de primer orden, y lo puedes encontrar demostrado en cualquier libro de lógica de primer orden.

Me cuesta creer que no hablemos de lo mismo. El teorema de deducción afirma que si tienes un conjunto de axiomas \( \Gamma \) y se cumple \( \Gamma,\alpha\vdash \beta \), donde (por simplificar) suponemos que \( \alpha \) no tiene variables libres (lo cual sucede en todos los ejemplos que pones) entonces \( \Gamma\vdash \alpha\rightarrow \beta \).

En el contexto concreto que planteas, \( \Gamma \) serían los axiomas de Peano, y el teorema de deducción dice que si puedes partir de \( \alpha \) y construir una deducción \( \alpha_1,\ldots, \alpha_n \) de modo que \( \alpha_1=\alpha \), \( \alpha_n=\beta \) y cada fórmula es, o bien \( \alpha \), o bien un axioma de Peano, o bien el resultado de aplicar una regla de inferencia lógica a fórmulas anteriores, entonces de los axiomas de Peano se deduce \( \alpha\rightarrow \beta \).

En general, si \( \alpha \) tuviera variables libres habría que exigir que en la deducción no se generalizara respecto de variables libres en \( \alpha \), pero en tus ejemplos CON, G, etc. son sentencias (sin variables libres) luego esto es irrelevante.

Como te digo, lo que llamas hipótesis de Gödel, se conoce como teorema de deducción, y es un teorema que se demuestra en cualquier libro que exponga el cálculo deductivo de primer orden. No tiene ningún sentido que cuestiones eso.

¿Cómo demuestra Gödel su segundo teorema? Él dice que el razonamiento que, en la demostración del primer teorema, llevó de  \( \sim G \) a \( \sim CON \) puede transformarse en una demostración formal, es decir, que existe una demostración formal (en el sentido que definí antes) que comienza con \( \sim G \) y termina con \( \sim CON \). Luego, por HG, \( \sim G \to \sim CON \) es demostrable en PA. (La demostración de Gödel continúa, pero éste que acabo de describir es el paso fundamental.)

Como te digo, si aceptamos lo primero, lo segundo (que llamas aplicar HG) es necesariamente cierto, porque lo que llamas HG es un teorema básico de la lógica de primer orden.

Mi intención es probar que, o bien HG es falsa, ...

... lo que implica a su vez que todos los libros de lógica están equivocados...

o bien no existe una demostración formal que comience con \( \sim G \) y termine con \( \sim CON \).

Pero sí que existe tal demostración, aunque no hace falta que insista en esto, porque tú sabes que es así. Lo que te cuestiono es tu creencia de que HG puede ser falsa.

Ahora yo digo esto: Sea \( \sim Q \) un enunciado aritmético cualquiera. Sabemos que si PA fuera inconsistente entonces \( \sim Q \) sería demostrable en ella.

Cierto: si PA es contradictoria se puede demostrar \( \blue \sim Q \) en PA. Eso es totalmente cierto.

La demostración de este hecho puede traducirse a una demostración formal...

Cierto.

que lleva de \( \sim CON \) a \( \sim Q \)

¡Falso!

La formalización de la frase en azul no es que de \( \sim CON \) se sigue \( \sim Q \), sino que de \( \sim CON \) se sigue "\( \sim Q \) es demostrable en PA" o, si lo prefieres más técnicamente, que de \( \sim CON \) se puede llegar a \( \exists x\ Dem(x, \bar q) \), donde \( \bar q \) es el número de Gödel de \( \sim Q \).

Quizá veas mejor el error con un ejemplo concreto. Pon que \( Q \) es \( 2+2=4 \). Estás confundiendo las afirmaciones:

A) Si PA es contradictoria se puede probar en PA que \( 2+2\red \neq 4 \).

y

B) Si PA es contradictoria entonces \( 2+2\red \neq 4 \).


La formalización de la primera es

AFORM: \( \sim CON\rightarrow \exists x Dm(x,\bar q) \), donde \( \bar q \) es el número de Gödel de \( \bar 2+\bar 2 = \bar 4 \),

mientras que la formalización de la segunda es

BFORM: \( CON\rightarrow \bar 2+\bar 2\red \neq \bar 4 \).

Admitiendo que PA es consistente, tanto A) como B) son verdaderas, pero hay una diferencia fundamental entre ellas: la afirmación A) es un hecho trivial, consecuencia del principio lógico que dice que de una contradicción se deduce cualquier cosa, y su formalización es AFORM, que es igual de trivial y demostrable en AP.

En cambio, sólo podemos concluir que B) es verdadera si sabemos que CON es verdadera, y sucede que CON no puede ser demostrada en AP, por lo que BFORM no es demostrable en AP.

Pero el problema es que la formalización de A) no es BFORM (como tú afirmas, y que no es demostrable en AP), sino AFORM (que sí que es demostrable en AP).

(de hecho, parece ser una demostración más sencilla que la que lleva de \( \sim G \) a \( \sim CON \)).

Ciertamente, demostrar AFORM es relativamente fácil, mientras que demostrar BFORM (en AP) es imposible, pero eso no desmiente el argumento de Gödel, porque, si queremos seguir el argumento de Gödel y partimos de la frase azul (o sea, A), lo que Gödel está afirmando es que A) es formalizable y que la formalización es demostrable y eso es verdad, lo que afirma el argumento de Gödel es que AFORM es demostrable en AP, y eso es verdad. Tú pretendes que el argumento de Gödel supone que BFORM es demostrable en AP, y eso es falso, pero no desmiente a Gödel, porque BFORM no es la formalización de la frase azul que tú pretendes formalizar. Partes de un hecho trivial (la frase azul), afirmas que se puede formalizar (lo cual es cierto), pero cuando enuncias su formalización, lo que enuncias no es realmente la formalización de A), sino la formalización de B), que no es trivial (porque presupone la consistencia de PA) ni es demostrable (porque CON no es demostrable en PA).

voy a mostrar a grandes rasgos cuáles serían los pasos de la demostración que lleva de \( \sim CON \) a \( \sim Q \), para ello tomamos como \( CON \) la traducción aritmética de “No existe \( P \) tal que \( P \) y \( \sim P \) sean ambos demostrables en PA” (ya mostré antes ese enunciado). Los pasos de la demostración son:

(1) Supongamos que vale \( \sim CON \).
(2) Luego existe \( P \) tal que \( P \) y \( \sim P \) son ambos demostrables en PA (la traducción formal de este paso parece similar al paso que se da en la demostración que va de \( \sim G \) a \( \sim CON \) al elegir un k que sea el código de una demostración de \(  G \)).
(3) Luego \( P\land \sim P \) es demostrable en PA.
(4) La deducción formal que lleva de \( P\land \sim P \) a \( \sim Q \) es bien conocida.

¡Ojo! el paso (4) es capcioso por la mezcla de afirmaciones y explicaciones. Si eliminamos todas las explicaciones, la sucesión es la siguiente:

(1) Supongamos  \( \sim CON \).
(2) Existe \( P \) tal que \( P \) y \( \sim P \) son ambos demostrables en PA
(3) \( P\land \sim P \) es demostrable en PA.
(4)  \( \sim Q \) es demostrable en PA.

Así enunciado, todo es correcto, pero aquí es crucial de que hemos empezado con \( \sim CON \) y ¡no hemos terminado en  \( \sim Q \)! (en contra de lo que pretendes) ¡hemos terminado en que  \( \sim Q \) es demostrable en PA.

Estás confundiendo dos afirmaciones distintas: una es  \( \sim Q \), y otra es " \( \sim Q \) es demostrable en PA".
Por HG entonces \( \sim CON \to \sim Q \) es demostrable en PA.

¡No! Por lo que llamas HG, que se llama comúnmente teorema de deducción, en PA puedes demostrar la formalización de que si PA es contradictoria (1) entonces \( \sim Q \) es demostrable en PA (4), pero dicha formalización no es la que pretendes que sea, sino la sentencia que he llamado AFORM más arriba (para un caso concreto de Q). Si el argumento de Gödel vale, lo que concluimos siguiendo tu línea argumental no es que BFORM es demostrable en PA (como pretendes, lo cual es falso, luego no es de extrañar que llegues a una contradicción a partir de ahí), sino que AFORM es demostrable en PA (lo cual es cierto).

Tenemos así que si HG vale y existen las demostraciones formales indicadas entonces:
\( \sim G \to \sim CON \) es demostrable en PA
\( \sim CON \to \sim Q \) es demostrable en PA

No, si HG vale (que sí que vale, porque es un teorema de la lógica de primer orden) tenemos lo primero, pero no lo segundo, porque lo segundo es BFORM, que NO es la formalización de la frase azul de la que partes.

Luego:
\( \sim G \to \sim Q \) es demostrable en PA
\( Q \to G \) es demostrable en PA.

Tómese como \( Q  \) cualquier enunciado que en efecto sea demostrable en PA, deducimos así que \( G \) es demostrable. Absurdo.

Luego, o bien HG es falsa o bien no existen las demostraciones formales cuya existencia hemos afirmado.

Pero HG no puede ser falsa porque está demostrada en todos los libros de lógica, luego la conclusión es que no existe la demostración formal de BFORM, pero eso no prueba nada porque no es la formalización de la frase azul de la que partes.

Pero si fuera este último el caso entonces pregunto ¿por qué sí hay una demostración formal que va de \( \sim G \) a \( \sim CON \), pero no de \( \sim CON \) a \( \sim Q \)?

Lo uno y lo otro no tienen nada que ver. Si tomas como Q algo como 2+2=4, entonces \( \sim CON\rightarrow \sim Q \) es equivalente a \( CON \). En cambio \( \sim G\rightarrow \sim CON \) es la formalización del primer teorema de incompletitud. La primera sentencia (CON) no es demostrable en AP precisamente por el segundo teorema de incompletitud, y la segunda (o, mejor dicho, el hecho de que la segunda sí que es demostrable en AP) es el núcleo del segundo teorema de incompletitud.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 27 Noviembre, 2013, 11:47 pm
Estimado Carlos,

Sí conozco el teorema de la deducción (por si hiciera falta una prueba de ello, ya lo mencionamos y aplicamos en la edición 2009 de "Gödel para Todos").

Como dije antes, este segundo argumento me fue planteado en realidad por un lector del libro. Ha habido lectores que han llegado a cuestionar, con un tesón digno de mejor causa, hasta lo más incuestionable que puedas imaginar, pero este argumento en particular me había desconcertado sin que pudiera yo refutarlo de una manera satisfactoria, y esto me había hecho cuestionar todo el razonamiento que da Gödel para su segundo teorema (mi "primer argumento" surgió en realidad posteriormente como una explicación para mí mismo de por qué tal vez no existiera la demostración formal que Gödel dice que sí existe).

En fin, necesitaba alguna mente que pudiera pensar más claramente la cuestión, que la viera "desde afuera" digamos, y terminara de convencerme de si el lector tenía razón y había, después de todo, un error fundamental en el razonamiento de Gödel, o si, por el contrario, el error estaba en el argumento del lector. He quedado convencido de esto último y de que el libro, al menos en esa parte, no necesita una corrección profunda después de todo.

Gracias, Carlos, por tu esfuerzo y paciencia. Y lamento si te he ofuscado un poco por mi uso de la "HG", pero la verdad es que, en el fondo, disfruté de estar, por una vez en la vida al menos, en el papel del "refutador serial" que tantas veces me ha tocado padecer en el blog del libro :)

Gracias nuevamente. Un saludo muy cordial,

Gustavo

P.D.: Llegado a este punto realmente no creo que sea necesario dar la otra demostración del segundo teorema de incompletitud, aunque tal vez lo haga más adelante. Más interesante me parece contar alguna vez que existen algunas versiones de CON que sí son demostrables en PA (esto lo demostró Feferman).
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 28 Noviembre, 2013, 12:07 am
Gracias, Carlos, por tu esfuerzo y paciencia. Y lamento si te he ofuscado un poco por mi uso de la "HG",

No sé a qué te refieres. Disculpa tú si he estado muy repetitivo, pero cuando se trata de algo tan sutil es difícil saber cuál de tantas vueltas acabará siendo efectiva para que se entienda el problema.

P.D.: Llegado a este punto realmente no creo que sea necesario dar la otra demostración del segundo teorema de incompletitud, aunque tal vez lo haga más adelante.

Bueno, no deja de ser cierto que decir "el argumento del primer teorema de incompletitud se puede demostrar" no es una demostración. En mi primera versión de mi libro de Lógica yo mismo seguí ese camino (sírvame de excusa que lo escribí con 20 años, cuando todavía estaba en segundo curso de carrera y ni siquiera sabía que existía internet, y apenas tenía más bibliografía al respecto que los trabajos originales de Gödel y poco más), pero precisamente hace poco me escribió un lector pidiéndome una prueba detallada y me decidí a rehacer el libro, y en la segunda edición ya aparece una prueba completa. Eso sí, es bastante técnica. Por eso repito que no veo que esté de más un argumento que pueda hacer que la gente entienda qué hay detrás de esa parte de los resultados de Gödel.

Más interesante me parece contar alguna vez que existen algunas versiones de CON que sí son demostrables en PA (esto lo demostró Feferman).

No sé nada al respecto.  ???
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 28 Noviembre, 2013, 01:40 am
Por eso repito que no veo que esté de más un argumento que pueda hacer que la gente entienda qué hay detrás de esa parte de los resultados de Gödel.
De acuerdo, lo haré en algún momento.

Más interesante me parece contar alguna vez que existen algunas versiones de CON que sí son demostrables en PA (esto lo demostró Feferman).
No sé nada al respecto.  ???

He aquí el artículo:
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm49/fm4915.pdf (http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm49/fm4915.pdf)
El resultado está en el teorema 5.9 y el corolario 5.10. Feferman, inmediatamente después, aclara que esto no contradice el segundo teorema de Gödel sino que muestra la necesidad de ser muy precisos al tratar con afirmaciones relativas a la consistencia.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 28 Noviembre, 2013, 11:59 am
El resultado está en el teorema 5.9 y el corolario 5.10. Feferman, inmediatamente después, aclara que esto no contradice el segundo teorema de Gödel sino que muestra la necesidad de ser muy precisos al tratar con afirmaciones relativas a la consistencia.

Ya veo. Lo he leído por encima, porque la notación es un tanto farragosa, pero si he entendido bien la idea, consiste en definir una formula \( \alpha(x) \) que "enumera" los axiomas de Peano, pero en un sentido débil, pues puede probarse que (el número de Gödel de) toda fórmula "de verdad" \( x \) cumple \( \alpha(\bar x) \) si y sólo si es un axioma de Peano, pero no puede demostrarse en AP que todo axioma de Peano \( x \) cumpla \( \alpha(x) \). Así, en un modelo de AP + \( \lnot \)CON, todos los números naturales estándar que son números de Gödel de axiomas de Peano cumplen \( \alpha(x) \), pero a la vez, el conjunto de números naturales que cumplen \( \alpha(x) \) está acotado (por un número no estándar) luego hay axiomas de Peano no estándar que no cumplen \( \alpha(x) \).

Es ingenioso. Gracias por la referencia.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 28 Noviembre, 2013, 07:42 pm
Gracias por la referencia.
No hay por qué, ha sido un gusto.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 11 Diciembre, 2013, 02:26 pm
Hubiera sido interesante que Gustavo hubiera podido desarrollar su demostración, más allá de si era correcta o no su objeción al esbozo de Gödel...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Diciembre, 2013, 03:25 pm
Hubiera sido interesante que Gustavo hubiera podido desarrollar su demostración, más allá de si era correcta o no su objeción al esbozo de Gödel...

Me desalentó completamente el comentario de Carlos de que era algo "muy sencillo" que se deduce inmediatamente de las condiciones de Hilbert-Bernays, disminuyendo así el interés o la importancia de lo que intentaba hacer. Asumo que no era ésa la intención de Carlos, pero eso es lo que sucedió.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 11 Diciembre, 2013, 10:43 pm
Me desalentó completamente el comentario de Carlos de que era algo "muy sencillo" que se deduce inmediatamente de las condiciones de Hilbert-Bernays, disminuyendo así el interés o la importancia de lo que intentaba hacer. Asumo que no era ésa la intención de Carlos, pero eso es lo que sucedió.

Ya expliqué el significado de mi frase. Creo que puede afirmarse objetivamente que la dificultad de dar una prueba detallada y rigurosa del segundo teorema de incompletitud de Gödel es abismalmente superior a la requerida para el primero, así como que el núcleo de la dificultad está en probar las condiciones de Hilbert-Bernays (o bien algo de potencia similar, no digo que sea el único camino). Una vez probado esto, el resto es "fácil" en el sentido de que la dificultad del resto es equiparable a la de probar el primer teorema de incompletitud, que puede considerarse legítimamente "fácil" en términos relativos cuando se compara con las exigencias del segundo.

Creo que es habitual hablar, por ejemplo, de "la implicación fácil" y "la implicación difícil" de muchos teoremas, donde la diferencia es relativa, sin prejuicio de que "la implicación fácil", digamos, de un teorema de geometría algebraica pueda requerir un dominio de la geometría algebraica que excluya a una buena parte de matemáticos, sin perjuicio de que, para alguien familiarizado con la teoría, ésa sea la parte fácil.

Pero fíjate que, en el sentido que empleé la palabra "fácil" en este contexto (es decir, en el sentido de "fácil en relación con la dificultad añadida que supone probar el segundo teorema de incompletitud")  podría haber dicho igualmente que todo lo que has contado en este hilo, y en tu libro, es "fácil". ¿Si me hubieras dicho que ibas a escribir un libro sobre el teorema de Gödel y yo te hubiera dicho que lo que ibas a contar era "fácil", te habrías desalentado y habrías renunciado a escribirlo? ¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?

Creo que deberías asumir las responsabilidades sobre las decisiones que tomas en lugar de transmitirlas tan frívolamente: puedes contar lo que querías contar o no contarlo, pero decir que si no lo cuentas es por una frase mía, me parece, como mínimo, pueril.

Empezaste un trabajo sobre lógica combinatoria y lo retiraste alegando que se te habían hecho "críticas", cuando lo que se te hizo fueron objeciones racionales a tus afirmaciones, objeciones a las que nunca contestaste y que, como bien sabes, luego vimos que estaban bien fundadas, pues una fundamentación rigurosa del planteamiento que pretendías seguir requiere partir del "lambda-calculus", lo cual no es nada trivial. Ahora dices que te retractas de tu proyecto en este hilo, ya no por haber recibido críticas, sino tan sólo por un mero comentario que, en su contexto, no es ni siquiera un juicio de valor. Mi opinión es que deberías administrar tu libre albedrío mediante criterios más sólidos que los que presentas.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Diciembre, 2013, 10:51 pm
¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: pierrot en 11 Diciembre, 2013, 11:11 pm
Hola, Gustavo.

Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

Este comentario que has hecho es descortés y desagradecido. Dices: "Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones". Pues deberías, ya que todo lo que te ha dicho Carlos es válido en el contexto de este foro y fuera de él.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 11 Diciembre, 2013, 11:29 pm
Hola, Gustavo.

Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

Este comentario que has hecho es descortés y desagradecido. Dices: "Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones". Pues deberías, ya que todo lo que te ha dicho Carlos es válido en el contexto de este foro y fuera de él.

No fue mi intención ser descortés y si lo he sido pido disculpas. Mi respuesta debe leerse en el contexto del mensaje de Carlos Ivorra, quien me dice: "¿Si me hubieras dicho que ibas a escribir un libro sobre el teorema de Gödel y yo te hubiera dicho que lo que ibas a contar era "fácil", te habrías desalentado y habrías renunciado a escribirlo? ¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?" Amplío la respuesta que quise dar, que es ésta: No, no me habría desalentado de escribir un libro ni de actuar de ninguna otra manera en cuestiones ajenas a este foro porque fuera de él tu palabra no me condiciona, pero sí me condiciona en el ámbito de este foro en el que (legítimamente, aclaro) ejerces el poder de editor y administrador.

Espero haber sido ahora más claro. 
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 11 Diciembre, 2013, 11:55 pm
¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

No creo haber expresado aquí ninguna opinión. Pero, aunque así fuera, el espíritu de este foro es que lo que dice cada cual tiene el peso de los argumentos que respalden sus palabras, sin que importe para nada el papel que cada cual tenga asignado en él. Si un recién llegado anónimo hubiera dicho lo mismo que dije yo en su momento sobre las condiciones de Hilbert-Bernays y su "peso" en la prueba del segundo teorema de incompletitud (aportando los mismos argumentos), habría tenido la misma razón que haya podido tener yo, y su afirmación habría tenido (o hubiera debido tener) el mismo valor para todos que el que pueda tener firmada por mí, es decir, el peso de los argumentos que la respaldan (en este caso, que la dificultad que tiene el segundo teorema respecto la dificultad del primero se salva al demostrar las condiciones de Hilbert-Bernays y que, a partir de ahí, el resto ya es "fácil", en el sentido de "igual de fácil que probar el primer teorema de incompletitud". Uno podrá estar de acuerdo o no con este análisis, pero ello dependerá del asunto en sí, y no de quién lo ha expuesto).

Nadie en este foro se ha arrogado nunca la facultad de discriminar entre aportaciones "interesantes" o "no interesantes", entre otras cosas porque "interesante" es relativo. ¿El interés que ha mostrado Elius es menos importante que el "desinterés" que falsamente podría deducirse de mis palabras? Si se puede llegar a alguna conclusión sobre lo que es interesante para este foro, será después de que todos los usuarios hayan podido juzgar si les interesa o no, cosa difícil si optas por no exponerlo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: argentinator en 12 Diciembre, 2013, 01:01 am
Bueno Gustavo, supongamos que es verdad lo que vos afirmás:

A = "Las afirmaciones de un administrador de este foro tienen mayor peso que las de un usuario normal".

Ahora yo, que (mientras no me bajen) soy administrador, hago la siguiente afirmación:

B = "Las afirmaciones de un administrador de este foro no tienen mayor peso que las de un usuario normal".

Si A fuese verdadera, entonces B sería verdadera.
Pero como B afirma la negación de A, entonces A sería falsa,
y por lo tanto B sería falsa, etc.

¿Y entonces?
¿Cómo seguimos a partir de acá?

---------

Una pequeña nota de humor para distender un poco.  :)

Espero que nadie se sienta cohibido por la presencia de admins y moderadores.
Saludos a todos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 12 Diciembre, 2013, 10:37 am
Las partes "fáciles" de la matemática llenan volúmenes e integran la inmensa mayoría de este foro, incluyendo la inmensa mayoría de lo que el propio Ivorra ha escrito en este foro. Las partes "fáciles" de la matemática son casi toda la matemática que sé y son casi toda la que saben los matemáticos. No veo razón para que la parte "fácil" de la matemática no sea difundida sin el menor complejo, aquí y en cualquier ámbito donde nos juntemos a hablar de estos temas.

Dicho esto invito a Gustavo a exponer lo que tiene, como lo tiene, acerca del segundo teorema. Si ya hay una prueba, explorar otras es muy interesante y si esas otras fallan, también es muy interesante entender dónde están fallando.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 12 Diciembre, 2013, 12:31 pm
Las partes "fáciles" de la matemática llenan volúmenes e integran la inmensa mayoría de este foro, incluyendo la inmensa mayoría de lo que el propio Ivorra ha escrito en este foro. Las partes "fáciles" de la matemática son casi toda la matemática que sé y son casi toda la que saben los matemáticos. No veo razón para que la parte "fácil" de la matemática no sea difundida sin el menor complejo, aquí y en cualquier ámbito donde nos juntemos a hablar de estos temas.

¡Cuánto tiempo! Veo que no has perdido la costumbre de escribir cosas que, cuando las leo, me parece haberlas escrito yo.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 12 Diciembre, 2013, 02:16 pm
¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.
En este caso en particular, no creo que sea la condición de administrador, sino la andanada de objeciones, críticas y opiniones formuladas de un modo que parece no admitir contraréplica alguna.

No sólo hay que proclamar que el foro es libre, sino que sería deseable también que dejen expresarse a quien lo desea, pidiendo sólo aclaraciones, dejando las críticas y objeciones para el final, cuando el expositor haya completado su objetivo.

No sé si es mucho pedir...
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 12 Diciembre, 2013, 02:25 pm
¿Tanta es la fuerza de una palabra mía?
Sí en este foro, en el que ejerces de administrador y editor. Fuera de este ámbito no tomo en cuenta tus opiniones.

No creo haber expresado aquí ninguna opinión. Pero, aunque así fuera, el espíritu de este foro es que lo que dice cada cual tiene el peso de los argumentos que respalden sus palabras, sin que importe para nada el papel que cada cual tenga asignado en él. Si un recién llegado anónimo hubiera dicho lo mismo que dije yo en su momento sobre las condiciones de Hilbert-Bernays y su "peso" en la prueba del segundo teorema de incompletitud (aportando los mismos argumentos), habría tenido la misma razón que haya podido tener yo, y su afirmación habría tenido (o hubiera debido tener) el mismo valor para todos que el que pueda tener firmada por mí, es decir, el peso de los argumentos que la respaldan (en este caso, que la dificultad que tiene el segundo teorema respecto la dificultad del primero se salva al demostrar las condiciones de Hilbert-Bernays y que, a partir de ahí, el resto ya es "fácil", en el sentido de "igual de fácil que probar el primer teorema de incompletitud". Uno podrá estar de acuerdo o no con este análisis, pero ello dependerá del asunto en sí, y no de quién lo ha expuesto).

Nadie en este foro se ha arrogado nunca la facultad de discriminar entre aportaciones "interesantes" o "no interesantes", entre otras cosas porque "interesante" es relativo. ¿El interés que ha mostrado Elius es menos importante que el "desinterés" que falsamente podría deducirse de mis palabras? Si se puede llegar a alguna conclusión sobre lo que es interesante para este foro, será después de que todos los usuarios hayan podido juzgar si les interesa o no, cosa difícil si optas por no exponerlo.

Creo que se puede seguir la siguiente estrategia: si alguien irrumpe en la segunda línea de tu exposición con 40 líneas de objeciones, respóndele: "Señor, déjeme terminar, luego podrá Ud. expresar sus objeciones". Y plantar un enlace de un mensaje del creador del hilo al siguiente suyo, para que el lector no se pierda entre tantas interrupciones.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Cristian C en 12 Diciembre, 2013, 03:16 pm
Dice Carlos:

Citar
¡Cuánto tiempo! Veo que no has perdido la costumbre de escribir cosas que, cuando las leo, me parece haberlas escrito yo.

Siempre es grato coincidir contigo, Carlos.  :)

Realmente me gustaría que Gustavo no se sienta aquí como sapo de otro pozo. Su libro ha ayudado a mucha gente a acercarse a estos temas. Este hilo, que él mismo ha iniciado, ha dado aun más precisiones y detalles que el libro. Su aporte es generoso y desinteresado y sería muy valioso para estos foros poder contar con un rol más activo y protagónico de su parte.



Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Carlos Ivorra en 12 Diciembre, 2013, 08:10 pm
Realmente me gustaría que Gustavo no se sienta aquí como sapo de otro pozo. Su libro ha ayudado a mucha gente a acercarse a estos temas. Este hilo, que él mismo ha iniciado, ha dado aun más precisiones y detalles que el libro. Su aporte es generoso y desinteresado y sería muy valioso para estos foros poder contar con un rol más activo y protagónico de su parte.

Por no variar, suscribo el espíritu y la letra de lo que dices como si lo hubiera escrito yo mismo.

En este caso en particular, no creo que sea la condición de administrador, sino la andanada de objeciones, críticas y opiniones formuladas de un modo que parece no admitir contraréplica alguna.

No sólo hay que proclamar que el foro es libre, sino que sería deseable también que dejen expresarse a quien lo desea, pidiendo sólo aclaraciones, dejando las críticas y objeciones para el final, cuando el expositor haya completado su objetivo.

No sé si es mucho pedir...

Creo que se puede seguir la siguiente estrategia: si alguien irrumpe en la segunda línea de tu exposición con 40 líneas de objeciones, respóndele: "Señor, déjeme terminar, luego podrá Ud. expresar sus objeciones". Y plantar un enlace de un mensaje del creador del hilo al siguiente suyo, para que el lector no se pierda entre tantas interrupciones.

Creo que no has prestado suficiente atención a la parte final de este hilo. Si por "andanada de objeciones" te refieres a mis intervenciones en las respuestas #288 y #293, responden a algo que Gustavo había afirmado en su primer mensaje, pero esperé a que terminara (es decir, a que diera sus argumentos sobre ello) y luego, cuando ya hubo acabado, le presenté mis objeciones, y si parece que no admiten contrarréplica alguna, es porque no la admiten, pues el propio Gustavo reconoció que el argumento (que, al parecer no era suyo, sino de un lector suyo) era erróneo. En definitiva, el desarrollo del hilo ha sido el que cabe esperar de un hilo: un debate racional que ha llevado a esclarecer un punto oscuro a sastifacción de todos. Gustavo planteo un argumento y, cuando quedó expuesto, lo analizamos hasta coincidir en que era erróneo. Eso no ha generado ningún problema.

El problema ha surgido por un comentario que hice al final sin imaginar que podría tener la trascendencia que al parecer ha tenido: como el argumento que pretendía justificar que la prueba del primer teorema no puede ser formalizable no era correcto, eso no significa que el hecho afirmado no pudiera ser cierto por otro argumento distinto, y por eso me pareció oportuno añadir que, en principio, no parece haber objeción alguna a que el argumento del primer teorema sea completamente formalizable, pero que en la práctica no se hace así porque basta probar las condiciones de Hilbert-Bernays, lo que no supone la formalización completa del primer teorema, pero bastan para probar el segundo. Y se me ocurrió decir que, una vez probadas, "el resto es fácil", en un sentido de la palabra "fácil" que ya he explicado y que Cristian C ha explicado aún mejor que yo. Un sentido totalmente inocente y nada polémico.

Así pues, si Gustavo ha decidido no exponer lo que tenía previsto exponer, no ha sido por ninguna andanada de  objeciones, en contra de lo que pretendes, sino, al parecer, por un comentario mío absolutamente banal, sin más ánimo que explicar lo más claramente posible lo que conlleva la prueba del segundo teorema, y ello ha motivado que yo interviniera para puntualizar que no estoy dispuesto a aceptar la responsabilidad (por mi comentario) de una decisión de la que sólo Gustavo es responsable (con toda la legitimidad para elegir la opción que considere más conveniente). Por mi parte, repito lo que ya he dicho al suscribir las palabras de Cristian C: desde el momento en que Gustavo dijo que iba a plantear la prueba con un argumento distinto del que yo conozco, yo sería un interesado más en conocer su exposición. Razón de más para que esté fuera de lugar que la razón de no hacerlo sea una presunta falta de interés por mi parte.

Por otra parte, siguiendo con la respuesta a tus objeciones, si recorres este hilo desde el principio verás que Gustavo ha ido respondiendo al mismo tiempo que exponía su desarrollo a una andanada de coemntarios por parte de muchos usuarios del foro, tú entre ellos, con la única diferencia de que todas las objeciones que le presentabais admitían contrarréplicas innegables que Gustavo exponía muy eficientemente.

Sí que es verdad que la mezcla de objeciones y la exposición dificulta el seguimiento del hilo, y por ello argentinator creó unos enlaces entre sus mensajes principales, y a raíz de esta experiencia se adoptó la costumbre en otros hilos de naturaleza similar de crear un hilo paralelo de comentarios, de modo que éstos no interrumpan la exposición. La idea que propones no es nueva, y ya la adopta en este foro todo el que la considera oportuna.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Gustavo Piñeiro en 12 Diciembre, 2013, 11:04 pm
Escribo este mensaje con el único y exclusivo propósito de evitar que alguien, tal vez, se quede esperando una exposición que ya no haré.

La verdad es que el modo en que se hacen las cosas en este foro no es compatible con mi modo ser ni de pensar. En realidad nunca lo fue y ya en los principios de este hilo, hace casi cinco años, cuando escribía mis primeras respuestas, varias veces estuve a punto de abandonar por completo la exposición (incluso así lo expresé en alguna de esas ocasiones). En aquel momento hice el esfuerzo de perseverar hasta terminar, pero esa perseverancia se me ha terminado y ya no tengo deseos de continuar aquí.

No es necesario que den respuesta a este mensaje en concreto, pero en el caso de que, a pesar de todo, alguien responda, es justo advertirles que ya no invertiré mi tiempo en leer las respuestas.

Saludos.
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Quema en 15 Enero, 2014, 09:19 pm
Hola

Esto es de locos!!! He empezado a leer interesándome por el teorema de Godel y observar como se iba "picando" la discusión. Vaya paradoja, parece ser una aplicación al comportamiento humano del teorema de Godel!!

Saludos
Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 28 Diciembre, 2015, 03:51 am
El hilo no estaría completo sin mencionar las críticas que recibió Gödel, por parte de personajes tan notorios como Bertrand Russell (sí, el coautor de Principia Mathematica, obra en la que se basó Gödel), Ernst Zermelo (sí, el coautor de la célebre teoría axiomática de conjuntos más aceptada), y Ludwig Wittgenstein, autor del Tractatus Logico-Philosophicus, Investigaciones Filosóficas, y Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas.

Están detalladas en Shanker, Stuart G.[1988]: “Wittgenstein's Remarks on the Significance of Gödel's Theorem”, in “Gödel Theorem in Focus”, Editor Shanker, S.G., Routledge.

En el siguiente paper se comentan discusiones sobre este tema en papers académicos desde 1988 a la fecha, y se cita numerosos papers actualizados:

https://www.academia.edu/s/c1e7a48b37


Título: Novedad sobre el tema
Publicado por: Elius en 30 Marzo, 2017, 06:04 pm
La sentencia indecidible de Gödel pertenece al metalenguaje interno del sistema: sentencias que hablan de otras sentencias. Pero no hay ninguna sentencia del lenguaje objeto (ecuaciones diofánticas, eventualmente cuantificadas, y combinaciones booleanas de ellas).

Esto permite producir una demostración nueva del primer teorema de incompletitud, que prescinde de la hipótesis de consistencia.

Pero ¿comprometería este resultado la consistencia del sistema?

https://www.academia.edu/s/990bdb21d6/unlocking-the-godel-enigma
Título: Re: Novedad sobre el tema
Publicado por: Raúl Aparicio Bustillo en 01 Abril, 2017, 07:45 am


A ver, gracias a las explicaciones de Gustavo Piñeiro, sé que hace mucho tiempo que dejó este foro, pero no voy a negar que fue con su explicación con lo que entendí que había fórmulas de PA que afirmaban la propia consistencia de la teoría.Lo que no llego a entender es esto:

La sentencia indecidible de Gödel pertenece al metalenguaje interno del sistema: sentencias que hablan de otras sentencias. Pero no hay ninguna sentencia del lenguaje objeto (ecuaciones diofánticas, eventualmente cuantificadas, y combinaciones booleanas de ellas).


https://www.academia.edu/s/990bdb21d6/unlocking-the-godel-enigma

La sentencia de Gödel (en su interpretación natural no afirma la consistencia de los axiomas de Peano)
Título: Re: Novedad sobre el tema
Publicado por: Elius en 03 Abril, 2017, 06:39 pm


A ver, gracias a las explicaciones de Gustavo Piñeiro, sé que hace mucho tiempo que dejó este foro, pero no voy a negar que fue con su explicación con lo que entendí que había fórmulas de PA que afirmaban la propia consistencia de la teoría.Lo que no llego a entender es esto:

La sentencia indecidible de Gödel pertenece al metalenguaje interno del sistema: sentencias que hablan de otras sentencias. Pero no hay ninguna sentencia del lenguaje objeto (ecuaciones diofánticas, eventualmente cuantificadas, y combinaciones booleanas de ellas).


https://www.academia.edu/s/990bdb21d6/unlocking-the-godel-enigma

La sentencia de Gödel (en su interpretación natural no afirma la consistencia de los axiomas de Peano)


Estimado Raúl:

Comienzo por aclarar que, efectivamente, la sentencia de Gödel no afirma la consistencia de los axiomas de Peano. Es una hipótesis del teorema, no una tesis. Hasta allí estamos de acuerdo.

Respecto de los niveles de lenguaje en el sistema de Gödel, comencemos por dejar establecido que el sistema original es el de Whitehead-Russell con el añadido de los axiomas de Peano.

Las operaciones definidas por los axiomas de Peano son sólo dos: suma y producto, y la única función es "sucesor".

De modo que el lenguaje básico está compuesto por ecuaciones diofánticas:

\( t_1 + t_2 + ... + t_n = 0 \)

donde cada término \( t_i \)es un producto, que puede contener variables libres.

Estas ecuaciones pueden estar cuantificadas.

Y por último podemos reunir varias combinándolas con operadores booleanos OR, AND e implicaciones.


Saludos

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 05 Abril, 2017, 12:17 am
Continuando, ese lenguaje básico es el que está generado usando los axiomas de Peano:


Tal vez convenga entonces mostrar, a modo de ejemplo, un conjunto recursivo de axiomas aritméticos. El sistema clásico es el de los "axiomas de Peano de primer orden", que se pueden escribir así (dejo tácitos todos los cuantificadores universales (los \( \forall{} \)) necesarios para que las fórmulas sean enunciados):

1. \( Sx = Sy \Rightarrow x = y \)
2. \( Sx\neq 0 \) (que es una abreviatura de \( -(Sx = 0) \))
3. \( x + 0 = x \)
4. \( x + Sy = S(x + y) \)
5. \( x\cdot{0} = 0 \)
6. \( x\cdot{Sy} = x\cdot{y}+x \)
7. \( P(0)\Rightarrow (\forall{x}(P(x)\Rightarrow P(Sx))\Rightarrow \forall{y}P(y)) \)


Si solamente nos atenemos a ellos, las únicas fórmulas del sistema serían ecuaciones con sumas y multiplicaciones, posiblemente cuantificadas, agrupadas con operadores lógicos.


Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 05 Abril, 2017, 01:10 am
Gödel agrega 45 definiciones de propiedades y relaciones recursivas (más una que no es recursiva, la 46, Bew), que actúan en la práctica como si al sistema se le hubieran añadido axiomas para la división, la primalidad, la función factorial, la potencia, las dos inversas de la potencia, y varias más.

Están a partir de la página 8 en el documento que adjunto.

Estas fórmulas permiten que en el sistema se pueda expresar enunciados del metalenguaje natural, en castellano, como:

<< "ssss0 + sssssss0 = sssssssssss0  " es una fórmula demostrable>>.

La analogía es exacta, salvo que en lugar de citas textuales, Gödel hace citas codificadas en números.


"Ser demostrable" es expresable:

Hemos visto que "Ser un axioma" es expresable. Gracias al Principio Generador podemos deducir que "Ser una demostración" es también expresable. Con más precisión, la relación "x es el código de una demostración" es expresable.

Por otra parte, "Ser la última expresión en una sucesión de expresiones aritméticas" es también expresable. Esto se debe a que "y es el código de la última expresión en la sucesión de código x" equivale a que "la concatenación de los tres siguientes números, en ese orden: el código de \( \otimes{} \),  el número y, el código de \( \otimes{} \), es sufijo de x".

Como consecuencia de todo esto tenemos que la relación "x es el código de una demostración de la fórmula de código y" (es decir, "la fórmula de código y es la última en la demostración de código x") es expresable. Dado que usarenos muchas veces esta relación, la indicaremos como Dem(x, y).

Destaco un hecho: Dem(x, y) es la abreviatura de una larga fórmula escrita en el lenguaje formal, en la que x e y son las únicas variables libres, cuyo significado es: "x es el código de una demostración de la fórmula de código y".

Al hablar de "significado" podría llegar a entenderse que hemos introducido un concepto no fiinitario, pero esto es sólo aparente porque la condición "x es el código de una demostración de la fórmula de código y" puede traducirse a condiciones puramente sintácticas entre los números x e y, verificables todas ellas mecánicamente en una cantidad finita de pasos.

Es decir, existe un algoritmo que, dados los números n y m, puede verificar en una cantidad finita de pasos si \( Dem(\overline{n}, \overline{m}) \) se cumple o no. (Donde \( \overline{n} \) y \( \overline{m} \) son los numerales correspondientes a los números n y m.)

"y es el código de una fórmula demostrable" se puede expresar entonces como \( \exists{x}Dem(x,y) \) (es decir, "existe una demostración de la fórmula de código y"). Por lo tanto "Ser el código de una fórmula demostrable" es expresable.

Nota: Que \( x \) es el código de una demostración, que \( y \) es el código de una  de una fórmula, y que \( y \) es el código de la última expresión en la sucesión de código \( x \) son todas propiedades recursivas, por lo que el hecho de que sean expresable se puede deducir del teorema general que dice que toda propiedad recursiva es expresable. Sin embargo, por sí sola, la propiedad "y es el código de una fórmula demostrable" no es recursiva (aunque sí expresable).

Nos habíamos propuesto el objetivo de probar que "Ser demostrable" es expresable y lo hemos logrado. Habíamos dicho, a modo de ejemplo, que queríamos que el lenguaje formal fuera capaz de decir "1 + 1 = 2 es demostrable". En efecto, si llamamos \( n_0 \) al código de S0 + S0 = SS0 entonces "1 + 1 = 2 es demostrable" equivale a \( \exists{x}Dem(x,y/\overline{n_0}) \).

Nota: Hemos probado que "Ser una fórmula demostrable" es expresable ¿Qué pasa con los enunciados? Recordemos que los enunciados son casos particulares de fórmulas y volvamos a "1 + 1 = 2 es demostrable", que se traduce como \( \exists{x}Dem(x,y/\overline{n_0}) \). En realidad esta traducción dice, correctamente, "\( \overline{n_0} \) es el código de una fórmula demostrable" y con eso es sificiente a todos los efectos ya que, fórmula o enunciado, lo que nos interesa decir es que "1 + 1 = 2 es demostrable". Por eso en el título de este comentario puse que "Ser demostrable" es expresable, sin indicar si me refería a fórmulas o a enunciados.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 05 Abril, 2017, 01:45 am
Como cualquiera puede comprobar en la demostración que hace Gustavo, el enunciado G no tiene ningún número de Gödel de una sentencia básica. Son todas sentencias del metalenguaje interno.

El final de la demostración.

En todo lo que sigue, x es la variable \( v_| \).

Definimos P(z) como la fórmula \( -\exists{y}Dem(y,z) \). (Recordemos que \( Dem(y,z) \) expresa la relación "y es el código de una demostración de la fórmula de código z".)

Definimos Q(x) como \( \forall{z}(z=d(x)\Rightarrow{P(z)}) \).

Sea n = cód(Q(x)). Entonces \( d(n) = c\'od(Q[\overline{n}]) \). Llamamos m = d(n).

Los siguientes enunciados son equivalentes entre sí (esta equivalencia es sintáctica e implica que cualquiera de ellos es demostrable si y sólo si cualquiera de los otros lo es):

1. \( Q[\overline{n}] \)
2. \( Q(x/\overline{n}) \)
3. \( \forall{z}(z=\overline{m}\Rightarrow{P(z)}) \)
4. \( P[\overline{m}] \)
5. \( P(x/\overline{m}) \)

Llamemos G al enunciado \( P(x/\overline{m}) \), es decir, \( -\exists{y}Dem(y,\overline{m}) \).

Vamos a demostrar que ni G ni -G son demostrables.

Recordemos que hemos supuesto que se ha dado un sistema omega-consistente de axiomas aritméticos. (Que sea omega-consistente implica que es consistente.)

Si G es demostrable, entonces (por las equivalencias que mencionamos antes) \( Q[\overline{n}] \) es demostrable. Recordemos que el código de \( Q[\overline{n}] \) es m.

Sea k el código de una demostración de \( Q[\overline{n}] \), entonces \( Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado verdadero. La palabra "verdadero" se usa aquí en el sentido finitista, ya que \( Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado que expresa una propiedad de k y m que es verificable en una cantidad finita de pasos.

Como \( Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado finitista verdadero, entonces (por hipótesis) es demostrable. En consecuencia (por el tecnicismo que vimos antes) \( \exists{y}Dem(y,\overline{m}) \) es demostrable. Pero entonces -G es demostrable (ya que \( \exists{y}Dem(y,\overline{m}) \) es equivalente sintácticamente a -G). Esto contradice que el sistema es consistente, luego G no es demostrable.

Si -G es demostable entonces, por la consistencia del sistema, G no es demostrable. Luego, para todo k, \( -Dem(\overline{k},\overline{m}) \) es un enunciado finitista verdadero y, por lo tanto, demostrable. Por la omega-consistencia entonces \( \exists{y}Dem(y,\overline{m}) \) no es demostrable. Entonces -G no es demostrable. Esto contradice la hipótesis inicial. Por lo tanto, -G no es demostrable.

Vimos así que G no es demostrable, y que -G tampoco es demostrable. El sistema es, entonces, incompleto, Q.E.D.

Título: Re: Teorema de Gödel
Publicado por: Elius en 05 Abril, 2017, 01:52 am
Primero construye una fórmula abierta, que interpretada en castellano sería:

G(x): "La sustitución de la variable 'x' en el número de fórmula x no es demostrable."

Luego efectúa la sustitución de la variable libre (la x que no tiene comillas simples) por el número de Gödel de G(x).

G: "La sustitución de la variable 'x' en el número de fórmula #G(x) no es demostrable."

El resultado es un enunciado del meta lenguaje que tiene como argumento otro enunciado del meta lenguaje. No hay ningún enunciado del lenguje objeto, el básico, compuesto sólo de ecuaciones diofánticas eventualmente cuantificadas, o una combinación booleana de ellas.

Es un enunciado vacío. Su argumento es una operación (instanciación de variable) con el número de una fórmula abierta como argumento. Por supuesto es indemostrable, porque depende de la demostración de G(x).

Como G(x) es una fórmula abierta, sólo sería demostrable si se pudiera aplicar la regla de generalización.