[rojamer]

Saludos a todos. Háganse el favor de colaborar con la validez o refutación de la siguiente conjetura:

El inverso aditivo de todo número entero positivo \( n \) se puede expresar como el producto de un par de números irracionales "conjugados", de la forma

\( \left(\frac{n+\sqrt{n(n+4)}}{2}\right)\left(\frac{n-\sqrt{n(n+4)}}{2}\right)\ \)

Además, estos factores constan de la misma parte decimal y sus potencias son irracionales pero la suma de sus potencias de igual exponente es racional.

[delmar]

Hola

Al efectuar el producto esta claro que el resultado es :    \( \displaystyle\frac{n^2-(n(n+4))}{4}=-n \) que e efecto es el inverso aditivo de n.

Para la segunda parte observa que la suma de ambos factores es n un entero positivo y que el primer factor es positivo y el segundo negativo (se puede demostrar). El primer factor lo podemos poner como A+D donde \( A\in{Z^+}\wedge 0< D<1 \) es decir es su parte decimal. El segundo factor lo podemos poner -(b+d) donde \( b\in{Z_0^+}\wedge 0<d<1 \) luego d es su parte decimal. Al sumar se tiene :

\( n=(A+D)-(b+d)=(A-b)+(D-d) \) necesariamente \( A-b\in{Z} \) necesariamente \( D-d\in{Z} \) pero esto implica :

\( 0< D<1 \)

\( -1<-d<0 \)

Luego \( -1<D-d<1\Rightarrow{D-d=0}\Rightarrow{D=d} \)


Saludos

[Pie]

Creo que faltaría demostrar que los dos factores son siempre irracionales. Para lo que bastaría con demostrar (si no me equivoco) que \( n(n + 4) = n^2 + 4n \) no puede ser un cuadrado perfecto (para \( n > 0 \)).

Una forma que se me ocurre es que para \( n > 0 \) se tiene que:

\( n^2 < n^2 + 4n<(n+2)^2 \)

Con lo que la única posibilidad sería que:

\( n^2 + 4n = (n+1)^2 \)

Cosa que solo ocurre para \[ n = \frac{1}{2} \], con lo que \( n(n+4) \) no puede ser un cuadrado perfecto para ningún entero positivo..

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

El número 1 se puede expresar como el producto de Phi y su inverso multiplicativo (ambos irracionales y con la misma parte decimal).

¿Es una pregunta o una afirmación?. Es un caso particular de la descomposición que expone este ejercicio.

Saludos.

[rojamer]

Buenas.
Gracias a sus colaboraciones, he logrado redactar una demostración. Recibo sugerencias.

Sea la ecuación \( x(x-\left\lfloor x \right\rfloor) \) en donde \( x \) es un real no entero. Luego, \( 0<x-\left\lfloor x \right\rfloor<1 \) y, por tanto, existe un entero \( n \) tal que \( 0<n<x<n+1. \) Esto equivale a resolver la ecuación \( x^2-nx-n=0 \) cuya solución positiva es \( x=\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}.
 \) Para demostrar que \( x \) es irracional basta demostrar que para todo entero positivo \( n \) se tiene que \( \sqrt[ ]{n(n+4)} \) es irracional. Supóngase que existe un entero \( n \) y, a su vez, existen enteros positivos \( p \) y \( q \) tales que \( n(n+4)=\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2 \). La solución de esta ecuación, en la variable \( n \), se obtiene de \( n+2-\sqrt[ ]{\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4}=0 \). Puesto que \( n+2 \) es un entero positivo, entonces, \( \bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4 \) debe ser un cuadrado perfecto. Además, se tiene que \( \bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2<\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4<\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}+2\bigg)^2 \).  Si fuera \( \bigg(\displaystyle\frac{p}{q}\bigg)^2+4=\bigg(\displaystyle\frac{p}{q}+1\bigg)^2 \), se obtendría que \( \displaystyle\frac{p}{q}=\displaystyle\frac{3}{2} \) y, en consecuencia, \( n=\displaystyle\frac{1}{2} \) que no es entero.
El factor \( x-\left\lfloor x \right\rfloor=\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}-n=-\displaystyle\frac{n-\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}, \) por definición, tiene la misma parte decimal que \( x \).
Ahora, aplicando el teorema del binomio:
Si \( k \) es par:
\( \bigg(\displaystyle\frac{n\pm\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\Bigg[\displaystyle\sum_{i=0}^{k/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\pm\frac{\sqrt[ ]{n(n+4)}}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{k/2-1}{\binom{k}{2i+1}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i\Bigg]}\not\in\mathbb Q \)
\( \bigg(\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k+\bigg(\displaystyle\frac{n-\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=2\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\displaystyle\sum_{i=0}^{k/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\in{\mathbb Q} \)
Si \( k \) es impar:
\( \bigg(\displaystyle\frac{n\pm\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\Bigg[\displaystyle\sum_{i=0}^{(k-1)/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\pm\frac{\sqrt[ ]{n(n+4)}}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{(k-1)/2}{\binom{k}{2i+1}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i\Bigg]}\not\in\mathbb Q \)
\( \bigg(\displaystyle\frac{n+\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k+\bigg(\displaystyle\frac{n-\sqrt[ ]{n(n+4)}}{2}\bigg)^k=2\bigg(\displaystyle\frac{n}{2}\bigg)^k\displaystyle\sum_{i=0}^{(k-1)/2}{\binom{k}{2i}\bigg(\frac{n+4}{n}\bigg)^i}\in{\mathbb Q} \)