[Hola que tal]

"¿Qué número divisible por 3 tiene un factorial que termina con 16 ceros?"

En general, encontrar un número que es divisible por $$k$$ y tiene $$n$$ ceros.

[Pie]

Uhmm.. diría que es \( 72 \). Pero no se me ocurre un método general (o como expresarlo de forma matemática al menos)..

Los \( 16 \) ceros están entre el factorial de \( 70 \) y \( 74 \) (\( 75 \) al ser un nuevo múltiplo de \( 5 \), y de \(  5^2 \), añade dos ceros más, y de \( 65 \) a \( 69 \) tienen uno menos). Entonces entre \( 70 \) y \( 74 \) el único número divisible por \( 3 \) es \( 72 \).

Pero todo esto es un poco chapucero, a ver si te responde alguien con algo un poco más elaborado.

Saludos.

[feriva]

"¿Qué número divisible por 3 tiene un factorial que termina con 16 ceros?"...

También puedes ir contando “cincos”, tiene que haber 16.

Por ejemplo, si llegas a 25 (son dos cincos para este número, porque es el cuadrado) detrás hay cuatro “cincos”: \( 5\cdot1;\,5\cdot2...5\cdot4 \) en el factorial; luego hasta ahí va a tener seis ceros, es decir 4+2 ceros. Porque “doses” va a haber por lo menos tantos como cincos y con eso tienes el producto por 10 las veces que cuentes los “cincos”, ya que, los doses entran antes, va a haber más; pero si no hay más de 16 cincos, no hay más productos por 10.

Y así pues vas contando.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Tomando lo que dijeron Pie y feriva.
Para ver cuantos ceros tiene el factorial de un número \( n \).
Dividimos \( n \) por \( 5 \) y queda \( n = 5 \cdot q_1 + r_1 \) si \( q_1 \geq 5 \) volmemos a dividir por \( 5 \) pero ahora a \( q_1 \)
\( q_1 = 5 \cdot q_2 + r_2 \) haciendo este proceso existira um \( m \) con \( q_m < 5 \) entonces el número :
\( \displaystyle \sum_{k=1}^m q_k  \) es el número de ceros que tiene ese número.
Para el problema general:

Spoiler

#include<stdio.h>
int main(int argc, char const *argv[])
{
   int numero_de_ceros = 0 , divisible = 0 , suma = 0 , numero = 0, q = 0;
   

    printf("Dame la cantidad de ceros que quieres que acabe el número   ");
    scanf("%d",&numero_de_ceros);

    printf("Sea divisible entre    ");
    scanf("%d",&divisible);
   
   
do
{
   suma = 0;
   numero = numero + 5;
   q = numero;
    do
        {
           q = q/5;
           suma = suma + q;

        } while (q >= 5);   
 
}while(suma < numero_de_ceros);

printf("\n\n");
    if(numero%divisible == 0 )
    printf("El número buscado es %d\n", numero );
     else
    printf("El número buscado es %d\n", numero + divisible - numero%divisible);

   return 0;
}

[cerrar]

[Richard R Richard]

Haciendo cuentas mentalmente el factorial de 70 es el menor de todos los que tienen 16 ceros, hay uno por cada múltiplo de 5 menor que n y 1 más por cada uno múltiplo de 25 menor que n y habrá 1 más en el de 125 etc