Cierto.
Hola ,muchas gracias por confirmar paso a paso.
pero no es él mismo una base, porque hay unos que son combinación lineal de otros. Por ejemplo, \( \color{red}1/2 = 2(1/4) \).
Tienes razón, se me escapaba ese detalle.
tiene infinitos vectores, tantos como números reales, pero no todos los números reales.
Sí . claro ya me doy cuenta de la diferencia.
Pero puedes tomar una base formada únicamente por números entre 0 y 1.
Genial, me sirve para acotar lo que todavía no soy capaz de transmitirte bien, intentaré buscar como explicarme mejor.
No, multiplicando no funciona, pero sumando sí. Puedes tomar un conjunto \( X\subset [0, 1] \) que sea linealmente independiente y maximal, es decir que todo número entre 0 y 1 sea combinación lineal de los elementos de \( X \). Además puedes suponer que \( 1\in X \). Entonces, si \( \alpha \) es cualquier número real, llamando \( n \) a su parte entera, tienes que \( \alpha- n\in [0, 1] \), luego \( \alpha- n = r_1 x_1+\cdots + + r_m x_m \), para ciertos \( x_i\in X \) y coeficientes \( r_i \) racionales. Y así \( \alpha = n\cdot 1+ r_1 x_1+\cdots + + r_m x_m \) es combinación lineal de elementos de \( X \) (si algún \( x_i \) fuera 1, agruparíamos \( (n+r_i)x_i \)).
ok, creo que eso es lo que hacia para presentarte los ejemplos que siguen
Es decir existen el 0.314159265, el 0,27182818284590452353602874713527... y el 0,61803398874989484820458683436564 para que podamos por combinación lineal formar el resto de los reales.
Presuponía algunos valores de $$x_i\in [0,1]$$ que por alguna operación pudiese llegar a cualquier real fuera de ese intervalo, si un elemento de la base era $$x_j=\dfrac{\pi}{10} \in [0,1]$$ era posible obtener $$\pi$$ fuera del intervalo [0,1], listo , entendí que incluso no es necesario que exista ese o cualquier otro submúltiplo de $$\pi$$ , sino que podría obtenerse $$\pi$$ por Cl de un conjunto finito de elemento de un sin números de bases diferentes.
pero así no son base porque sobran, porque no son independientes. Basta un subconjunto adecuado para tener una base.
Sí, me ha quedado claro.
En efecto, si tomas \( X\subset [0,1] \) que sea una base de los números reales, necesariamente el cardinal de X es el mismo que el del conjunto de todos los números reales.
Significaría que hay una relación biyectiva entre cada elemento de conjunto $$[0,1]$$ o uno del otro $$[-\infty,\infty]$$... como los enteros pares vs los enteros...
No he dicho tal cosa.
No fue intención decir que lo habías escrito, si no más bien que eso fue lo que entendí.
No veo la relación.
Te comprendo, voy a pensar mejor como explicarme , para repreguntar ya que sí se la veo.
La base \( X \) es tan no numerable como [0, 1].
Claro, ahora caigo en razón.
pero no veo nada que nos permita predecir si ese número obtenido por diagonalización estará o no en \( X \).
Bueno, comprendo lo que me dices, pero si sucede que está ...contradice que el número de la diagonal sea diferente a todos y cada uno de los elementos de la base , ya que sería idéntico o igual a uno de ellos, lo que fallaría en argumentar que se hallarían más reales, y si no está , entonces el subconjunto de números no es una base de los reales. Veo contradicción en las dos posibilidades, que implicancias tiene eso?, por ahí le doy mas importancia de lo que realmente tiene.
Esto no lo entiendo. Por ejemplo, en las frases en negrita parece que hables del cardinal de un número real. Eso no tiene sentido. Puedes hablar del cardinal de un conjunto de números reales (o de lo que sea), pero el cardinal de un número \( \alpha \), si quieres verlo como el cardinal de \( \{\alpha\} \), es 1. Y no sé de qué otro modo se puede entender.
Probablemente deba releer el significado de "cardinal", no estoy comprendiendo el sentido de la frase que me escribes. para mi el cardinal, es un número de orden que le asignas a un elemento dentro de un conjunto. Ya leí que no es eso, reitero hare mi intento de explicarme con las palabras mejor elegidas.
No entiendo. Si aplicas el método de la diagonal de Cantor a todos los reales llegas a un absurdo (porque encuentras un número real fuera de la lista), luego no es posible numerar todos los reales. Si tienes una lista de números reales a partir de la cual obtienes otro por diagonalización, la lista de partida no contiene todos los números reales.
Claro, eso es lo que intente explicar párrafos antes con las contradicciones que veo, existe entonces tal base, o es solo una ilusión. es decir, es obvio que no se puede enumerar cada elemento, pero se puede esbozar alguna relación o propiedad entre las cifras de alguna base que si cumpla $$\mathbb R\times \mathbb Q \to \mathbb R$$? algo así como las filas o columnas de la matriz identidad, siguen la regla de la delta de Kronecker)
No veo por qué podríamos asegurar que se tiene que cumplir una cosa o la contraria.
No digo que se tenga que cumplir nada, sino que mi incognita es cual se cumplirpia? o en qué condiciones se da un resultado y en que otras el otro.
En todo lo que planteas aquí lo que echo en falta es alguna relación entre la diagonalización de Cantor y las bases. Cada vez que intentas relacionar ambas cosas das un salto al vacío.
Ok, le daré una vuelta de tuerca , mas despacio y tranquilo, con mas tiempo, solo acotaría que otra forma de verlo es que para mi la diagonalización es un método para obtener un elemento de los reales que es desigual o diferente a cada elemento de cualquier base de los reales que imagine, luego me pregunto si dicho número lo puedo obtener también como CL de la base usando solo racionales como coeficientes y tanto sea sí o no la respuesta una breve justificación, para buscar información, pero mi apuesta es por "No, se puede", y no que no podemos estar seguros si Sí o No.
Gracias[/quote]
