Hola a todos. Tengo una duda sobre el proceso de clasificar una superficie compacta. Por ejemplo si me piden clasificar \( aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1} \) lo que me han enseñado es que primero observamos que la superficie no es orientable porque contiene palabras de primera especie (\( dd \) y \( ff \)) y luego calculamos la característica Euler, que será 1-#letras+#vértices. En nuestro caso sale \( 1-6+1=-4 \) (los vértices los contamos haciendo las identificaciones) y por tanto tenemos que la superficie es homeomorfa a \( (2-(-4))\mathbb{P}=6\mathbb{P} \).
Mi pregunta trata sobre una pequeña modificación del método anterior. Una vez sabemos que la superficie es no orientable, la única posibilidad es que sea homeomorfa a \( m\mathbb{P} \), por lo que la palabra que la define será de la forma \( a_1a_1a_2a_2...a_ma_m \). Es decir, si yo cojo la palabra del enunciado \( aba^{-1}cdb^{-1}efdc^{-1}fe^{-1} \) y agrupo las letras de dos en dos, puedo saber que \( m=6 \) y decir que la superficie es homeomorfa a \( 6\mathbb{P} \) sin tener que calcular la característica de Euler. Dicho esto mi pregunta es ¿porqué se suele usar el primer método si en el segundo no necesitamos la característica de Euler y por tanto es más rápido? ¿o son esencialmente el mismo método visto de dos formas aparentemente distintas? Gracias por adelantado.
