Tengo una duda sobre la prueba del siguiente resultado.
Primero, mi definición que tengo de función cubriente o recubridora es la siguiente: Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios topológicos, decimos que una función continua \( p:X\to Y \) es una aplicación recubridora o cubriente si existe una cubierta abierta \( \mathscr V \) de \( Y \) tal que para cada \( V\in\mathscr V \), existen abiertos \( U_i \) de \( X \), \( i\in I(V) \) disjuntos por pares tales que
\[
f(U_i)=V \forall i\in I(V)
\]
\( \left.f\right|_{U_i}:U_i\to V \) es un homeomorfismo.
\( f^{-1}(V)=\displaystyle\bigcup_{i\in I(V)}U_i \)
Y otra definición que ocupo es la homeomorfismo local: Decimos que una función \( f:X\to Y \) es un homeomorfismo local si para cada punto \( x\in X \), existe un abierto \( U \) de \( x \) tal que \( f(U) \) es abierto en \( Y \) y \( \left.f\right|_{U}:U\to f(U) \) es un homeomorfismo.
Lema. Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios topológicos y \( X \) Hausdorff, \( p:X\to Y \) una función continua y suprayectiva que es además un homeomorfismo local con fibras finitas, entonces \( p \) es una función cubriente.
La prueba que tengo es la siguiente: Sea \( y\in Y \), entonces digamos que \( p^{-1}(y)=\{x_1\dotsc x_n\} \). Como \( p \) es un homeomorfismo local y \( X \) es Hausdorff, entonces podemos disponer de vecindades \( U_i \) de \( x_i \) ajenas tales que \( \left.p\right|_{U_i}:U_i\to V_i \) es un homeomorfismo donde \( V_i \) es un abierto en \( Y \). Definimos
\[
V_y=\bigcap_{i=1}^nV_i
\]
note que \( y\in V_y \). Y tomamos \( U'_i:=U_i\cap p^{-1}(V_y) \) para cada \( i\in\{1,\dotsc,n\} \). Entonces cada \( \left.p\right|_{U'_i}:U'_i\to V_y \) es un homeomorfismo. Aquí esta mi duda, me queda claro que \( \displaystyle\bigcup_{i=1}^nU'_i\subseteq p^{-1}(V_y) \), sin embargo la otra contención no me queda clara. ¿Alguien puede ayudarme por favor?
