[carlosgv]

Dar una sucesión exacta de espacios vectoriales:

\( 0\longrightarrow{H}\longrightarrow{E}\longrightarrow{K\longrightarrow{0}} \)

con \( dim(H)=1 \), siendo \( i \) y \( p \) las respectivas aplicaciones lineales.

¿Sería posible escoger como sucesión exacta los subespacios núcleo e imagen en los lugares de \( H \) y \( K \), para así cumplir la condición que se pide?

[Luis Fuentes]

Hola

Dar una sucesión exacta de espacios vectoriales:

\( 0\longrightarrow{H}\longrightarrow{E}\longrightarrow{K\longrightarrow{0}} \)

con \( dim(H)=1 \), siendo \( i \) y \( p \) las respectivas aplicaciones lineales.

¿Sería posible escoger como sucesión exacta los subespacios núcleo e imagen en los lugares de \( H \) y \( K \), para así cumplir la condición que se pide?

Si, es decir, dada cualquier aplicación lineal \( f:U\to V \), tienes una sucesión exacta:

\( 0\longrightarrow{ker(f)}\longrightarrow{U}\longrightarrow{Im(f)\longrightarrow{0}} \)

con las apliaciones inclusión y \( f \).

Eso si para tu ejemplo tienes que escoger una aplicación lineal en la que la dimensión del núcleo sea uno.

Saludos.

[carlosgv]

Gracias por la ayuda, pero al ser una sucesión exacta donde la inclusión es inyectiva, ¿el núcleo no es siempre de dimensión 1, independientemente de la aplicación que escojas?
Disculpa mi ignorancia si no es cierto.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias por la ayuda, pero al ser una sucesión exacta donde la inclusión es inyectiva, ¿el núcleo no es siempre de dimensión 1, independientemente de la aplicación que escojas?
Disculpa mi ignorancia si no es cierto.

Lo que es inyectivo es la aplicación \( i:H\to E \) (o en la construcción que hicimos antes la inclusión \( i:ker(f)\to U \). Eso quiere decir que \( ker(i)=\{0\} \) (nada que ver con \( ker(f) \)) y por tanto \( dim(ker(i))=0 \).

Entonces no se que te está confundiendo para afirmar que la dimensión del núcleo (¿de cualquier aplicación?) es siempre uno.

Por ejemplo si tomas \( f:\Bbb R^3\to \Bbb R^3 \), \( f(x,y,z)=(x,0,0) \), tienes que:

\( Ker(f)=\{(x,y,z)\in \Bbb R^3|x=0\}=H \)
\( Im(f)=<(1,0,0)>=K \)

Entonces:

\( 0\to H\to \Bbb R^3\to K\to 0 \)

con

 \( i:H\to \Bbb R^3,\quad i(0,y,z)=(0,y,z) \)
 \( f:\Bbb R^3\to K,\quad f(x,y,z)=(x,0,0) \)

es exacta pero \( dim(H)=2 \). No nos valdría para lo que te piden.

Saludos.