[Ricardo Boza]

Hola,

18. Probar que las condiciones siguientes son equivalentes:
a) Si \( G \) es abierto, \( \overline{G} \) es abierto
b) Si \( U,V\in\mathcal{T} \) y \( U\cap V=\emptyset \) entonces \( \overline{U}\cap\overline{V}=\emptyset \)

He llegado a la conclusión de que si fuera capaz de probar que de a) se deduce \( G=\overline{G} \), probar b) es inmediato. Y que si de b) se deduce \( U=\overline{U} \), probar a) es inmediato.

Para probar que si a) entonces \( G=\overline{G} \), como \( \overline{G} \) es abierto y \( \overline{G}=\partial(G)\sqcup int(G)=\partial(G)\sqcup G \), ¿puedo asegurar que \( \partial(G)=\emptyset \)?

¿Y b) implica a) cómo se haría?

Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

18. Probar que las condiciones siguientes son equivalentes:
a) Si \( G \) es abierto, \( \overline{G} \) es abierto
b) Si \( U,V\in\mathcal{T} \) y \( U\cap V=\emptyset \) entonces \( \overline{U}\cap\overline{V}=\emptyset \)

He llegado a la conclusión de que si fuera capaz de probar que de a) se deduce \( G=\overline{G} \), probar b) es inmediato. Y que si de b) se deduce \( U=\overline{U} \), probar a) es inmediato.

No es cierto: Por ejemplo si consideras en \( \mathbb{R} \) la topología cofinita (los abiertos son complementarios de conjuntos finitos) se cumple que la clausura de cualquier abierto \( G \) es \( \mathbb{R} \) y por tanto abierta, pero no coincide con el abierto.

(a) \( \Rightarrow{} \) (b)

Sean \( U,V \) abiertos disjuntos.

Supón que \( x\in \overline U\cap \overline V \). Entonces \( x\in \overline U \) y por la hipótesis (a) \( \overline U\cap \overline V \) es abierto. Por tanto existe \( y\in U\cap (\overline U\cap \overline V)=U\cap \overline V \).

Ahora como \( y\in \overline V \) y \( U\cap \overline V \) es abierto \( (U\cap \overline V)\cap V=U\cap V \) es no vacío: contradicción.

(b) \( \Rightarrow{} \) (a)

Toma \( U=G \) y \( V=X-\overline G \) y aplica la hipótesis (b).

Saludos.

[Ricardo Boza]

Hola,

(a) \( \Rightarrow{} \) (b)

Sean \( U,V \) abiertos disjuntos.

Supón que \( x\in \overline U\cap \overline V \). Entonces \( x\in \overline U \) y por la hipótesis (a) \( \overline U\cap \overline V \) es abierto. Por tanto existe \( y\in U\cap (\overline U\cap \overline V)=U\cap \overline V \).

Ahora como \( y\in \overline V \) y \( U\cap \overline V \) es abierto \( (U\cap \overline V)\cap V=U\cap V \) es no vacío: contradicción.

No entendí por qué debe existir ese \( y \).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sean \( U,V \) abiertos disjuntos.

Supón que \( x\in \overline U\cap \overline V \). Entonces \( x\in \overline U \) y por la hipótesis (a) \( \overline U\cap \overline V \) es abierto. Por tanto existe \( y\in U\cap (\overline U\cap \overline V)=U\cap \overline V \).

No entendí por qué debe existir ese \( y \).

Si un punto \( x \) pertenece a la clausura de un conjunto \( U \) (tenemos que \( x\in \bar U \)) entonces por definición de clausura cualquier abierto que contenga a \( x \) corta a \( U \). Pero \( \overline U\cap \overline V \) es un abierto que contiene a \( x \).

Saludos.

[Ricardo Boza]

Muchas gracias,

Saludos.