La idea de diagonalizar viene a decir que si numeramos hasta el infinito todos los reales ubicados entre 0 y 1 , siempre podremos hallar más, de hecho infinitos más y entonces los reales por reducción al absurdo resultan ser no numerables.
Cierto.
Por ideas previas al hilo, creía que esos reales entre 0 y 1 , podrían ser una base de todos los reales,
Un conjunto de vectores es una base si cumple dos propiedades: es un sistema generador (o sea, todo vector se puede poner como combinación lineal de los vectores del conjunto) y es linealmente independiente (un vector del conjunto no puede ponerse como combinación lineal de los demás).
El conjunto de los números reales entre \( 0 \) y \( 1 \) son un sistema generador de \( \mathbb R \) como \( \mathbb Q \)-espacio vectorial, luego contiene una base, pero no es él mismo una base, porque hay unos que son combinación lineal de otros. Por ejemplo, \( \color{red}1/2 = 2(1/4) \).
Entiendo que me dices que no solo son necesarios los ubicados entre 0 y 1, sino todos los de la recta o bien todos los números reales,
No, todos los números reales no son una base, porque no son linealmente independientes. Lo que he dicho en los mensajes anteriores es que una base de \( \mathbb R \) (siempre como \( \mathbb Q \)-espacio vectorial, no hace falta que aclare esto más veces) tiene infinitos vectores, tantos como números reales, pero no todos los números reales.
Pero puedes tomar una base formada únicamente por números entre 0 y 1.
Hasta el momento pensaba que cualquier otro número fuera del rango de [0-1] podía expresarse como un múltiplo de otro dentro del rango [0 y 1] , el factor de la multiplicación obviamente pensé que se trataba de un racional... ejemplo , si tengo dentro del intervalo el 0,123456789.... pensaba que el real 1.23456789.... que esta fuera del rango, resultaba ser un múltiplo de alguno (el del ejemplo) dentro del rango multiplicado por un numero cualquiera en este caso 10.
No, multiplicando no funciona, pero sumando sí. Puedes tomar un conjunto \( X\subset [0, 1] \) que sea linealmente independiente y maximal, es decir que todo número entre 0 y 1 sea combinación lineal de los elementos de \( X \). Además puedes suponer que \( 1\in X \). Entonces, si \( \alpha \) es cualquier número real, llamando \( n \) a su parte entera, tienes que \( \alpha- n\in [0, 1] \), luego \( \alpha- n = r_1 x_1+\cdots + + r_m x_m \), para ciertos \( x_i\in X \) y coeficientes \( r_i \) racionales. Y así \( \alpha = n\cdot 1+ r_1 x_1+\cdots + + r_m x_m \) es combinación lineal de elementos de \( X \) (si algún \( x_i \) fuera 1, agruparíamos \( (n+r_i)x_i \)).
Es decir existen el 0.314159265, el 0,27182818284590452353602874713527... y el 0,61803398874989484820458683436564 para que podamos por combinación lineal formar el resto de los reales.
Esto no sé muy bien cómo entenderlo. En efecto, existen números en [0, 1] que permiten formar mediante combinaciones lineales todos los números reales. De hecho, basta tomar todos los números en [0, 1], pero así no son base porque sobran, porque no son independientes. Basta un subconjunto adecuado para tener una base.
Ahora me dices que en realidad habría reales que son combinación lineal de la base de los reales, pero otros que no, que serían los pertenecientes a la base... entonces me preguntaba por la dimensión ya que deducía que no eran todos...pero aún así, son infinitos.
En efecto, si tomas \( X\subset [0,1] \) que sea una base de los números reales, necesariamente el cardinal de X es el mismo que el del conjunto de todos los números reales.
Si entendí bien, debo suponer que habría mas reales fuera del 0-1 que no serían CL de los del rango 0-1...
No. Puedes tomar la base contenida en [0, 1], por el argumento que te he dado. Un número cualquiera se reduce al intervalo unitario restándole su parte entera.
Aparte me dices que no habria ningun otro real fuera de la base que compondrían todos los reales (la unión entre lo de dentro y fuera del rango) , pero que pasa entonces con los que sí son CL de otros...
No he dicho tal cosa. Si \( X\subset [0, 1] \) es una base, entonces hay infinitos números en \( \mathbb R\setminus X \), pero todos ellos son combinaciones lineales de los números que hay en \( X \).
Se me hace evidente que el elemento obtenido por el método de la diagonal de Cantor, no es múltiplo (con factor racional, o entero ) de ninguno de los de la base , pero a la vez, creo entender que tampoco resultará de la combinación lineal de algún subconjunto con un número finito elementos de dicha base , tanto sea la que pensé yo, entre 0-1 ,o bien de todos los reales como creí entenderte.
No veo la relación. La base \( X \) es tan no numerable como [0, 1]. Si tomas una enumeración de elementos de la base, por el argumento de Cantor obtienes un número real distinto de todos ellos, pero no veo nada que nos permita predecir si ese número obtenido por diagonalización estará o no en \( X \).
En parte creo poder darme una posible respuesta, si me baso en que los elementos de la base son numerables, entonces a cualquier elemento obtenido como CL con racionales de dicha base le puedes asignar un cardinal, es decir el espacio resultante es numerable. Pero claro si parto de algo equivocado o falso como que el conjunto de los reales entre 0-1 es numerable, entonces debería llegar a que cualquier real tiene cardinal, es obvio que a premisa falsa lo mas probable es resultado falso, como se ha demostrado.
Esto no lo entiendo. Por ejemplo, en las frases en negrita parece que hables del cardinal de un número real. Eso no tiene sentido. Puedes hablar del cardinal de un conjunto de números reales (o de lo que sea), pero el cardinal de un número \( \alpha \), si quieres verlo como el cardinal de \( \{\alpha\} \), es 1. Y no sé de qué otro modo se puede entender.
Debería entender que el elemento formado de aplicar el método de la diagonal de Cantor a todos los reales, y a la vez considerar que si todos formaran ellos una base , eventualmente encontraríamos al elemento diagonal como un elemento dentro la base? ... para mi no tiene lógica, justamente ese elemento no es igual a ninguno, por definición, hay un absurdo allí.
No entiendo. Si aplicas el método de la diagonal de Cantor a todos los reales llegas a un absurdo (porque encuentras un número real fuera de la lista), luego no es posible numerar todos los reales. Si tienes una lista de números reales a partir de la cual obtienes otro por diagonalización, la lista de partida no contiene todos los números reales.
Si tomas una lista de números de una base, el número que obtienes por diagonalización puede estar dentro o fuera de la base. No veo por qué podríamos asegurar que se tiene que cumplir una cosa o la contraria.
Carlos, quizá no haga falta aclararlo, si te has hecho una imagen de mi perfil, pero lo hago por las dudas,es que todo esto lo escribo con intención de aprender, no de contradecir a nada ni a nadie, ni de proponer teoría, ja lo único que me faltaría..., te pido disculpas si te resulta tedioso, rebuscado o insufrible seguirme por lo descabellado que te resulta en este y otros hilos,
Tienes razón, no hacía falta aclararlo. Si a alguien le resulta tedioso o insufrible responder dudas, lo mejor que puede hacer es dejar este foro. Y si alguien resulta tedioso o insufrible, no será porque pregunte dudas, y tampoco hace falta que aclare nada, que ya salta a la legua de qué pie cojea.
creo que pecando de falsa humildad, demasiada imaginación o abanico de posibilidades que me pongo como posibles respuestas a algunos interrogantes, termina en que no me resulta productivo para entender lo básico y sencillo, solo cuando lo termino entendiendo derribo todo esa p...mental.
En todo lo que planteas aquí lo que echo en falta es alguna relación entre la diagonalización de Cantor y las bases. Cada vez que intentas relacionar ambas cosas das un salto al vacío.
