Buenas.
Gracias a sus colaboraciones, he logrado redactar una demostración. Recibo sugerencias.
Sea la ecuación \( x(x-\left\lfloor x \right\rfloor) \) en donde \( x \) es un real no entero. Luego, \( 0<x-\left\lfloor x \right\rfloor<1 \) y, por tanto, existe un entero \( n \) tal que \( 0<n<x<n+1. \) Esto equivale a resolver la ecuación \( x^2-nx-n=0 \) cuya solución positiva es \( x=\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}.
\) Para demostrar que \( x \) es irracional basta demostrar que para todo entero positivo \( n \) se tiene que \( \sqrt[ ]{n(n+4)} \) es irracional. Supóngase que existe un entero \( n \) y, a su vez, existen enteros positivos \( p \) y \( q \) tales que \( n(n+4)=\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2 \). La solución de esta ecuación, en la variable \( n \), se obtiene de \( n+2-\sqrt[ ]{\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4}=0 \). Puesto que \( n+2 \) es un entero positivo, entonces, \( \bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4 \) debe ser un cuadrado perfecto. Además, se tiene que \( \bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2<\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4<\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}+2\bigg)^2 \). Si fuera \( \bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4=\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}+1\bigg)^2 \), se obtendría que \( \displaystyle\frac{p}{q}=\displaystyle\frac{3}{2} \) y, en consecuencia, \( n=\displaystyle\frac{1}{2} \) que no es entero.
El factor \( x-\left\lfloor x \right\rfloor=\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}-n=-\displaystyle\frac{n-\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}, \) por definición, tiene la misma parte decimal que \( x \).
Ahora, aplicando el teorema del binomio:
Si \( k \) es par:
\( \bigg(\displaystyle\frac{n\pm\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\Bigg[\displaystyle\sum_{i=0}^{k/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\pm\frac{\sqrt[ ]{n(n+4)}}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{k/2-1}{\binom{k}{2i+1}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i\Bigg]}\not\in\mathbb Q \)
\( \bigg(\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k+\bigg(\displaystyle\frac{n-\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=2\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\displaystyle\sum_{i=0}^{k/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\in{\mathbb Q} \)
Si \( k \) es impar:
\( \bigg(\displaystyle\frac{n\pm\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\Bigg[\displaystyle\sum_{i=0}^{(k-1)/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\pm\frac{\sqrt[ ]{n(n+4)}}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{(k-1)/2}{\binom{k}{2i+1}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i\Bigg]}\not\in\mathbb Q \)
\( \bigg(\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k+\bigg(\displaystyle\frac{n-\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=2\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\displaystyle\sum_{i=0}^{(k-1)/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\in{\mathbb Q} \)