[Nacho_Fernández]

Hola a todos, tengo esta función:
\( f(z)=\displaystyle\frac{1}{z^2-3iz-2} \)
Por un lado, me piden calcular el desarrollo de Taylor alrededor de \( z_0=0 \) (y dar el radio de convergencia) y el desarrollo de Laurent en la región anular centrada en \( z_0=0 \) y comprendida entre \( \left |{z}\right |=1 \) y \( \left |{z}\right |=2 \). Alguien me puede ayudar con los pasos que tengo que seguir?

[Fernando Revilla]

\( f(z)=\displaystyle\frac{1}{z^2-3iz-2} \) Por un lado, me piden calcular el desarrollo de Taylor alrededor de \( z_0=0 \) (y dar el radio de convergencia) y el desarrollo de Laurent en la región anular centrada en \( z_0=0 \) y comprendida entre \( \left |{z}\right |=1 \) y \( \left |{z}\right |=2 \).

Descomponiendo en suma de fracciones simples obtendrás: \( f(z)=i\left(\displaystyle\frac{1}{z-i}-\displaystyle\frac{1}{z-2i}\right). \)

Ahora desarrolla \( f_1(z)=1/(z-i) \) en las zonas \( \left |{z}\right |<1 \) \( \left |{z}\right | >1 \) (mira el ejercicio 1 aquí). Haz lo mismo con \( f_2(z)=1/(z-2i) \) en las zonas \( \left |{z}\right |<2 \) \( \left |{z}\right | >2 \). Combinando las distintas zonas,  obtendrás los desarrollos que se piden.

[Nacho_Fernández]

Muchas gracias por la respuesta, para el de taylor he usado esas fracciones y lo he puesto en forma de serie geométrica. He obtenido:
\( f(z)=(-1)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}(\displaystyle\frac{z}{i})^n +\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}(\displaystyle\frac{z}{2i})^n \)
El radio de convergencia sería \( \left |{z}\right |<1 \) no?

[Fernando Revilla]

Muchas gracias por la respuesta, para el de taylor he usado esas fracciones y lo he puesto en forma de serie geométrica. He obtenido: \( f(z)=(-1)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}(\displaystyle\frac{z}{i})^n +\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}(\displaystyle\frac{z}{2i})^n \)

Es correcto.

El radio de convergencia sería \( \left |{z}\right |<1 \) no?

Sí, la primera serie converge para \( \left |{z}\right |<1 \) y diverge para \( \left |{z}\right |>1 \). La segunda converge para \( \left |{z}\right |<2 \) y diverge para \( \left |{z}\right |>2 \), en consecuencia, la serie suma converge para \( \left |{z}\right |<1 \) y diverge para \( \left |{z}\right |>1 \) y su radio de convergencia es por tanto \( \rho=1 \).

[Nacho_Fernández]

De acuerdo, y como puedo hacer la de Laurent? Para \( \left |{z}\right |<1 \) sería lo mismo de Taylor, pero para \( \left |{z}\right |>1 \) qué hay que hacer?

[Fernando Revilla]

De acuerdo, y como puedo hacer la de Laurent? Para \( \left |{z}\right |<1 \) sería lo mismo de Taylor, pero para \( \left |{z}\right |>1 \) qué hay que hacer?

El ejercicio 1 del enlace que te di muestra como desarrollar en serie de Laurent en potencias de \( z \) una función de la forma \( f(z)=\frac{1}{az-b} \) en la zona interior \( \left |{z}\right | < \left |{b/a}\right | \) y en la exterior \( \left |{z}\right | >  \left |{b/a}\right | \). El ejercicio 2 del mismo enlace muestra como efectuar los distintos desarrollos en serie en un problema del mismo tipo que has propuesto. Analízalo detenidamente y veamos qué vas obteniendo.

[Nacho_Fernández]

Bueno, lo he intentado comparando un poco con el tuyo. Por ejemplo, el primero me da:
\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{i^n\displaystyle\frac{1}{z^{(n+1)}}} \) para la segunda zona. No estoy muy seguro porque no veo que cambio hay que hacer para sacar el desarrollo para la segunda corona

[Masacroso]

Por decir algo: puedes hacer el paso "a la inversa", es decir, ver qué radios de convergencia te quedan después de definir distintas series geométricas para funciones del tipo \( g(z):=\frac1{z-c} \), es decir, observa que

\( \displaystyle g(z)=\frac1{z-c}=\begin{cases}-\frac1c\cdot\frac1{1-z/c}=-\frac1c\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{z}c\right)^k,& |z/c|<1\\\frac1z\cdot\frac1{1-c/z}=\frac1z\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{c}z\right)^k,& |c/z|<1\end{cases} \)

Entonces, dependiendo de la expansión geométrica que decidas para cada función racional simple de tipo \( g \), la suma de varias de estas funciones definirán dominios de convergencia.