Hola
Buenas tardes, he tratado de responder y justificar la siguiente pregunta pero no he podido:
¿Existe algún espacio topológico \( X \) infinito, \( T_2 \) (Hausdorff) y compacto, y que para punto \( x \in X \)
sea posible hallar una base finita de vecindades?
Entiendo que es " para
TODO punto \( x \in X \) sea posible hallar una base finita de vecindades?".
Ten en cuenta que si \( x \) tiene una base finita de vecindades, la intersección de todas ellas es un abierto \( U_x \) que está contenido en cualquier abierto que contenga a \( x \).
Ahora por ser el espacio Hausforff, \( U_x=\{x\} \). En otro caso existiría \( y\in U_x \), \( y\neq x \) que no puede separarse por abiertos de \( x \) (ya que como hemos dicho todo abierto que contenga a \( x \) contiene a \( U_x \)).
Por tanto estamos en un espacio con la topología discreta: todos los puntos son abiertos. En ese caso para que además sea compacto, el conjunto debe de ser finito. En otro caso la familia \( \{\{x\}\}_{x\in X} \) sería un recubrimiento por abiertos de \( X \) sin subrecubrimiento finito.
Conlusión: no existe tal espacio.
Saludos.
P.D. ¡Me volvió a ganar por una cabeza geómetracat!
