[cibernarco]

Hola amigos del foro! Tengo este ejercicio que no eh podido resolver, ya leí toda la teoría pero no logro  entender como arrancar.

Sean G un grupo abeliano infinito y T la colección de todos los elementos . Demuestre que T es un .

[Luis Fuentes]

Hola

Hola amigos del foro! Tengo este ejercicio que no eh podido resolver, ya leí toda la teoría pero no logro  entender como arrancar.

Sean G un grupo abeliano infinito y T la colección de todos los elementos de G de orden finito. Demuestre que T es un subgrupo normal de G.

Los elementos de \( T \) son aquellos \( \color{red}\cancel{g\in T}g\in G\color{black} \) tales que existe \( k \) natural con \( g^k=1 \).

Dado que cualquier subgrupo de un grupo abeliano es normal, lo único que tienes que ver es que es subgrupo. Eso equivale a comprobar que:

i) \( T\neq \emptyset \).
ii) \( a,b\in T\quad \Rightarrow{}\quad ab^{-1}\in T \).

Entonces:

i) \( 1\in T \).

ii) Si \( a,b\in T \) existen naturales, \( n,m \) tales que \( a^n=b^m=1 \). Calcula \( (ab^{-1})^{nm} \) y conlcuye.

Saludos.

CORREGIDO

[cibernarco]

Muchas gracias por tu pronta respuesta, me quedo una duda, de donde sacas que :

Los elementos de \( T \) son aquellos \( g\in T \) tales que existe \( k \) natural con \( g^k=1 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Los elementos de \( T \) son aquellos \( g\in T \) tales que existe \( k \) natural con \( g^k=1 \).

Tenía una errata; es "... aquellos \( \color{red}g\in G\color{black} \) tales que...". Por lo demás me sorprende la duda. ¡No es más qué la definición de elemento de orden finito!. Qué un elemento \( g\in G \) tenga orden finito quiere decir que alguna potencia finita de él (el elemento operado consigo mismo un número finito de veces) da el neutro del grupo.

Saludos.

[cibernarco]

Si, ahí entendí esa parte, la encontré en la teoría. Otra pregunta y creo ya estaría, en mi teoría me dice que si una potencia de g me da el neutro es decir, \( g^k = e \) con e = neutro. ¿Como me doy cuenta en este ejercicio que el neutro es 1 , si no me da el grupo ni la operación especifica como para poder buscarlo?

[cibernarco]

Ya logre hacerlo!! Muchisimas gracias por tu ayuda!! saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si, ahí entendí esa parte, la encontré en la teoría. Otra pregunta y creo ya estaría, en mi teoría me dice que si una potencia de g me da el neutro es decir, \( g^k = e \) con e = neutro. ¿Como me doy cuenta en este ejercicio que el neutro es 1 , si no me da el grupo ni la operación especifica como para poder buscarlo?

Simplemente yo tengo la costumbre de llamarle \( 1 \) al neutro del grupo; no es que haya que darse cuenta de nada.

Saludos.