[gtilef]

Hola dejo los siguientes ejercicios por si me pueden ayudar a resolverlos:
1. Probar que si u es armónica en \( \mathbb{C} \) y está mayorada, entonces u es constante. ¿qué pasa si u está minorada?
2. Probar que si u es armónica en \( \mathbb{C} \) y satisface \( \lim_{z\rightarrow +\infty}u(z)=0 \), entonces es idénticamente nula en \( \mathbb{C} \). ¿Qué ocurre si u es armónica en \( \mathbb{C} \) y satisface  \( \lim_{z\rightarrow +\infty}u(z)=1 \)?
3. Sea \( f:\partial D(0,1)\rightarrow \mathbb{R} \) una función continua tal que \( f(z)+f(\overline{z})=0 \) para todo \( z\in \partial D(0,1) \). Probar que si u es la solución del problema de Dirichlet en D(0,1) con valores en la frontera de f, entonces u(x)=0 para cada \( x\in[-1,1] \).

Saludos.

[geómetracat]

¿Qué has intentado, dónde te atascas?

Como pistas, los dos primeros salen usando el principio del máximo (y del mínimo) para funciones armónicas, y el último debería salir a partir de la fórmula para funciones armónicas en el disco (la del kernel de Poisson).

[gtilef]

Si eso lo se lo que tengo que utilizar pero no se como aplicarlo. Estoy un poco perdido.

[geómetracat]

Lo pensé demasiado rápido. El primero no es tan sencillo como pensaba. O bien hay que usar el principio del valor medio (echa un vistazo por aquí https://math.stackexchange.com/questions/134539/show-bounded-harmonic-function-on-mathbbc-is-constant) o bien hay que usar que si \( u \) es armónica entonces es la parte real de una función holomorfa \( f=u+iv \) y aplicar el teorema de Liouville a la función holomorfa \( exp(f) \).

El segundo sí es más fácil: si \( \displaystyle \lim_{z \to \infty} u(z)=0 \), puedes demostrar que \( u \) alcanza un máximo o un mínimo en \( \Bbb C \), y por el principio del máximo o del mínimo tienes que debe ser constante.

[gtilef]

He visto esta forma de hacerlo, pero claro por hipótesis en la imagen esta acotada. En mi caso, unicamente mayorada.
Muchas gracias.

[geómetracat]

En la wikipedia tienes una demostración bastante sencilla para el caso de \( u \) acotada superiormente (o inferiormente):
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function
En el apartado "Properties of harmonic functions" donde pone "Liouville theorem".

[gtilef]

Pero es en \( \mathbb{R}^N \) no en \( \mathbb{C} \) como en mi ejercicio. ¿No varía?

[geómetracat]

No. Es lo mismo funciones armónicas en \( \Bbb C \) y en \( \Bbb R^2 \). Lo único que podría cambiar es notación.